湖南省岳阳市湘阴县2025-2026学年高二上学期教学质量检测试卷数学试题

2025年下期教学质量检测试卷 高二数学 姓名______考号______ 本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效， 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 已知向量与共线，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 5. 已知圆与圆，则两圆（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 6. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线，和圆“相切”，则a应满足（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列数列中，是等差数列的是（ ） A. 1，4，7，10 B. C. D. 10，8，6，4，2 10. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（ ） A. 平面 B. 当时，平面 C. 当时，平面 D. 当时，点G到平面的距离为 11. 我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则（ ） A. 关于轴、轴对称 B. 当不在轴上时， C. 当时，纵坐标的最大值大于 D. 当，有公共点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆：与圆：的公共弦长为______. 13. 已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量与的夹角是_____． 14. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. （1）写出点，的坐标； （2）求证：. 16. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知直线与圆交于，两点． （1）当时． （i）若，求； （ii）求a的取值范围． （2）记坐标原点为O，若，求四边形面积的最大值． 18. 已知椭圆上有点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点． 19. 已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点. （1）求的最小值； （2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标； （3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由. 2025年下期教学质量检测试卷 高二数学 姓名______考号______ 本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效， 4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】90° 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2） ∵，， ∴，. 即， ∴， 故. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）（i）；（ii）， （2） 【18题答案】 【答案】（1）. （2） 设，当直线斜率存在时，设直线方程：， 则由题意得，将，代入整理得： （*）， 将代入椭圆方程整理得， 需满足 ，则， 代入（*）式得：， 整理得， 当时，过B点，不合题意； 故，直线的方程为， 故此时过定点； 当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ， 不妨设， 由可得 ，解得， 此时方程为，也过定点， 综合上述，过定点. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D B AD AC 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角： 【详解】直线√3x-y+2=0的斜率k=√，倾斜角范围为[0，π)， 所以直线5x-y+2-0的顿斜角为号 故选：B 2.C 【分析】利用等差数列的定义求解即可 【详解】因为等差数列{a}的公差为d=-3,所以41-a=9d=-27 故选：C 3.C 【分析】利用抛物线的定义即可求解。 【详解】'点A(1,m)在抛物线y2=2x上，.抛物线开口向右，p>0, 又点A(1,m到抛物线焦点的距离为4,1+2=4，P=6. 2 故选：C 4.D 【分析】根据两向量共线的坐标关系，列出方程求解即可. 【详解】因为向量AB=(1,4,-2)与AC=(-2,-4,b)共线， 显然：b≠0，所以1=4--2 -2-4-b’ 所以a=2,b=4, 故a+b=6. 故选：D 5.D 【分析】根据两圆方程可得圆心和半径，根据圆心距和两圆半径之间关系可得结果 【详解】由两圆方程知：圆心O(-2,0),半径1=2；圆心O(2,-3),半径5=2√2： :圆心距00=V-2-2)}+(0+3}=-5>2+25=方+5，∴两圆外离. 故选：D. 6.B AB.=0 【分析】设平面ABC的法向量=(x,y,=),利用 ,求得向量m的坐标，进而判 AC.n=0 断选项所给向量是否与m共线，即可得答案 AB.m=0 【详解】设平面ABC的法向量m=(x,y=),则 AC.m=0 -x-y+z=0, 因为AB=(-1,-1,1),AC=(2,-2,6),所以 2x-2y+6z=0.' 令x=1,则y=-2,z=-1,所以平面ABC的一个法向量为i=(1,-2,-1). 所以平面ABC的一个法向量的坐标为(1，-2，-1)， 故坐标为(1,2，-1)的向量不与m共线，故A错误： 又(-1,2,1)=-i,故坐标为(-1,2,1)的向量与m共线，故B正确 ☒对-子#片故标为L2训的向最不与m兴线，放C借误 叉≠二子≠故坐标为L-2)的向量不与m共线，故D错误 故选：B. 7.D 2x(0+d5 5 【解析】当两平行直线和圆相交时，由 12x(-1+a2+1<5 求得a的范围，当两平行直 √5 |2×(-1)+d V5 √5 线和圆相离时，由 2x-)+d+l,5 求得a的取值范围；再把以上所求得的α的范围 5 取并集后，再取此并集的补集，即得所求。 【详解】因为圆x2+y2+2x-4=0可化为(x+1)+y=5,圆心为(-1,0)，半径为r=√5， 2x-)+45 √5 当两平行直线和圆相交时，有 2x++l5 解得-√6<a<√6. 5 2x(1)+4,5 有 √5 当两平行直线和圆相离时， 2×-1)+a2+1 解得a<-3或a>7. >√5 5 故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的α的范围取并集后，再取此并集的补 集，即得所求. 故所求的a的取值范围是-3≤a≤-√6或√6≤a≤7， 故选：D 8.B 【分析】由题意可得P为MN的中点，当直线MN的斜率不存在时，设直线N的方程为 x=,求得SoN=2W3xV几I-刀，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为 y=x+t,由P为MN的中点可得t=(4s2+3),利用弦长公式求出W,表示出 Sow=2V3×√21-)，根据0<A<1,判断求解. 【详解】当直线N的斜率不存在时，设直线N的方程为x=,-2√几≤≤2√万， x2,y2 x=X0 =1 联立}43 ,可得 x=x y=±V3 所以MN=25x1- 所以AMOv的面积为Sa=,-手， 由PM+P六=0，可得P为MN的中点，所以P(,0), 因为点P在椭圆C上，所以=士2反，所以SoN=23×√几1-刀， 当直线MN的斜率存在时，设直线N的方程为y=r+t, 联立 年+号1，消去y得，(42+3列+8+4-12=0， y=sx+t .△=64s2t2-4(4s2+3)(4t2-12=48(4s2-+3)>0, 设M(s,),Ns,),则￥+5=-81 42+3’5= 4t2-12 452+3 :当+-ss+3)+2Y45 3t 2 2 452+3 4+3 4st 3t 所以P点坐标为 452+3'452+3 因为点P在椭圆C,上，所以2=2(4s2+3), 因为原点O到直线MN的距离为 √1+3 W=1+3k-=V1+s2×V(x+5)2-4, 所以AM0w的面积为8ww-k,-,上23雨 452+3 23×24s+x0-A4+到-25×a0-两 4s2+3 综上，Sow=2V5xV1-万，又0<a<1, 又8w-220-可-25xa-月+ 所以当元=】时，△MON的面积最大， 故选：B. 9.ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A,满足4一1=7一4=10一7=3（常数），所以是 等差数列，故A正确： 对于B,满足1g4-1g2=g8-1g4=g16-1g8=g2(常数)，所以是等差数列，故B正确： 对于C,因为24-2≠2-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C 错误； 对于D,满足8-10=6-8=4-6=2-4=-2（常数），所以是等差数列，故D正确. 故选：ABD 10.AC 【分析】利用共面向量定理可判断A;以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线为坐标轴 建立空间直角坐标系，求得平面BDF的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD 【详解】因为DG=DA+DD,所以DG,DA,DD共面，又DG,DA,DD均过点D, 所以D,G,D,A共面，所以G∈平面ADDA,故A正确： 以点D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， Z D B B 则D(0,0,0),B(2,2,0),F(0,2,1),D(0,0,2),A(2,0,0),E1,1,0), 所以DB=(2,2,0),DF=(0,2,1),DA=(2,0,0),DD=(0,0,2）, 设平面BDF的一个法向量为n=(y,), iDB=2x+2y=0 则 令x=1,则y=-1,z=2, iDF=2y+z=0 所以平面BDF的一个法向量为n=1,-1,2), 当1=u=1时，DG=DA+DD=(2,0,0)+(0,0,2)=(2,0,2),所以G(2,0,2), 所以AG=(0,0,2),又AG=0+0+4≠0，所以AG不平行于平面BDF,故B错误： 所以EG=L,-1,2),所以EG=,所以EG⊥平面BDF,故C正确： 当=u=号时，c-+号0西=a00+0o.=a0. 所以点G到平面BDF的距离为DGL。一3_=6 m+1+42,放D错误 故选：AC. 11.ACD 【分析】对于A,写出轨迹方程，将(-x,y),(x,-y)代入即可判断，对于B,由三角形两 边之差小于第三边即可判断，对于C,通过x=-2即可判断，对于D,联立方程，得到 f=42-8 结合椭圆范围可判断： 9 【详解】对于选项A:设M(x,y), 由MM=t,得Vx+2)'+y2Vx-2)2+y2=tt>0), 将(x)代入得到V-x+22+y2V-x-2+y2=V(x+2)+y2Vc-22+y2=tt>0), 将将(x,-y)代入得到 Vx+22+(-y)2Vx-2)2+(-y)2=Vx+2)2+y2Vc-2)2+y2=tt>0), 所以C关于x轴、y轴均对称，A正确： 对于选项B:当M不在x轴上时，M与耳，乃不共线，可以作为一个三角形的三个顶点， 所以M-M<=4,B错误； 对于选项C:当t=5时，Vx+2)+yVx-2+y2=5, 当x=-2时，可得：y+16y2-25=0, 解得：y2=V89-8,此时y2-1=V89-9>0, 即y2>1,故当t=5时，点M的纵坐标的最大值大于1，C正确： 对于选项D:由N+N=6,得C,为椭圆， 且a=3,c=2b=V-c-5,其方程为+上=1， 95 所以=51g代入x2旷-yc-2旷+少=e0. -2-0写-g写g8剑 所以9生共，因为0≤ 9 4 s1,所以0s9生其s1, 4 解得：5≤t≤9或-9≤t≤-5舍去，D正确： 故选：ACD 12.410 【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公 式，求得公共弦长即可 x2+y2-10x-10y=0 【详解】联立 x2+y2-6x+2y-40=01 两圆方程相减得公共弦方程：x+3y-10=0, x2+y2-10x-10y=0化为标准方程：(x-5)+(y-5)=50,圆心为(5,5)，半径为5√2 圆心到公共孩的距离为：d=5+5-100, V12+32 公共弦长为： 2V52)2-10=40 综上所述：公共弦长为：410， 故答案为：4v10 13.90° 【分析】根据数量积为0即可得结果 【详解】，a=(cosa,1,sina),b=(sina,l,cosa), ."a=-vcos a+1+sin'a-=v2, a+b)(a-oa-6-d-8=0 ∴.a+b与a-b垂直， .向量a+b与a-b的夹角为：90° 故答案为：90° 14.3+2W2/2W5+3 【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线：x=y+1与抛物线联立方程组可求得 M而+NL,进而根据基本不式求M例+2N的最小值即可 11 【详解】抛物线C:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=5交于A,B两点，且AB=4, 得到第一象限交点(1,2)在抛物线C:y2=2p(p>0)上，所以22=2p, 解得p=2,所以C:y2=4x,则F(1,0), 设直线1：x=y+1,与y2=4x联立得y2-4y-4=0, 设M(5,片)N(x2,乃)，所以y+2=4,y2=-4, 1MW=V1+r1y-为=1+m.Vy+为)2-4%=41+m) 1 1115+5+2 m(☑+当)+4r+4」 M丽+N网x+1*5+1s++5+10+m(g+)+3 4m+4 16 +小=0m4np凉3+网 1） 2NF MF 3+2√2， 当且仅当M例=1+2，w叫=1+5时等号成立 即M+2NF的最小值为3+2√2， 故答案为：3+22 15.(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0) (2)证明见解析 【分析】(1)根据空间直角坐标系中E,F的位置写出坐标： (2)求出4F.CE=0,证明出结论 【详解】(1)根据空间直角坐标系可得E(a,x,0),F(a-X,a,0)6分 (2).4(a,0,a,C(0,a,a, .AF=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a） 即AF.CE=-+a(x-a)十a2=0, .AF⊥CE, 故AF⊥CE… 13分 16.(1)4.=21-1 (2T.=2n+1 n 【分析】(1)根据题意可得S,=n2,利用an,Sn的关系，求an即可： (2)由b,= 1 1 a,4+l 22n-12n+1 再利用裂项相消法求和即可 【详解】(1)由 S. 是首项和公差为1的等差数列，得鸟=1+n-1=,则S=心， n 当n=1时，4=1 当n≥2时，a=S-S1=n-(n-1)2=2n-1, 因为a=1满足上式， 所以数列{a}的通项公式4=21-1.… 7分 (2)因为b.= 1 1111 a.4+1(21-1)(21+1)）221-121+1, 所u=-+引片-1s分 17.(1)(i)MNM=4:(i)-2<a<22, @itR 【分析】(1)(i)在m=1,a=0条件下求得圆心E到直线1的距离d=0,由此判断MN为 直径，再求MW的长， (ii)在m=1条件下求圆心E到直线l的距离d2,由条件可得d<2,解不等式求结论， (2)分a=0,a≠0两种情况确定a,m的关系，求四边形OMN的面积，再求其最大值. 【详解】(1)圆(x-a+(y-1)=4的圆心E的坐标为(a,1),半径r=2, 当m=1时，直线l的方程为x-y+1=0, 当a=0时，点(0，)到直线-+1=0的距离4=01=0. V2+17 故直线x-y+1=0过圆心E(0,1),线段MN为直径，故N=4,3分 a-1+1 2 (ii)圆心E(a,1)到直线x-y+1=0的距离d,= V12+(-1) 2 由已知24<2，所以-22<a<25, .7分 (2)当a=0时，圆(x-a}+(y-1=4的圆心为B(0,1),此时OB的方程为x=0, 由OE/1N可得，m=0,直线1的方程为x=-1, 圆心E(0,1)到直线x=-1的距离d4=1,此时W=2W4-1=2√5， 又O=1,直线x=-1与直线x=0的距离为1， 所以四边形ON的面积为+2]1-+5： 2 2 当a≠0时，直线OE的方程为y=二x,即x-y=0, a 因为OB/N,所以m=a,故直线l的方程为x-+1=0, 此时点B(a)到直线x-四+1=0的距离d,-a+1- 1+(←a2va+i' 1 因为d<2,所以直线1与圆相交，=2V4+2 4+3 a+1 又0E=a2+1, 1 直线x-y=0与直线x-y+1=0的距离为 +a Va2+1+2, 4ad2+3 1 所以四边形OEMN的面积为 a2+11+ 1 V4a2+3, S= 2 2a2+1 所以S= 4a2+3 4am2+4-11 4 1 (a2+1 2 V(a2+1 2 H+1) 1 令t= +1 则0<t<1,s=,+v4-f, 2 因为函数y=4t-P在(0,1)上单调递增， 所以<S=V4-平<t5, 2 2 综上，当a=0m=0时，四边形OBN面积取绿大值，最大值为515分 8.ωy1 (2)证明见解析 【分析】(1)根据题意可求得a,b,c的值，即得答案. (2)当直线斜率存在时，设出直线方程y=c+t并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系 式，结合kgw+kw=1化简可得参数k,t的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直 线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点 【详解】1)根振箱圆定义得，2aP2号， =25,即a=√5， c=1b=VF-c=1,故椭圆的标准方程为 +2=1. 4分 (2)证明：设M(x,),N(x2,),当直线MN斜率存在时，设直线MN方程：y=kx+t, 则由题意得1+=1，将y=+t,为=：+1代入整理得： (2k-1)xx2+(t-1)(31+x2)=0(*), 路y=c+1代入椭圆方程+y=1整理得1+2x+4+2P-2=0 2t2-2 需满足△=82k2-2+1）之0则x+飞2=，221十2k2,10分 代A)式得：-0-》：的-0 1+2k2 整理得(t-1)(2k-t-1)=0, 当t-1=0时，MN过B点，不合题意： 故2k-t-1=0,直线N的方程为y=kx+2k-1=k(x+2)-1, 故此时N过定点(-2，-1)： 当直线斜率不存在时，设N方程为=5，代入号一-1可得y=-号 不妨设M 由kgw+k2w=1可得1-1 ,解得s=-2, 此时N方程为x=-2,也过定点(-2，-1)， 综合上述，N过定点(-2，-1).17分 19.04 59 or 3)k= 2 【分析】(1)利用数量积的坐标表示，转化为二次函数求最值： (2)首先利用点T的坐标表示直线AT和BT的直线方程，并与椭圆方程联立，求点C和点 D的坐标，利用平行线的性质，转化为坐标关系式，即可求解： (3)M,N一个在椭圆T外，一个在椭圆T内，P,2一个在OF内，一个在⊙F外， 利用直线与椭圆相交得交点坐标关系，结合点到直线距离公式得(Q-MP)d2关于k的关 系式，利用基本不等式得最值即可得结论 【详解】(1)设T(3,m),A(-2,0),B(0,-1), A7.B7=(5,m(3,m+1)=15+m2+m= 当0=时，亚所的最小值为 49 4分 （2)ry%(x+2列，与柄圆r: 4+少=1联立， 4 25+2)'=1,即(25+4m)x2+16mx+16m2-100=0, x2, -2xD2 16m2-100 50-8m2 25+4 25+4m y=”-1,与椭圆T:并+少-1联立， 3 0. 3 24(m+1) 得xc= 4m2+87+13 因为四边形ABCD为梯形，所以AB/ICD,所以 AD BC AT BT 于是D+2=,即，20 8(+1) 5 3 25+4m24m2+8+13 整理为8m-12m2+10m-15=0,整理为(2-3)4m2+5)=0, 3 解得：= 使得四边形ABCD为梯形；10分 (3)由题设可知，M,N一个在椭圆T外，一个在椭圆T内，P,2一个在⊙F内，一个在⊙F 外， 沁 在直线1上四点满足：NO-MP=(NO+NP-(MP+NP=|PQ-N=PO-1, 由/4+2=1 ,消去y得(1+4k2)x2-8V3kx+12k2-4=0, y=k(x-3) △>0恒成立， 设P(5,),(s,), 由根与系数的关系，得：+x,= 8√3k2 12k2-4 1+4k2 =1+4R2 POl=V1+k2)+x,广-4x,] 4k2+4 4k2+1 所以Ng-MPl=|Pg-1=,3 √3k 4k2+1 ,点O到l的距离d= Vk2+1 则g-Par= 9k2 9k2 9 9 ≤ 1 (4k+102+1）4+5+14W2++ ++524 当且仅当=是，即k=士时等号成立， 2 验证可知太=±5满足题意，因为>0，所以大= 2 2 17分