四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高二下学期数学联考模拟试卷3

泸县一中高2023级联考数学模拟试题（3） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数在处的导数为1，那么（    ） A．1 B． C． D． 2．函数的图象在点处的切线方程是（  ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数在处取得极值1，则（   ） A．-4 B．-3 C．-2 D．2 5．据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（    ） A．36 B．60 C．72 D．78 6．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（     ） A．1 B． C． D． 7．双曲线：的左焦点和虚轴的一个端点分别为、，点为右支上一动点，若周长的最小值为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知，使得成立，其中为常数且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有（ ） A．随机变量的方差为，则 B．若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强 C．若决定系数的值越接近于0，则表示回归模型的拟合效果越好 D．在回归模型中，残差平方和越小，说明模型拟合效果越好 10.已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（     ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第7项 D．有理项共5项 11．投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（     ） A．第3次投壶的人是甲的概率为 B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为 C．前4次投壶中甲只投1次的概率为 D．第10次投壶的人是甲的概率为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体,如果10g氡气经过天散发后，剩余量为，则氡气在第3天的散发速度为 13. 设是等比数列的前项和，若成等差数列，，则的值为 .. 14.已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 16．（本题满分15分）如图，在四棱台中，底面是边长为2的正方形，. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（本题满分15分）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展．以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示． Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 70 75 没有应用 15 合计 100 120 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora． （ⅰ）求员工经过培训能应用Sora的概率． （ⅱ）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：，其中． 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18．（本题满分17分）如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点； （3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（本题满分17分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，数列满足， ①求证：； ②求证：． 泸县一中高2023级联考数学模拟试题（3） 参考答案 1、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D D B A C 2、 多选题 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 3、 填空题 12. 13. 14. 4.【答案】D 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意，∴， 5. 【答案】D 【解析】①若“宫”为首音节，可排成的音序有种， ②若“宫”不为首音节，从“宫”“羽”之外的三个音阶中选一个作为首音节有种选法， 再安排“宫”音阶有种排法，剩余三个音阶可以全排列有种排法， 所以②一共有种排法，由分类加法计数原理可知，一共有种排法，故选：D. 6. 【答案】B 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 7.【答案】A 【详解】设双曲线的右焦点为，因为周长为，其中，不妨设，则，，由双曲线的定义得， 则， 所以当三点共线时，周长最小，此时周长为，又因为周长的最小值为，所以，即，所以. 8.【答案】C 【详解】取， 则，，令， 解得：，令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，成立， 此时，，故A，B错误； ，使得成立，即证明， ，，令，解得：， 令，解得：，令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以，故C正确；D错误. 4、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 【答案】BD 10.【答案】ACD 【解析】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A正确； 令，得所有项的系数和为，故B错误； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C正确； 因为展开式通项为， 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确． 11．【答案】ABD 【详解】设第次投壶的人是甲为事件，第次投壶的人是乙为事件． 因为；所以， 所以，而，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 对于A，，故A正确. 对于D，，故D正确. 对于B，，故，所以B正确： 对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为： ，所以C错误. 5、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13.【详解】当时，，矛盾， 当时，则 ，. 14.【详解】显然，设， 则 ， 所以1是的零点，且另两个零点关于对称， 所以，则， 令，则，所以在单调递减， 所以，即的取值范围是.. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）依题意，， ，..................................................2分 ，.......................................................4分 ， 所以y关于x的线性回归方程为..................................................6分 （2）由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，，................................................10分 X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是................................13分 16．【详解】（1） 方法一：由棱台定义可知与共面，且平面平面. 又平面平面，平面平面， 所以.................................................................................2分 连接AC交BD于点，则为AC中点. 因为，所以. 所以四边形是平行四边形，所以.................................6分 又平面，平面，所以平面...........7分    方法二：将棱台补形成棱锥， 由棱台定义知平面平面. 又平面平面，平面平面， 所以..........................................................2分 连接AC交BD于点，则为AC中点. 又，所以，所以为PC中点， 所以为的中位线，所以......................................6分 又平面，平面，所以平面........................7分 （2） 详解：在正方形中，，又，， 所以平面. 因为平面，所以..........................................8分 在中，，，，所以. 在中，，，所以，所以. ................................................................................9分 以为原点，分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. ，，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以， 又因为平面的法向量，...............................................................13分 所以，所以平面与平面所成角余弦值为......................15分 17．【详解】（1）依题意，列联表如下： Sora的应用的情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 70 5 75 没有应用 30 15 45 合计 100 20 120 零假设Sora的应用与视频从业人员的减少无关， 由列联表中数据得，，.............................4分 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．..........................................6分 （2）（ⅰ）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立． 设“员工经过培训能应用Sora”，则 ，故员工经过培训能应用Sora的概率是...................10分 （ⅱ）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为（万元），..................13分 令，解得，又，所以． 因此，视频部最多可以调14人到其他部门............................................................................15分 18．【答案】【详解】（1）设，则， 由知 ，.........................................2分 在上，，即， 故曲线的方程为：.........................................4分 （2）证明：由题知 直线与坐标轴不平行，不妨设， 联立，得， 解得或（舍去），， 此时，同理，..............................................6分 当时，， ，.......................................................9分 直线的方程为， 易知直线过定点， 当时，直线斜率不存在，此时方程为， 综上，直线过定点..............................................................11分 （3）假设存在使得，设， 因为， 所以，即，即，.................................13分 关于轴对称，设， 易知，故方程为：， 令，得，同理，...............................15分 ，又，解得， 故存在点符合题意.......................................................17分 19．【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，，可得在上单调递增； 当时，令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；............................................4分 （2）证明：①当时，， 令，可得 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即， 所以，即，...................................................6分 又由函数在为单调递增函数， 因为，则， 所以，即，所以..............................9分 ②因为，且，可得 当时，，， ， ，所以，所以，...........................................11分 所以当时，， 所以，....................................13分 则，.............15分 所以，所以...........................17分 学科网（北京）股份有限公司 $