精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

杭州学军中学2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 命题人：徐雪青 审题人：郑燕平 一､选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出、的值，即可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】将双曲线方程化为标准方程可得， 则，，所以， 因此该双曲线的离心率为. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：A 3. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由焦半径公式即可求解. 【详解】由焦半径公式可得：，又， 所以， 故选：B 4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】设出公比，利用题干条件得到方程，求出公比，从而得到，得到答案. 【详解】设公比为，由得， 解得，负值舍去，故，所以. 故选：B 5. 、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项直接判断直线、的位置关系，可判断A选项的正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断BC选项的正误；利用空间向量法可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若，，，则与平行或异面，A选项错误； 对于B选项，若，，则或，B选项错误； 对于C选项，若，，则、、或与斜交，C选项错误； 对于D选项，设直线、的方向向量分别为、， 由于，则平面的一个法向量为，，则平面的一个法向量为， 因为，则，因此，，D选项正确. 故选：D. 6. 如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，所以，结合椭圆的定义得，所以在中，． 【详解】如图所示： 延长交的延长线于点， 因为为的外角平分线，， 所以易得，所以，， 结合椭圆的定义得， 又为的中点，为的中点， 所以在中，. 故选：B. 7. 已知函数在处有极值10，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案. 【详解】由函数有. 函数在处有极小值10. 所以，即 解得: 或 当时， 令得或，得 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 显然满足函数在处有极小值10. 当时， 所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10. 所以 故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于，根据函数的极小点和对应的极值求参数，注意这种试题根据条件需要借助函数单调性进行检验，是易错题，属于中档题. 8. 在四面体中（如图），平面平面是等边三角形，，为的中点，在侧面上（包含边界），若，则下列不正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】D 【解析】 【分析】设，得出关系式，A根据平面向量基本定理判断；B根据，可得点在线段上，根据平面可得；C、D过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【详解】由，平面平面，平面平面， 平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于A，若，则，则共面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，平面，得，B正确； 对于C，在平面内，过作，垂足为， 因为是等边三角形，所以，， 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，所以，则， 显然当点与点重合时，最小，此时， 则，C正确； 对于D，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，D错误. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，点P是底面（含边界）内一动点，且平面，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断A,C，计算点到平面距离结合结合三棱锥的体积公式计算判断B,应用空间向量法求异面直线所成角结合值域及角的范围即可判断D. 【详解】 以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系,不妨取正方体的棱长为4. 由题意可得： ,则，，. 设平面的法向量为，则，取，得. 因为平面，则，所以则， 对于A:，，所以，A正确； 对于B: 因为 所以到平面的距离为， 因为的面积为, 所以三棱锥的体积为为定值，B正确； 对于C: 因为,，所以不平行，所以与平面不垂直，C错误； 对于D:设直线与平面所成的角为，因， 则. 设，当时，；当时，, 因，则,,,,, 即，因,，综上可得：，故D正确. 故选：ABD. 10. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（ ）. A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因为，所以是递增数列，故④正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题. 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数求得，可得，再由导数研究的区间单调性，可得，即可求解. 【详解】令且，则恒成立， 所以在上单调递增，则，即， 由得，， 而， 所以，即， 设且，则，所以在单调递增， 由，得，则， 所以. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出切点，由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解. 【详解】由题，， 所以切点为，在切点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 数列的前项和为，且，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用递推式把数列分成三个子数列，结合已知条件求出及的关联，进而求出通项公式及前项和公式，最后求出． 【详解】， 可分为三个子数列子数列等比，公比为，首项分别为； ，， ，令，则， ，解得， 子数列的通项公式为：， 设， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知椭圆，左､右焦点分别为，离心率为，椭圆上两点（在轴上方），满足，设点关于轴的对称点为，记的外接圆半径为，的内切圆半径为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可先求解焦半径的长度，再结合余弦定理来求解边长和角度，最后用正弦定理求外接圆半径，用等面积法求内切圆半径，从而得到比值. 【详解】 不妨设 ，则 ， 根据椭圆的定义可知：， 根据余弦定理得： ， ， 联立两式可得：， 化简得： ， 再由离心率 代入化简得：， 再化简得： ， 解得：，即， 所以可知点 为椭圆的上、下顶点，且 ， 再由余弦定理： ， 又由余弦定理得： ， 在三角形中，则有， 即三角形外接圆半径满足： 则有， ， ， 则， 则， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）因为， 所以， 故 . 【解析】 【分析】（1）由，得，从而为常数列； （2）求出通项公式，裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为，得， 所以， 数列为常数列，则， 所以，. 【小问2详解】 略 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： （1）求圆的方程； （2）若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点列式计算求解； （2）设直线方程分斜率存在及斜率不存在，分别再应用点到直线距离求解即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为. 圆经过点和，且圆心在直线：上， ，解得，，， 圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为， 根据点到直线的距离公式得， 解得：，即直线的方程为； 当直线斜率不存在时，，满足条件. 故直线的方程为或. 17. 如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）如图，在梯形中，因为， 作于，则，所以， 所以，连结，由余弦定理可求得， 因为，所以， 因为平面平面且交于， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证； （2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结，由（1）可知，平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结，由（1）可知，平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为平面，所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为，即， 在中，因为，所以， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 所以， 由图可知，二面角锐二面角， 故二面角的余弦值为. 【点睛】 本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有： （1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键. 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2） 当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为的单调递减区间为； （3） ， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得，令，则，则， 得， 则， ， 则， 令， 则，所以在上单调递增， 所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，从而得到在处取得极大值，极大值为，无极小值； （2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调区间； （3），求导，得到是方程的两不等正根，从而得到不等式，得，令，则，则，令，求导，得到的单调性，故，所以，即. 【小问1详解】 当时，，定义域为，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值； 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为的单调递减区间为； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的右顶点为，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知为坐标原点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （i）若，且分别在直线上，探究：是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若，点在轴上方，记椭圆的左焦点为，若，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）是，；（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质可确定其方程； （2）（i）采用分析证明法得到即证，设直线的方程，联立曲线方程得到韦达定理，再设直线的方程，结合韦达定理化简可得； （ii）由两向量关系分别得到和，再由三角形面积关系得到的表达式，设直线的方程为，直曲联立，结合韦达定理化简可得. 【小问1详解】 依题意，.故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， （i）结论：.下面给出证明. ，故要证， 即证，即证， 即证，即证，即证. 设直线的方程为，由消去，得， 由，得或. 则， 设直线的方程为，令，得，故， 同理，，则， 故，则. （ii）因为，所以， 因为，所以， 则 ， ， 所以.（*） 由已知直线的斜率不为0，故设直线的方程为， 联立消可得， 其中， 则， 所以， 因为，所以，所以， 解得，即， 代入（*）式可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 命题人：徐雪青 审题人：郑燕平 一､选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 抛物线上一点A到焦点的距离为8，则点A的横坐标为（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 8 4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 5. 、为不重合的平面，、为两条直线，下列命题正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 已知函数在处有极值10，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或6 8. 在四面体中（如图），平面平面是等边三角形，，为的中点，在侧面上（包含边界），若，则下列不正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，点P是底面（含边界）内一动点，且平面，则下列选项正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 异面直线与所成角的取值范围为 10. 下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（ ）. A. 数列是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是递增数列 11. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 数列的前项和为，且，且，则__________． 14. 已知椭圆，左､右焦点分别为，离心率为，椭圆上两点（在轴上方），满足，设点关于轴的对称点为，记的外接圆半径为，的内切圆半径为，则的值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： （1）求圆的方程； （2）若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 17. 如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）求的单调区间； （3）设是函数的两个极值点，证明：. 19. 已知椭圆的右顶点为，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知为坐标原点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点. （i）若，且分别在直线上，探究：是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若，点在轴上方，记椭圆的左焦点为，若，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $