厦门市同安实验中学2025-2026学年上学期高二数学周测10

厦门市同安实验中学2025-2026学年（上）高二数学周测10 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题（共42分） 1．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 2．设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A． B． C．4 D．10 3．已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 5．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 6．椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共12分） 8．在以下命题中，正确的命题有（   ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 9．下列说法中，正确的有（    ） A．直线过定点 B．过点且与圆相切的直线的方程为 C．圆上存在两个点到直线的距离为2 D．若圆与圆有唯一公切线，则 三、填空题（共12分） 10．过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 11．已知等轴双曲线与有共同的焦点、，与在第一象限的交点为，则的面积为 ． 四、解答题（共34分） 12．（本题17分）已知双曲线：（）过点，且双曲线的右焦点与抛物线：（）的焦点相同. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)求抛物线的标准方程. 13．（本题17分）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 《厦门市同安实验中学2025-2026学年（上）高二数学周测10》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B C B C D A CD AC 1．B 【分析】先根据抛物线的标准方程得到开口向上，从而得解. 【详解】抛物线开口向上，且， 所以准线方程是. 故选：B 2．B 【分析】由题意，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，则，解得． 故选：B. 3．C 【分析】根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 4．B 【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B 5．C 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 6．D 【分析】求出椭圆离心率，即可得双曲线的离心率，再求出即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为，则， 依题意，双曲线的离心率为，而， 于是得，解得：， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 7．A 【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出的轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，动圆的半径为，则， 因为动圆在定圆：的内部与其相内切， 所以,所以，即， 因为，,所以， 由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A 8．CD 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用基底的概念可判断D. 【详解】对于A：非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为且，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D：为空间的一个基底，则不共面， 假设共面，设， 即，所以，无解， 故也不共面， 所以构成空间的另一个基底，故D正确； 故选：CD. 9．AC 【分析】A选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值. 【详解】对于A，直线转化为，可知过定点，故A正确； 对于B，当切线斜率不存在时，是圆的切线， 当切线斜率存在时，设为，圆心到切线距离，解得：， 此时的方程为，故的方程为或，故B错误； 对于C，圆心到直线的距离， 因为且， 故存在两个点到直线的距离为2，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径为2， 圆圆心为，半径为， 要想两圆有唯一的公切线，则两圆内切， 因为两圆圆心距为，所以，解得：，故D错误 . 故选：. 10． 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 11． 【分析】由题意求得等轴双曲线的方程为，联立方程求得，根据三角形面积公式计算即可求解. 【详解】由题意可知的焦点坐标为， 设等轴双曲线的方程为， 则，得，所以双曲线的方程为， 因为与在第一象限的交点为， 所以，解得，即， 所以. 故答案为：. 12．(1). (2) 【分析】（1）根据双曲线上的点确定双曲线方程即可得双曲线方程，从而得渐近线方程； （2）由双曲线的焦点确定抛物线焦点从而得抛物线方程. 【详解】（1）由题意得，可得， ∴双曲线的方程为：， ∴双曲线的渐近线方程为：，即. （2）由（1）可得双曲线的焦点坐标为：， 由题意可得抛物线的焦点坐标为：， ∴，得， ∴抛物线的标准方程为：. 13．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程， （2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可. 【详解】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $