湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

高二数学期末 命题人：肖伟军审题人：师鑫龙 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟。满分150分。 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.（★)在数列{an}中，a+2=an+1一au,a1=3,a2=5,则a4= A.-3 B.9 C.-5 D.13 鼠 2抛物线)=子 的焦点坐标为 如 A(6,o) B(o,6 C.(1,0) D.(0,1) 如 製 3.过函数)）=}一x的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围为 A[, B.[o,)U) C[) D[, 闻 4.近二十年以来，中国载人航天飞速发展，特别是从2025年11月5日到25日，短短20天里，中国 箭 航天科学家为国际航天领域应对突发事件树立了成功范例.2025年11月25日神舟二十二号应 常 相 急发射成功，神二十二与神二十乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神二十 和神二十二每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不 同的站法有 A.72种 B.144种 C.180种 D.288种 5.(★)已知点Q(6,10,-1),平面a={P|n·PQ=0},其中n=(2,1,2),则点A(-1,0,1)到平面a 的距离是 A B.2 c. 0 D.3 6.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y-6)=0于A,B两点，则弦AB的长为 A.√10 B.2√/10 C.2√2 D.4√2 7(★)已知a=,6日c-2日3，则a,6c的大小关系为 9 A.a>b>c B.b>a>c C.ac>b D.b>c>a 高二数学试题(N)第1页（共6页） 8.已知正四棱锥的侧棱长为1，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤≤3√3，则该 正四棱锥体积的取值范围是 A[18,8] B[,] c[ D.[18,27] 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知椭圆C后+益-1的两个焦点分别为A,R,P是椭圆C上任意一点，则 A.△PFF2的面积最大值为8 B.△PF1F2的周长为12 C.PF的最小值为3 D.PF·|PF2的最大值为16 10.(★)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左到右的数 字之和记为an,如a1=1十1=2，a2=1十2十1=4，…，{an}的前n项和记为Sm,则下列说法正确 的是 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 10 第n行 A.在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B.Sg=2046 C.在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为C+1 Ds的前n项和为号 2m+2-2 11.已知O为坐标原，点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,一1)的直线交抛物线C 于P,Q两点，则 A.抛物线C的焦点到准线的距离为 B.直线AB与抛物线C有两个交点 C.OP·|OQ>|OA2 D.BP|·|BQ>|BA|2 高二数学试题(N)第2页（共6页） 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(★)(5一x)°展开式中的常数项为 13.当直线ax+2y十2=0与直线x+(a-1)y+1=0平行时，a= 14.双曲线的光学性质为：如图1，从双曲线的右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射后，反射光线 的反向延长线经过左焦点F.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个 光学性质。某“双曲线灯”的轴藏面是双曲线一部分，如图2，其方程为。-带-1(a>0,b>0), F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，若从右焦点F2发出一对方向相反的光线分别经双曲线上的 点A和点B反射后，满足DALAB,.a∠ABC=一名则会语 ,该双曲线的离心率 为 图1 图2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，AD⊥平面PAB,PA PB,M为PB的中点. (1)求证：EM/∥平面PCD; (2)若AP=AD,AB=√2AD,求直线EM与平面PCE所成角的正弦值. 高二数学试题(N)第3页（共6页） 16.(本小题满分15分) 设函数f(x)=alnx十2-2x+3,曲线y=f(x)在点(2，f(2)处取得极值. (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的极值点. 17.(本小题满分15分) 已知等比数列{an}(n∈N*)为递增数列，且a3=a6,5a3=2a2十2a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=4n一2(n∈N*),数列{b,}的前n项和为S.,证明：S。<6. an 高二数学试题(N)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 如图，已知椭网三+芳-1(Q>6>0)的离心率为号，以该椭圆上的点和椭圆的左，右焦点，上 为顶点的三角形的周长为4（√2十1）.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上 异于顶点的任一点，且点P不在椭圆上，直线PF和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,证明：k1·k2=1; (3)是否存在常数λ，使得|AB+CD=λ|AB引·CD恒成立？若存在，求λ的值；若不存在， 请说明理由. 高二数学试题(N)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲 率”来刻画曲线在某处的弯曲程度.设函数f(x)的定义域为D,其导数为f(x),f(x)的导数为 f(x),xo∈D,将K(xo) |f'(xo)川 n+f7 称为曲线y=f(x)在xo处的曲率，曲率越大弯曲 程度越大 (1)求y=e在x=0处的曲率K(0); (2)用半圆y=√2一x(r>0)的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； (3)设f)=3x2lnar2-号十a,若存在0<)，使)f)在处的曲 率为0，求证：3a(2x1+x2)>8. 高二数学试题(N)第6页（共6页）高二数学期末参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 11 答案A D B B C D B C BD ACD ACD 1.A【解析】由an+2=am+1一an,a=3,a2=5,可得a3=a2一a1=2,a4=a3一a2=2-5=一3.故选A 2.D【解析】由)=}2，得2=4，焦点坐标为0,1，故选D. 3.B【解析】设切线的倾斜角为a,则a∈[0，π)，因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1>≥一1，所以切线的斜率=tan≥-1， 则ac[o,)U[:故选B 4.B【解析】因为第一排的站法有CCA=18(种)，第二排的站法有AAA=8(种)，所以不同的站法有18X8=144(种).故 选B. 5.C【解析】由平面a={P|n·PQ=0},得n=(2,1,2)是平面&的法向量，点Q(6,10,-1)在平面a内，易知AQ=(7,10,-2),所 以点A-10,1)到平面。的距商是破m-12X2+X0+2-2》9装选C n √22+12+22 6.D【解析】过点(0,1)且倾斜角为号的直线l的方程为y-1=3,即√3x-y叶1=0. 因为圆2+-6y=0,即2+(y-3)2=9,所以圆心坐标为(0,3)，半径r=3,圆心到直线1的距离d=一3+1=1， 2 所以直线被圆截得的弦长AB|=2X√32一1严=4V2.故选D. .B【解标】因为a=,6=日-，c=9,构造函数f),则f()=1三， x2 由f(x)=1-h>0,得0<<e,由f(=1-h工<0，得x>e,所以fx)=h在区间(e,十∞)上单调递减， x2 x 因为a=h6=f(6),6=1=血e=f(e),c=23=f(9),又9>6>e,所以6>a>c,故选B 6 9 8.C【解析】如图，设该球的球心为O,半径为R,正四棱锥的底面边长为α，高为h,正四棱锥的侧棱与高所成 P 的角为0，依题意，得36m=号R,解得R=3,所以正四棱维的底面边长a=√②lsin0,高h=10s日 E 在△0PC中，作0ELPC,垂是为E则cas0言-专∈[合]，片以1=6ca0, D 所以正四拨维的体积V=子ch=吉21sin0)2·1os0=号(6cos0 in6=14(sn0cos02. 设血=，易得：[2号]， 令y=in6os30=(1-f)=t-,则y=1-3r,令y=0,得1=写 3 所以当号<号时>0，当得<<号时<0， 所以函数y一一在（合，）上单羽递增，在（停，受）上单调运减。 又当1号时y当1时y：当时y所以号<<2，所以≤< 所以演王回陵维的休叔的取位范国足[学，]，截选心 0.BD【解折】由后+造=1，所以a=4,b=23,c=2,令F(-2,0),E(2,0, 对于A,点P在上，下顶点时，△PFB的面积最大，最大植为号×4X23=43,A错误； 对于B,△PF1F2的周长为2a十2c=12,B正确； 对于C,PF|的最小值为a一c=2,C错误； 对于D,2a=8=|PF+|PF2|≥2√PF·PF2T,即|PF|·|PF2≤16，当且仅当|PF=PFz|时等号成立，D正确， 故选BD. 10.ACD【解析】从第1行开始，第n行的数依次对应(a十b)”的二项式系数， 高二数学参考答案(N)一1 对于A,在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是C0=C。=120,故A正确； 对于B,a,=(1十1)=2，则{a}是首项为2，公比为2的等比数列，所以S.=2二？）=2+1-2， 1-2 则Sg=210-2=1022,故B错误； 对于C,根据题意，从第2行开始，每一行从左到右的第3个数字之和为C爱十C号十…十C%=C十C号十…十C%=C十C十…十C% =…=C+1,故C正确； 2+1 11 对于Ds.·3n121-2》…(2-22-22-2 所以{5}的南0项和为2己22十2亡2十…十22之2改D正确t选ACD 1.ACD【解析】将点A1,1)的坐标代入2=2(p>0),解得p=弓，所以抛物线C:2= 对于A,焦点到准线的距离为？，所以A正确； 对于B,由A1,D,B(0,-1D,得直线AB的方程为y=2-1,联立T二”，得（红-1D=0,得工=1，故直线AB与2=y相 y=2x-1, 切，只有一个公共点，所以B错误； 对于C,设直线PQ:y=kx-1,P(1,),Q(2,x).将PQ:y=bx-1与C:x2=y联立，得x2-kx十1=0，所以△=2-4>0， 十x2=k,x2=1,所以|OP|·|OQ|=√i+x·√十x=|x2|√1十x·√1十x=√2+x十x>√2+2x2T= 2=|OA|2,所以C正确； 对于D,因为|BP1·|BQ|=√1十|x|·√1十|x2|=1十k2>5=|BA|2,所以D正确.故选ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.375【解析J通项T1=C()(-r=(-1rG·5z,=0,,6 令3r-12=0,解得r=4,故常数项为(-1)4C·52=375. 13.-1【解析】直线ax+2y十2=0与直线x十(a-1)y十1=0平行，则a(a-1)-2=0,解得a=-1或a=2, 当a=2时，两直线重合，所以a=一1. 14.√5-2√3（第1空2分，第2空3分）【解析】由题可知F1,A,D三，点共线，F1,B,C三点共线， 如图，连接RA,FRB,设AB=m,则A=m-2a,因为a∠ABC=-合，所以m∠ABF= ,又A⊥AB,所以AB=2A=2m,B=5m,所以BF,=m+2a,BF=m十4a, 所以叶a6m得=65+0=h,0-器-怎25-之 又|FF2|=2c,且AF1⊥AF2,所以4c2=(W5+1)a2+(W5-1)2a2,化简得c2=3a2,所以双曲线 的离心率e=台=3. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)证明：如图，取PC的中点F,连接MF,DF, 则M∥BC/DE,且MF=合BC=DE, 所以四边形DEMF是平行四边形，所以DF∥EM,……5分 因为DFC平面PCD,EM平面PCD,所以EM∥平面PCD.…6分 (2)因为AD⊥平面PAB,PA,PBC平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥PB. 42 以A为原点，以在平面PAB内垂直于AB的直线为x轴，AB,AD所在直线分别为y轴、之轴，建立空D 间直角坐标系Axyz,如图所示， 设AD=2,则AP=2,AB=2√2，因为PA⊥PB,所以∠PAB=45°， 所以P6万2.0，D0.02,B0.2.0,E0.0,1.C0,2E,2》.M号，329.o,8分 所以武-0,2，.元-(-反w,2),威-（受，，-， 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则 n…P心=0，J-2x+√2y+2x=0, 即 n·Ed=0,22y+x=0, 不妨令y=-1,得之=2√2，x=3,所以n=(3,-1,2√2)，…10分 设直线EM与平面PCE所成的角为O, 则sin0=1cos(E成i,m1=D·m=226 EMn√6X3√29' 高二数学参考答案(N)-2 所以直线EM与平面PCE所成角的正弦值为⑤. 9 …13分 16【解折]1)适数团)=ahz+2-2z十3的定义藏为0，十o),子画数了)=兰-号一-2， 因为y=f(x)在点(2，f(2)处取得极值， 所以f(2)=0,所以2a-10=0,解得a=5,… …4分 当a=5时，fx)=5lnx+2-2x+3,f()=5-2-2x--(2z-1)z-2) x x2 当2<x<2时，f(x)>0,当x>2时，f(x)<0,f(2)=0, 所以2为函数y=f(x)的极值点，满足条件， 所以0=5.………7分 (2)由1)可知，f)=5nx+2-2x+3,则f()-5z22∠-二2=2(e>0, 当0<x<号时，f(x)<0,函数y=)在区间（0，)上单调适减； 当2<x<2时，了(x)>0,函数y=f(x)在区间（号，2）上单调递增； 当x>2时，f(x)<0,函数y=f(x)在区间(2，十∞)上单调递减， 故f)的板大值点为2，极小值点为2· …15分 17.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， ∫(a1q)2=aq， 由题意，{5a1d=2a9十2a1d, 解得 /a=2, 1 或 …4分 q=2, (9=2 因为等比数列{an}为递增数列，所以{ a1=2, q=2, 所以an=2X2n-1=2m. …7分 (2)证明：由(1)知6=4n-2_2m-1 2n 2n-19 则数列6}的前n项和S.=之十多十+二，① s=+2+…叶23+20，@ 1 1一2 2n 2n 所以8=62， ………]3分 又因为n∈N所以3>0，所以S.=6-3<6. …15分 18.【解标]10设箱图的丰焦E为6，由题毫知后-号2a十2x=4区+1。 所以a=2√2，c=2.又a2=十c2,所以b=2. 故满圃的标准方根为管十号-1 …2分 由题意设等轴双曲线的标准方程为二一兰 为m一荒=1(m>0), 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2, 因此双曲线的标准方程为子一兰直，…… …4分 (2)由(1)得F(-2,0),F2(2,0),设A(1M),B(x22),P(x,%), ”2 则=出。 因为点P在双曲线x2一y2=4上，所以x号一=4. 因比6年2产气总1，中点版=1… ……8分 (3)设直线PF1的方程为y=1(x+2), 代入椭圆方程得(2好+1)x2十8好x十8好-8=0，显然2k+1≠0，△>0. 高二数学参考答案(N)一3 -8 8号-8 由根与系数的关系得x十一2干1，一2+1 ………10分 所以|AB=√1+好√(+x2)2-4x1x2=V√1+i -8k经11 8k-8 （2+1/ -4×2k+1 4赏 同理可得CD=4E费 11/2好+1123+1y 则AB十CD一42(+1千+T) ,…14分 又点起=1，所以庙十动（贵+ 11/2好+1+ .+1 2(2好+1++2 1十 8+1+1 故1A+1CD=iAB:CD. 因此存在A二32，使1AB十CD=入AB|·|CD恒成立， …17分 19.【解析】(1)由函数y=e,对函数求导可得y=y"=C,则y1x=0=y"|x=0=1, 所以K(0)=- 1 1=② +1)克2/2-4： 3分 ②由丰国)-7>0，可得产与则 2 (2-x), 2 2 所以曲率K(x)=(-x2)是 ………7分 +)于 （) 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小，曲率越大越弯曲， …8分 (3证明：由画数fa)=32hx一ar-号2+a,可得f)=6alhx-3ad-6c十a, 则f'(x)=6lnx-6a.x, 由已知K(x)=K(x2)=0,得f(x1)=f'(x2)=0,所以6lnx一6a1=6lnx2-6ax2=0, 所以h离=a,n场=，两式相除，◆侣会-是=1E0.1, 则x=t2,lnx=tlnx2,将=tx代入上式可得lnx=ln(tac2)=lnt十lnx2=tlnx, 所以nx攻=片，则n石={…1分 由3a(2十x2)=6am+3am=6ln十3ln2=6tn4+3nt=3(2+1)lnt t-1t-1 t-1 即证3(2，)血8，只需证3nt一8C-<0(注意t一1<0)， t-1 2t+1 13分 设=加一8经0，可4=2》20 所以g✉)在0,1上单润道增，所以s)g1=0,所以3汕（一82<0成立. 即3a(20十x2)>8成立.…17分 高二数学参考答案(N)一4