精品解析：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第一学期高一数学期末模拟试卷四

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高一数学期末模拟 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 2. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设a是函数的零点，若，则的值满足（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 6 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有四个不同解且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（ ） A. 函数无最值 B. 只有最大值为 C. 只有最小值为 D. 最小值，最大值为 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 若方程有两个不同的实数根，则 10. 有下列几个命题，其中错误的命题是（ ） A. 已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为 B. 若 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则 11. 已知定义域为的函数满足：，则（ ） A. 是周期为2的函数 B. 是偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 13. 已知正实数，满足方程，则的最小值为_______． 14. 如图，正六边形的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. （1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； （3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋最大值； 17. （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 18. 现有足够长“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； （2）求养殖面积的最小值，及此时的值； （3）若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高一数学期末模拟 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则，，的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以看出，直接排除A、B，再比较，从而选出正确答案. 【详解】可以看出是一个锐角，故；又，故；又，而， 故；从而得到， 故选C. 【点睛】比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值. 2. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数图象，求得函数的解析式，再计算函数的函数值. 【详解】由图可知函数的周期， 故； 又由图象和函数解析式知函数过点，求得：，， 解得，，又， 故可得：， 故，满足， 则. 故选：D. 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式、对数运算、对数函数的性质等知识求得正确答案. 【详解】，A选项错误. ，B选项错误. ，C选项正确. ，D选项错误. 故选：C 4. 设a是函数的零点，若，则的值满足（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断出函数的单调性，根据单调性可得的符号，从而得到正确的选项. 【详解】因为为增函数，为减函数， 故为上的增函数，故， 故选：C. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由可排除B、D；由当时，，可排除C；即可得解. 【详解】令， 则， 所以函数为奇函数，可排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题. 6. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到内，最后利用单调性、奇偶性比较大小. 【详解】因为函数，定义域为，而且 所以为偶函数， 因为时，在上单调递增； ， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 7. 已知函数，若有四个不同的解且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出与的图象，数形结合可得且，进而可得，令，，结合函数的单调性求解即可. 【详解】由，画出与的图象， 因为方程有四个不同的解，且， 即与有四个交点，所以， 由图可知， 又，关于对称，即， 又，且，即， 则，所以，则， 所以，且， 令，， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 所以，即的最小值为. 故选：B． 8. 若函数为奇函数，为偶函数，下列关于函数的最值说法正确的是（ ） A. 函数无最值 B. 只有最大值为 C. 只有最小值为 D. 最小值，最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】令，，利用奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再利用基本不等式计算可得. 【详解】令，， 则为奇函数，为偶函数， 所以，， 解得， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以只有最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的奇偶性得到关于、的方程组，从而求出的解析式. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 若方程有两个不同的实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分段函数解方程即可判断A，利用求分段函数值即可判断B，利用解分段函数不等式组即可判断C，利用作分段函数图象即可判断D. 【详解】由，满足，由，也满足， 所以有两个解或，故A错误； 由，故B正确； 由已知可得：或，故C正确； 作出的图象： 由，结合图象可知，要使得方程有两个不同的实数根，则，故D正确； 故选：BCD. 10. 有下列几个命题，其中错误的命题是（ ） A. 已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为 B. 若 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则 【答案】AC 【解析】 【分析】计算得到A错误，根据均值不等式计算B正确，验证不满足定义域，C错误，确定函数单调性，根据对称性计算D正确，得到答案. 【详解】对选项A：扇形面积为，错误； 对选项B：， 当且仅当，即时等号成立，正确； 对选项C：当时，，不满足定义域，错误； 对选项D：当时，函数单调递减，的图像关于对称， 则，故，正确. 故选：AC 11. 已知定义域为的函数满足：，则（ ） A. 是周期为2的函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得，进而判断A；根据题设赋值结合周期性即可判断CD；取特例即可判断B. 【详解】对于A，由可得， 即函数是周期为2的函数，故A正确； 对于C，对于，取，得， 而，所以，故C正确； 对于D，对于，取，得， 则，故D正确； 对于B，取，则， 且， 即函数满足题意，但不是偶函数，故B错误. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知正实数，满足方程，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】令，明显其在上单调递增， 又由得， 即， 所以，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，正六边形的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为________． 【答案】． 【解析】 【分析】求出的面积和扇形的面积与扇形的面积即可求解. 【详解】如图，连接GA，GB.由题意知，线段GA，GB，AB的长度都等于半径2， 所以为正三角形，则， 故的面积为，扇形的面积为. 由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等， 所以阴影部分的面积. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即得； （2）由条件判断集合B是集合的真子集，进而得到关于参数的不等式，求解即得. 【小问1详解】 由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 16. （1）已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值； （2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值； （3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值； 【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；（3）函数的最大值为 【解析】 【详解】试题分析： （1）根据基本不等式的性质可知，进而求得的最大值． （2）将方程变形为代入可得然后利用基本不等式求解． （3）先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可 试题解析： （1） , 当且仅当,时取等号， 故的最大值为 （2） ， 当且仅当即时取等号 故答案为 （3） 当且仅当,即时,上式成立,故当时, 函数的最大值为. 考点：基本不等式 17 （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （3）根据指数幂运算性质及对数的运算法则计算可得. 【详解】（1） ； （2） ； （3） . 18. 现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为5m和m，，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设. （1）求渔网长度，用含有的式子表示，并写出定义域； （2）求养殖面积的最小值，及此时的值； （3）若分别以为直径制作两个圆形的遮阳蓬，求两遮阳蓬面积和的最小值. 【答案】（1），. （2）养殖面积的最小值为，及此时的. （3） 【解析】 【分析】（1）过点作垂直于，垂直点为，求得，，即可求出，此时. （2）表示出，，所以，再由基本不等式即可求出养殖面积的最小值. （3）表示出两遮阳蓬面积和，由不等式“1”的代换即可得出答案. 【小问1详解】 过点作垂直于，垂足为， 则，， 所以，， 所以，. 【小问2详解】 ，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即，即时取等， 所以养殖面积的最小值为，及此时的. 【小问3详解】 因，， 设两遮阳蓬面积和为， 则 ， 当且仅当即时取等. 故两遮阳蓬面积和的最小值为. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析 （2） （3）答案和理由见解析 【解析】 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可； （2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可. 小问1详解】 ∵，∴，则是“伪奇函数”． 【小问2详解】 令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. 【小问3详解】 当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $