专题 8.1 平行四边形（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦平行四边形核心知识点，系统梳理定义、性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分）及判定（定义、两组对边相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分），通过★基础、★★综合、★★★探究题型分层设计，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“知识梳理+题型精析+中考真题”为框架，通过例题变式训练培养几何直观与推理能力，结合中考真题强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题 8.1 平行四边形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行四边形定义 2 ★【题型 1】利用平行四边形定义求值 2 【知识点二】平行四边形性质 4 ★【题型 2】利用平行四边形性质辨析 4 ★【题型 3】利用平行四边形对边相等、对角相等求值证明 6 ★★【题型 4】利用平行四边形性质对角线互相平分求值证明 9 【知识点三】平行四边形判定 11 ★【题型 5】平行四边形的判定辨析 12 ★【题型 6】平行四边形的判定——平行四边形定义进行判断 15 ★【题型 7】平行四边形的判定——两组对边相等 17 ★【题型 8】平行四边形的判定——一组对边平行且相等 18 ★【题型 9】平行四边形的判定——对角线互相平分 20 ★【题型 10】平行四边形的性质与判定综合 22 ★【题型 11】平行四边形的性质与判定的应用 26 ★★【题型 12】平行四边形的性质与判定综合 29 ★★★【题型 13】平行四边形的性质与判定综合探究 33 二.中考真题 41 （一）单选题（6题） 41 （二）填空题（8题） 46 （三）填空题（3题） 56 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 如图一中的四边形ABCD平行四边形，记作“”，读作“平行四边形ABCD”. 图一 ★【题型 1】利用平行四边形定义求值 【例题1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的定义，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． （1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 【变式1】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，于点，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，在平行四边形中，若，则的大小为 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质是关键；由平行四边形的定义得，则有；再把代入即可求解． 解：在平行四边形中，， ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【知识点二】平行四边形性质 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分. 如图二：在平行四边形ABCD中， （1）∥且，∥且；（2），； （3），. 图二 ★【题型 2】利用平行四边形性质辨析 【例题2】（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 根据平行四边形的性质进行判断即可． 解： A、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； B、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； C、根据平行四边形的对角线互相平分，可得，故本选项正确，符合题意； D、根据平行四边形的对角线互相平分，无法得到，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 根据平行四边形的边角对角线性质逐一判断，即得． 解：∵四边形是平行四边形， ∴A. ，不一定成立； B. ，不一定成立； C. ，一定成立； D. ，不一定成立． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 解：∵， ∴，，，故结论A、B正确； ∴，故结论C正确； 无法证明，故结论D错误； 故选：D． ★【题型 3】利用平行四边形对边相等、对角相等求值证明 【例题3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知，在中，，，，为垂足． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质得出，，再证明即可； （2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，再利用三角形内角和求解即可． （1）证明：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ． 【变式1】（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移与坐标的关系，掌握平移与坐标变化的关系是解题的关键． 先确定和的坐标，再找出平移到时坐标的变化，根据坐标的变化求解即可． ∵，， ∴，， 在中，，即平移到， ∵点C的坐标为， ∴平移的方式是：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·北京昌平·期中）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ★★【题型 4】利用平行四边形性质对角线互相平分求值证明 【例题4】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，法一：通过证明，根据全等三角形的性质可求解；法二：通过证明四边形是平行四边形，进而问题可求证． 解：法一：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 法二：连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的周长多，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分可得，再由的周长比的周长多，可以求出的长，最后根据即可求解． 解：∵， ∴，， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，添加：，根据平行四边形的性质得，，继而得到，即可得证．掌握平行四边形的判定是解题的关键． 解：添加的一个条件为．理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 解：∵的对角线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与的距离为8． 故答案为：8． 【知识点三】平行四边形判定 （1） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如图三，四边形ABCD中，若，∥，或，∥, 则四边形是平行四边形. （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如图三，四边形ABCD中，即若，，则四边形是平行四边形. （3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 如图三，四边形ABCD中，若，，则四边形是平行四边形. 图三 ★【题型 5】平行四边形的判定辨析 【例题5】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理即可求解． 解：如图， A、，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； B、，，可以证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不合题意； C、，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不合题意； D、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定平行四边形，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·贵州·月考）如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 解：A．，，一组对边平行，一组对角相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，故A错误； B．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，故B错误； C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形，不能判定该四边形是平行四边形，故C错误； D．，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 【变式3】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． ★【题型 6】平行四边形的判定——平行四边形定义进行判断 【例题6】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明可得结论；（2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，推出，进而得到，证明，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可得证． 解：∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形， ，即， 又， 四边形是平行四边形． ★【题型 7】平行四边形的判定——两组对边相等 【例题7】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·月考）已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．利用两组对边相等的四边形是平行四边形证明即可． 证明：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·天津·月考）如图，在四边形中，E，F分别为边的中点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．先由中点的定义得到，再由得到，则，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明． 证明：∵E，F分别为边的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ★【题型 8】平行四边形的判定——一组对边平行且相等 【例题8】（25-26九年级上·广东中山·开学考试）已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，结合，得到，即可得证． 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，，，E、F是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定定理是解题的关键．先证明，得到，再由，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． （1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． ★【题型 9】平行四边形的判定——对角线互相平分 【例题9】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定． 首先由四边形是平行四边形得到，，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可得到． ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定，是解题的关键：证明，得到，即可得证． 解：∵的对角线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，连接，交于点O．证明，，从而可得结论，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴． 即． ∴四边形是平行四边形． ★【题型 10】平行四边形的性质与判定综合 【例题10】（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，则，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． （1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，四边形为平行四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 先证明四边形是平行四边形，得到，即可得到的长． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可. 解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的周长是16， 故答案为：16． 【变式3】（24-25八年级下·四川泸州·月考）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． （1）证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． ★【题型 11】平行四边形的性质与判定的应用 【例题11】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为10，则平移距离为 ． 【答案】2 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=2，即得平移距离． 在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°， ∴AC=AB=5， ∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF， ∴AD=BE， ， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于10， ∴AC•BE=10，即5BE=10， ∴BE=2，即平移距离等于2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质、熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图：已知在中，，为上任意一点，交于，交于，求证：.    【答案】见解析． 【分析】可先证得四边形为平行四边形，得到，再证明，得到． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，解题的关键在于采用等量代换的方法处理问题． ★★【题型 12】平行四边形的性质与判定综合 【例题12】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据已知得出，进而根据，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据题意得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． （1）证明：， ； 又， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形，， ； ， ； ， ，； ， ． 【变式1】（2025·湖南岳阳·二模）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求线段长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形． （2）根据勾股定理可得，由等面积法得出，根据勾股定理计算即可． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴， ∵, ∴, ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·月考）已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)最小时点的坐标为，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系，图形的平移，三角形内角和定理． （1）根据点平移的性质即可得点、点的坐标； （2）先根据平移的性质得四边形是平行四边形，进而得，，，再根据三角形内角和定理可得出与的数量关系； （3）由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小，即可得出Q点坐标． （1）解：∵、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设交于F，交于P， 由平移可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：最小时点的坐标为，理由如下： 连接交于，由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小， 即Q在位置时最小， ∵直线轴于， ∴G的横坐标2， 设Q点坐标为，， ∴， 解得， ， ∴， 即最小时点的坐标为． ★★★【题型 13】平行四边形的性质与判定综合探究 【例题13】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连结与交于点G． ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连结与交于点H，若，，试探究，，三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）①证明，由平行线的判定可得出结论； ②证明四边形为平行四边形，得出，由勾股定理求出，过点E作于N，由勾股定理可得出答案； （2）证出，以C为顶点作，交的延长线于P，证出，则可得出结论． （1）①证明：， ， 又， 平分， ∴， ， ； ②解：在中，，， ， 如图，过点E作于N， ，，， ， ，， ， 在中， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 又由①得，， 四边形为平行四边形， ， ； （2）解：， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 如图2，以C为顶点作，交的延长线于P， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【变式1】（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，则，由证得，即可得出结论； （2）由勾股定理得出，由平行四边形的性质得出，，推出，求出，即，由，即可得出结论； （3）由，得出，证得四边形是平行四边形，则，由得，得出，由得，由，，则． 解：（1） ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）；理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ； （3）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 由（1）得：， ， 由（）得：， ，， 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等、同底等高的三角形面积相等是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： (1)操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． (2)探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． (3)拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由翻折的性质得出，，由平移的性质得出，，由平行线的性质得出，进而可得出，再证明，由全等三角形的性质得出． （2）同（1）过程一致． （3）先得出，平移平移到，则，证明点C，B，G三点共线，进而可得出，再得出，证明四边形为平行四边形，进而根据平行四边形的性质以及角度的和差关系即可得出答案． （1）解：， ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴． （2）解：成立，理由如下： ∵沿着翻折得到， ∴，， 将平移至位置， ∴，， ∴ ∴， 在与中， ∴ ∴ 即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立． （3）解：∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴． 如下图平移平移到，则， ∴， ∵点A，B，F三点共线， ∴点C，B，G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 则， 则，且， ∴四边形为平行四边形， 设， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，翻折的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定以及性质等知识，掌握平移的性质，翻折的性质是解题的关键． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 4．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 6．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． （二）填空题（8题） 7．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 8．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 10．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】考查平行四边形性质、全等三角形、面积公式及勾股定理，用面积分割与对称性思想．关键是借对称性证全等、用面积求线段，再构直角三角形计算；易错点是漏用对称性或误判直角边． 首先通过构造垂线得到直角三角形，利用的锐角三角函数求得，接着计算得到平行四边形总面积，得每部分面积为． 然后借对称性证，得、． 由平行四边形的对称性与面积平衡再设，用与的面积列方程，解得，推得、． 最后过作构直角三角形，用勾股定理得． 解：过A作于点H， ， 在中，． ， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，， 连接， ∴经过中心点O， ∴， ∵ ． 同理得：， ∴，． 设，过作于点Q， 在中， 在中，由三角形面积公式：   ． 过E作于延长线上点G， 又，， 且． 在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得， ， 解得， ． 过M作交于P，过A作于点H， 则． ，． ． 在中，由勾股定理：   ． 故答案为：． 14．（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，含角的直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质．若与重合，在上，且，则，由角所对直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，从而可得的面积和平行四边形纸片的面积，相减可得四边形的面积，进而可得与四边形的面积的比；取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，取的中点，的中点，连接，连接，，交于点，当过点或当过点时，折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，分别求出每种情况对应的的取值范围即可． 解：若与重合，在上，且， 则， ， ． ． ， ． 由勾股定理得，． ，． ． ． 与四边形的面积的比为． 若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为， 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． 平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合， ∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为， 四边形的面积与四边形的面积的比为． 当时，取最小值，由可知，的最小值为， 作，交延长线于点，则， ， ． ， ． ． ． ，， ． ． ． ． 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． ，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合， 四边形的面积与四边形的面积的比为，     四边形的面积与四边形的面积的比为． 作，交延长线于点，作于点，则，， ． ． ，， ． ． ． ， ． ． 四边形为矩形． ，． ，， ，． ． ∴折痕长的取值范围是或． 故答案为：；或． （三）填空题（3题） 15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 17．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． （1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.1 平行四边形（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行四边形定义 2 ★【题型 1】利用平行四边形定义求值 2 【知识点二】平行四边形性质 4 ★【题型 2】利用平行四边形性质辨析 4 ★【题型 3】利用平行四边形对边相等、对角相等求值证明 6 ★★【题型 4】利用平行四边形性质对角线互相平分求值证明 9 【知识点三】平行四边形判定 11 ★【题型 5】平行四边形的判定辨析 12 ★【题型 6】平行四边形的判定——平行四边形定义进行判断 15 ★【题型 7】平行四边形的判定——两组对边相等 17 ★【题型 8】平行四边形的判定——一组对边平行且相等 18 ★【题型 9】平行四边形的判定——对角线互相平分 20 ★【题型 10】平行四边形的性质与判定综合 22 ★【题型 11】平行四边形的性质与判定的应用 26 ★★【题型 12】平行四边形的性质与判定综合 29 ★★★【题型 13】平行四边形的性质与判定综合探究 33 二.中考真题 41 （一）单选题（6题） 41 （二）填空题（8题） 46 （三）填空题（3题） 56 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 如图一中的四边形ABCD平行四边形，记作“”，读作“平行四边形ABCD”. 图一 ★【题型 1】利用平行四边形定义求值 【例题1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【变式1】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在中，于点，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广西钦州·期末）如图，在平行四边形中，若，则的大小为 ． 【知识点二】平行四边形性质 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分. 如图二：在平行四边形ABCD中， （1）∥且，∥且；（2），； （3），. 图二 ★【题型 2】利用平行四边形性质辨析 【例题2】（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在中，，交于点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，四边形是平行四边形，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． ★【题型 3】利用平行四边形对边相等、对角相等求值证明 【例题3】（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知，在中，，，，为垂足． (1)求证； (2)若，，求的度数． 【变式1】（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为 ． 【变式3】（24-25八年级下·北京昌平·期中）如图，平行四边形中，，平分交边于点，则等于 ． ★★【题型 4】利用平行四边形性质对角线互相平分求值证明 【例题4】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，的对角线与交于点O，点M，N在上，且，求证：． 【变式1】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的周长多，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，、是平行四边形的对角线上的点，要使四边形是平行四边形 （只需添加一个正确的即可）． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ． 【知识点三】平行四边形判定 （1） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 如图三，四边形ABCD中，若，∥，或，∥, 则四边形是平行四边形. （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 如图三，四边形ABCD中，即若，，则四边形是平行四边形. （3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 如图三，四边形ABCD中，若，，则四边形是平行四边形. 图三 ★【题型 5】平行四边形的判定辨析 【例题5】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25八年级下·贵州·月考）如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． ★【题型 6】平行四边形的判定——平行四边形定义进行判断 【例题6】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【变式1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． ★【题型 7】平行四边形的判定——两组对边相等 【例题7】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·月考）已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·天津·月考）如图，在四边形中，E，F分别为边的中点，．求证：四边形是平行四边形． ★【题型 8】平行四边形的判定——一组对边平行且相等 【例题8】（25-26九年级上·广东中山·开学考试）已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在四边形中，，，E、F是对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． ★【题型 9】平行四边形的判定——对角线互相平分 【例题9】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，的对角线、相交于点O，E、F是的对角线上的两点，且，连接、、、．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，已知四边形为平行四边形，将线段两端分别延长至点，，使得，求证：四边形是平行四边形． ★【题型 10】平行四边形的性质与判定综合 【例题10】（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，，，相交于点O．若，则线段的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则四边形的周长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·四川泸州·月考）如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． ★【题型 11】平行四边形的性质与判定的应用 【例题11】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【变式1】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为10，则平移距离为 ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【变式3】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图：已知在中，，为上任意一点，交于，交于，求证：.    ★★【题型 12】平行四边形的性质与判定综合 【例题12】（24-25八年级下·贵州黔东南·月考）如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式1】（2025·湖南岳阳·二模）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求线段长． 【变式2】（24-25七年级下·湖南湘西·月考）已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． ★★★【题型 13】平行四边形的性质与判定综合探究 【例题13】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连结与交于点G． ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连结与交于点H，若，，试探究，，三条线段之间的数量关系． 【变式1】（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与实践： 问题情境： 图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．如图，在平行四边形中，，对角线、相交于点，将直线绕点顺时针旋转一个角度，分别交线段、于点、，已知， ，连接． 猜想验证： （1）如图1，在旋转的过程中，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 探索发现： （2）如图2，当时，请写出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当时，求的面积． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究： (1)操作猜想 如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________． (2)探究证明 在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由． (3)拓展延伸 如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）． 二.中考真题 （一）单选题（6题） 1．（2024·贵州·中考真题）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 4．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 （二）填空题（8题） 7．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ． 8．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 9．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 10．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm． 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 12．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） 13．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ． 14．（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． （三）填空题（3题） 15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 16．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 17．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $