专题 8.5 平行四边形考点与题型分类专题（4大考点12类题型）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.5 平行四边形考点与题型分类专题（4大考点12类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 1 【考点一】平行四边形的定义与性质 1 题型 1：利用平行四边形边的性质计算边长 1 题型 2：利用平行四边形角的性质计算角度 4 题型 3：利用平行四边形对角线的性质计算线段长度 6 【考点二】平行四边形的判定 7 题型 4：用 “边” 的条件判定平行四边形 7 题型 5：用 “角” 的条件判定平行四边形 9 题型 6：用 “对角线” 的条件判定平行四边形 11 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 13 【考点三】平行四边形的性质与判定综合 13 题型 7：性质与判定的互证推理 13 题型 8：含特殊条件（角平分线、垂线）的平行四边形计算 17 题型 9：动态平行四边形问题分析 23 题型 10：与已知三点构成平行四边形的点的个数 29 【考点四】平行四边形存在性与坐标应用 34 题型 11：平行四边形存在性问题 34 题型 12：平行四边形与最值问题探究 42 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】平行四边形的定义与性质 题型 1：利用平行四边形边的性质计算边长 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，，证明，得出，即可得出答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质，得出，，再结合平分，则，故，即可作答． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 则． 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，再结合，，即可证明； （2）由平行四边形的性质得；由平分，得，由（1）知，则，可得，由即可求解． （1）证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 题型 2：利用平行四边形角的性质计算角度 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，结合角平分线的定义及平行线的性质，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图所示，已知四边形是平行四边形． (1)按要求尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——角平分线的作法，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等： （1）根据作已知角的平分线的作法解答，即可； （2）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，即可求出结论． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：四边形是平行四边形 平分 题型 3：利用平行四边形对角线的性质计算线段长度 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理计算可得，即可得解． 解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，且，求的周长． 【答案】26 本题主要考查了平行四边形的性质， 首先根据平行四边形的性质和对角线的和求得的长，然后根据的长求得的长，从而求得的周长． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴的周长． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【考点二】平行四边形的判定 题型 4：用 “边” 的条件判定平行四边形 1．（25-26九年级上·广东中山·开学考试）已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，结合，得到，即可得证． 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形． 2．（24-25八年级下·山东青岛·月考）已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．利用两组对边相等的四边形是平行四边形证明即可． 证明：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，，，E、F是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定定理是解题的关键．先证明，得到，再由，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 题型 5：用 “角” 的条件判定平行四边形 1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，将两条不同宽度的长方形纸条重叠在一起，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的判定，平行线的判定与性质，由垂直定义可知，再通过等边对等角得，然后通过平行线的判定可得，最后由平行四边形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． （1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型 6：用 “对角线” 的条件判定平行四边形 1．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定． 首先由四边形是平行四边形得到，，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可得到． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连接，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由平行四边形的判定即可证明． 证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点三】平行四边形的性质与判定综合 题型 7：性质与判定的互证推理 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可 解：∵，即且 ∴四边形是平行四边形， ∴故①正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又，即 ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确； 设间的距离为， ∴ ∴故③正确； 又 ∵ ∴故④正确； 综上，正确的绪论是①②③④，共4个， 故选：D 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由，得出，可判断；证明得，证明得，可推出四边形的形状，可判断；由平行四边形的性质得，可判断；最后求出，可判断；可得出答案． 解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴，故结论正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论正确； ∴，故结论错误； 过作于，如图所示， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故结论错误； ∴正确的个数是个． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识．掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 题型 8：含特殊条件（角平分线、垂线）的平行四边形计算 1．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（   ） A．2 B． C．1 D．没法求出 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是2， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，分别求出点P恰好在线段上和直线恰好经过点C时m的值即可得到答案． 解：如图所示，当点P恰好在线段上时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 如图所示，当直线恰好经过点C时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∴点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是， 故答案为：． 3．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论； （2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可． （1）证：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点．（要求：只保留作图痕迹）． (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：且． 证明：四边形为平行四边形，且 ① ，，同理可得， ， ② 又，，同理可得， ③ ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④平行且相等 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可解题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后得到结论即可． （1）如图，点E即为所作； （2）证明：四边形为平行四边形， 且 ， ，同理可得， ， 又， ，同理可得， ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段平行且相等． 题型 9：动态平行四边形问题分析 1．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得的长是解题的关键． 由图②知，，再根据平行四边形的周长公式计算即可． 解：由图②知，， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江温州·月考）如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 故答案为：或或． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）首先求出点A和点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． （1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， ； （2）解：设，， 当为平行四边形的对角线时，如下图： ， ，由平行四边形的性质得：和互相平分 ∴，， 解得，， ； 当为平行四边形的对角线时，如下图： 同理可得，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标为或． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 题型 10：与已知三点构成平行四边形的点的个数 1．（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）平面直角坐标系中三个点的坐标分别为、、，如果第四个点和这三个点正好可以连成一个平行四边形，则第四个点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，已知三个顶点时，第四个顶点的位置可通过中点公式或向量平移确定，分别考虑三种可能的对角线组合，计算对应的第四个点坐标，验证各选项即可． 解：设与点、、构造平行四边形的第四点为点，可能情况如下： 若O、B为对角线，则中点坐标为，A与D的中点也应为，解得D为，选项C符合题意； 若O、A为对角线，则中点坐标为，B与D的中点也应为，解得D为，选项A符合题意； 若A、B为对角线，则中点坐标为，O与D的中点也应为，解得D为选项D符合题意； 选项B无法通过上述任何情况得出，因此不可能是第四个点的坐标， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，第四个顶点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 在平面直角坐标系中确定的位置，根据平行四边形的性质分类讨论即可． 解：如图所示， 以为对角线，则四边形是平行四边形， ∴； 以为对角线，则四边形是平行四边形， ∴； 以为对角线，则四边形是平行四边形， ∴； 综上所述，第四个顶点的坐标是或或， 故答案为：或或 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 解：如图， ∵，， ∴， ①时， ∵， ∴，即； ②， ∵ ∴，即； ③， ∵，， ∴，即 故D点坐标为或或 故答案为：或或． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为 ； （2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先求得，即，；如图：过点C作轴于M，再证明可得、，即可确定点C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，易得；设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，然后分为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平行四边形的性质求解即可． 解：（1）当时，；当时，； ∴， ∴，， 如图：过点C作轴于M， ∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴上方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即； 如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴下方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即； 如图：当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即． 综上，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 【考点四】平行四边形存在性与坐标应用 题型 11：平行四边形存在性问题 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，结合角平分线的定义得出，由等角对等边即可得解； （2）由（1）可得，求出，由题意可得，，结合题意可得要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要，再分两种情况：当点在边上时；点在边的延长线上时，分别求解即可； （3）连接交于，由题意可得必过的中点，即为的中点，证明，得出，表示出，，得出，解方程即可得解． （1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∵， ∴要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在边的延长线上时，则， ∴， ∴； 综上所述，或时，以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形； （3）解：如图，连接交于， ∵线段将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴必过的中点，即    为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 (1)求直线的表达式． (2)点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）对于一次函数，令，得到，由，得到，根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）设，，分两种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，由平行四边形的对角线的中点重合，根据中点公式列出方程组，求解即可． （1）解：对于一次函数，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：存在点D，点A，B，D，E构成以为边的平行四边形．理由如下： 对于一次函数，令，则， 解得， ∴， ∵点E为直线上一动点，点D在y轴上， ∴设，， ①当，为对角线时，，的中点重合， ∴，解得， ∴； ②当，为对角线时，，的中点重合， ∴，解得， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，直线与轴交于点，点在第四象限，． (1)求的长； (2)连接，若． ①求点的坐标； ②若点在直线上，且在轴下方，试探究轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）求出、点坐标，即可求的长； （2）①过点作轴于点，根据题意求出，从而得到，判断出是等腰直角三角形，能求出，，则的坐标为； ②当四边形为平行四边形时，，即轴，，可得点的纵坐标为，求出直线的解析式为，由点在直线上，求出，再求即可． （1）解：直线分别与轴、轴交于点， 令，则， 令时，则， ，， ， ； （2）解：①过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 点的坐标为； ②存在，理由如下： 当四边形为平行四边形时，，即轴，， 点的纵坐标为， ，， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 点在直线上， ， 解得， ， ， ， ． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，或或 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，平行四边形的性质，一次函数与几何图形的综合应用： （1）根据平移规则，求出的坐标即可； （2）求出直线的解析式，设，分分别为对角线进行讨论求解即可． （1）解：∵将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段，，， ∴，即：； 故答案为：； （2）存在， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，， ∴， 设，当以为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况进行讨论， 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式可得：， 把代入，得：， ∴； 综上：或或． 题型 12：平行四边形与最值问题探究 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．过点作直线，过点作轴，证明，当最小时，对角线取得最小值，即可得到答案． 解：过点作直线，过点作轴，直线与交于点，与轴交于点，直线与交于点， 平行四边形， ， 直线和均垂直于轴， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由于的长不变，故当最小时，即点在轴上时，对角线取得最小值， 最小值为， 故选D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知平行四边形的面积为16，，，点P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和含30度的直角三角形性质，熟练应用相关性质是解题的关键．过点于H，作，交的延长线于点，先求出，可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为． 解：如图，过点作于H，作，交的延长线于点， 平行四边形的面积为16，，， ， 设，则，， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 在中，， ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平行四边形中，，点为射线上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和垂线段最短．过点作于点，在上截取，连接，如图，先根据旋转的性质得到，，再证明得到，接着根据垂线段最短得到时，最小，此时最小，利用平行线之间的距离相等得到，然后在中利用含30度角的直角三角形三边的关系求出 解：过点作于点，在上截取，连接，如图， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 时，最小，此时最小， 而的最小值为， 点到的距离为， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形的三边关系；利用轴对称和平行四边形的性质将转化为，然后由三角形的三边关系得，当M点移动到与D点重合时，的值最小值为的长度，最后利用勾股定理求出即可. 解：如图所示，作E点关于的对称点，连接，，过M作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点F，连接， 由轴对称的性质得，， ∵，， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴ ∴当M点移动到与D点重合时，有， 即此时的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴在中，. 故的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.5 平行四边形考点与题型分类专题（4大考点12类题型） 目录 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 1 【考点一】平行四边形的定义与性质 1 题型 1：利用平行四边形边的性质计算边长 1 题型 2：利用平行四边形角的性质计算角度 2 题型 3：利用平行四边形对角线的性质计算线段长度 3 【考点二】平行四边形的判定 3 题型 4：用 “边” 的条件判定平行四边形 3 题型 5：用 “角” 的条件判定平行四边形 4 题型 6：用 “对角线” 的条件判定平行四边形 5 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 5 【考点三】平行四边形的性质与判定综合 5 题型 7：性质与判定的互证推理 5 题型 8：含特殊条件（角平分线、垂线）的平行四边形计算 6 题型 9：动态平行四边形问题分析 8 题型 10：与已知三点构成平行四边形的点的个数 9 【考点四】平行四边形存在性与坐标应用 10 题型 11：平行四边形存在性问题 10 题型 12：平行四边形与最值问题探究 12 基础篇（夯实概念 + 基础计算） 【考点一】平行四边形的定义与性质 题型 1：利用平行四边形边的性质计算边长 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，，，求的长． 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 题型 2：利用平行四边形角的性质计算角度 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，交于点E．若，求的度数． 3．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图所示，已知四边形是平行四边形． (1)按要求尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)若，求的度数． 题型 3：利用平行四边形对角线的性质计算线段长度 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，且，求的周长． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 【考点二】平行四边形的判定 题型 4：用 “边” 的条件判定平行四边形 1．（25-26九年级上·广东中山·开学考试）已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 2．（24-25八年级下·山东青岛·月考）已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，，，E、F是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 题型 5：用 “角” 的条件判定平行四边形 1．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，将两条不同宽度的长方形纸条重叠在一起，使，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 题型 6：用 “对角线” 的条件判定平行四边形 1．（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 培优篇（综合应用 + 逻辑推理） 【考点三】平行四边形的性质与判定综合 题型 7：性质与判定的互证推理 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；四边形是平行四边形；；．正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型 8：含特殊条件（角平分线、垂线）的平行四边形计算 1．（2025·广东惠州·一模）如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（   ） A．2 B． C．1 D．没法求出 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，，与的角平分线交于点，连接并延长交直线于点．若点落在线段上（包括端点，），则的取值范围是 ． 3．（2024·江苏镇江·二模）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，连接，．    (1)求证：点E是中点； (2)若，，则的长为 ___． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点．（要求：只保留作图痕迹）． (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：且． 证明：四边形为平行四边形，且 ① ，，同理可得， ， ② 又，，同理可得， ③ ． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段④ ． 题型 9：动态平行四边形问题分析 1．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在中，动点P从点B出发，沿折线运动，设点P经过的路程为x，的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则的周长为（    ）． A．14 B．18 C．20 D．28 2．（23-24八年级下·浙江温州·月考）如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，若，点为轴上一点，且点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一个动点，点为直线上一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 4．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 题型 10：与已知三点构成平行四边形的点的个数 1．（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）平面直角坐标系中三个点的坐标分别为、、，如果第四个点和这三个点正好可以连成一个平行四边形，则第四个点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，第四个顶点的坐标是 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是 ． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为 ； （2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ． 【考点四】平行四边形存在性与坐标应用 题型 11：平行四边形存在性问题 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)求的长； (2)是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C，且 (1)求直线的表达式． (2)点E为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使点A，B，D，E构成以为边的平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，直线与轴交于点，点在第四象限，． (1)求的长； (2)连接，若． ①求点的坐标； ②若点在直线上，且在轴下方，试探究轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 4．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将线段先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)点是直线上的动点，在轴上是否存在，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型 12：平行四边形与最值问题探究 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知平行四边形的顶点A、 C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知平行四边形的面积为16，，，点P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平行四边形中，，点为射线上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，若的最小值为，则 ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $