专题01反比例函数【知识梳理+解题方法+专题过关】-2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题01 反比例函数 一．反比例函数 1．概念：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数． 2．自变量的取值范围：不等于0的一切实数． 3．常见解析式的形式：①（k为常数，）；②（k为常数，）；③（k为常数，）． 拓展：的原因 反比例函数解析式中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们称k为比例系数．若，则恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 注意： 反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，在具体的实际问题中，反比例函数的自变量的取值范围还受具体问题的限制，要结合实际情况来判断． 二．用待定系数法求反比例函数的解析式 1．确定解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数（k为常数，）中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x，y值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤为： ①设——根据题意，设出反比例函数的一般形式； ②列——把它的一对对应值代入，得到关于k的方程； ③解——解方程，求出常数k； ④得——再把k值代入反比例函数的解析式即得． 三．反比例关系与反比例函数的区别和联系 如果（k是常数，），那么x与y这两个量成反比例关系，这里x，y可以代表多项式或单项式，例如与成反比例，则．成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系． 四．反比例函数的图象 1．图象画法： ①列表——自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三对（或三对以上）互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格形式表示出来； ②描点——以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线——按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并向两端延伸． 2．图象特点： ①反比例函数图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点）又是轴对称图形（对称轴是直线或直线）． 注意： ①自变量的取值范围是的一切实数； ②必须用光滑曲线连接各点，而不能用折线； ③由于自变量，所以图象不可能经过原点； ④为了更好地反映图象全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． 五．反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 图象 性质 ①自变量x的取值范围； ②双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内，y随x的增大而减小 ①自变量x的取值范围； ②双曲线的两个分支分别位于第二、第四 象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 注意： ①反比例函数，因为，，故图象不经过原点；双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限（或第二、第四象限）； ②反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般都是在各自的象限内的增减情况； ③反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号． 六．反比例函数中的比例系数k的几何意义 1．如图，过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，，所得的长方形的面积． 2．如图，过双曲线上任意一点E作垂直其中一坐标轴，垂足为F，连接，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形面积． 七．利用反比例函数解决实际问题 1．建立反比例函数解析式的两种常用方法： ①待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设出反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． ②列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，便得到函数解析式． 2．用反比例函数解决实际问题的步骤： ①审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； ②设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； ③列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； ④写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； ⑤解——用函数解析式去解决实际问题． 【专题过关】 一．反比例关系（共3小题） 1．已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为x，y，则y关于x的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵ 菱形的面积， ∴， ∴， 故选：C． 2．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（    ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 【答案】B． 【解答】解：∵人的身高与年龄不一定有关系，即身高与年龄不成反比例，故A不符合题意， ∵三角形面积一定时，底边与其高乘积为定值，符合反比例关系，故B符合题意， ∵购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用之和为定值，它们的乘积不为定值，故C不符合题意， ∵小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间成正比，故D选项不符合题意， 故选：B． 3．下面说法中错误的是（    ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B． 【解答】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长=4（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 二．反比例函数的定义（共3小题） 4．下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．下列各函数中，反比例函数有（    ） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【解答】解：∵反比例函数形式为（k为常数且）， ①为常数函数，不符合； ②是反比例函数，符合； ③是反比例函数，符合； ④含常数项，不符合； ⑤指数不为，不符合； ⑥由可变形为，是反比例函数，符合； ∴反比例函数有②、③、⑥，共3个； 故选C． 6．下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，y是x的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 【解答】解：∵ 反比例函数需满足或， ∴ ①是正比例函数，不符合； ②即，是正比例函数，不符合； ③符合形式，是反比例函数； ④是一次函数，不符合； ⑤是二次函数，不符合； ⑥中的指数为，不符合反比例函数定义； ⑦即，符合形式，是反比例函数； ∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个． 故选：C． 三．根据反比例函数的定义求参数（共4小题） 7．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B． 【解答】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 故选：B． 8．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：B． 9．若函数是反比例函数，则m的值是 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得， 解得， 当时，函数为，符合． 故答案为：． 10．函数是反比例函数，则m的值是 ． 【答案】4． 【解答】解：由反比例函数的定义，得且． 解方程， 解得或． 又因为，所以．因此， 故答案为4． 四．根据反比例函数求值（共4小题） 11．已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 12．已知反比例函数，当时， ． 【答案】2． 【解答】解：当时，， ∴． 故答案为：2． 13．在反比例函数中，若，则x的取值范围为 . 【答案】． 【解答】解：∵中比例系数大于0， ∴图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴若，则x的取值范围为， 故答案为：． 14．已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为2，则关于x的方程的解为 ． 【答案】． 【解答】解：∵点P的纵坐标为2，代入得 解得 ∴， ∵， ∴， ∴方程的解就是图象交点的横坐标， 即. 故答案为：． 五．反比例函数图象性质（共9小题） 15．反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵中， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限， 所以，选项C符合题意， 故选：C． 16．反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知：，即． 故选：C． 17．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而减小 C．图象位于二、四象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】D． 【解答】解：∵反比例函数，， ∴当时，则，即反比例函数的图象经过点，而非，故A错误； ∵， ∴图象在第一、三象限，故C错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，但选项B未限定象限，故B错误；反比例函数图象关于原点对称，故D正确； 故选D． 18．如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与y轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与y轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 19．根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴， 由二次函数图象知， ∴， 令得， 图象与y轴交于， 由二次函数图象知抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：B． 20．点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．y随x的增大而增大 【答案】C． 【解答】解：∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为 对于A：∵， ∴，故A错误； 对于B：当和同号时，函数在各自象限内y随x增大而增大， 但若，则，此时，故B错误； 对于C：若，则， ∴，， ∴，故C正确； 对于D：当时，函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 21．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B． 【解答】解：∵ 反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴顶点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴ 顶点在第二象限， 故选：B． 22．若反比例函数的图像在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以为 (只需写出一个符合条件的k值即可) 【答案】5（答案不唯一）． 【解答】解：反比例函数的图像在每个象限内y随x的增大而减小． ∴，解得． 因此k的值可以为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 23．已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；（2）点在这个函数的图象上；（3）． 【解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：在中，当时，， ∴点在这个函数的图象上． （3）解：在中， 当时，， 当时，， 又∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的取值范围是． 六．反比例函数k值的几何意义（共8小题） 24．如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，，则四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B． 【解答】解：如图，过点A作于H，设， 则，， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：B． 25．如图，A是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵矩形的面积为8， ∴， ∴ ∵点A是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 26．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段．若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A． 【解答】解：设阴影部分的面积为，根据，得，，故， 又， 故； 解得， 故选：A． 27．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则k的值为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】B． 【解答】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数k的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 28．如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为 ． 【答案】6． 【解答】解：如图，连接， ∵轴，轴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵点P在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：6． 29．如图，正比例函数与反比例函数 交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】． 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数 交于A、B两点， ∴点A，B关于坐标原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 故答案为：． 30．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点B，线段交反比例函数的图象于点C，则的面积为 ． 【答案】2． 【解答】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点， 点C是反比例函数的图象上一点， ∴，， ∴， 故答案为：2． 31．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图象与线段交于点Q，并且，则点C的坐标为 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接、， 由矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为，得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O、Q、B三点共线， 过点Q作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是反比例函数上的点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中根据勾股定理得，， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 七．反比例函数与一次函数综合（共3小题） 32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求k，m的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时，和的大小关系． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解答】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得； （2）解：由（1）得，， 把代入，得：， ∴， ∴， 设直线与x轴交于点D， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴． 33．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）求的面积． 【答案】（1），；（2）或；（3）． 【解答】（1）解：将代入， 得， 解得， 故反比例函数表达式为； 将代入，解得， 即， 将，代入，得 解得，， 故一次函数表达式为． （2）由图可知，当时，一次函数图象在反比例函数下方； 当时，一次函数图象在反比例函数下方； 故的解集为或． （3）如图所示，设一次函数图象与x轴交于点C， 故 则， ， ， ∴， ． 34．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请你根据图象直接写出不等式的解集； （3）点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）点或． 【解答】（1）解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点，在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； （3）解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 八．反比例函数的实际应用（共5小题） 35．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴y关于x的函数表达式为； 故选：C． 36．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过3A，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全． 【答案】4． 【解答】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系， 设， 代入得， 解得：， ∴解析式为； 当时，， ∴至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全； 故答案为：4． 37．如图，变速自行车通常配备多个前齿轮和后齿轮，以适应不同的骑行条件，其齿轮的齿数与转速始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速．小丽同学骑变速自行车时，调节前齿轮齿数为24，后齿轮齿数为36，若前齿轮的转速为60转/分，则后齿轮的转速为 转/分． 【答案】40． 【解答】解：设后齿轮的转速为x转/分， ， 解得， 因此，后齿轮的转速为40转/分． 故答案为40． 38．某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是__________； （2）当时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1），6；（2）；（3）本次消毒有效． 【解答】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是6， 故答案为：，6； （2）解：当时，设y与x之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （3）解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 39．石外集团生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0-24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（）随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到． （1）求线段及双曲线段的函数表达式． （2）求该大棚在0-24时内，温度不低于的时间长度． （3）此地日出时间为7:00，日落时间为17:00．为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟_______小时，能满足上述要求． 【答案】（1）线段的函数表达式为，双曲线段的函数表达式为；（2）12小时；（3）1． 【解答】（1）解：设线段的函数表达式为， 根据题意，可得，解得， 故线段的函数表达式为， 设双曲线段的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴， 当时，，解得， 故双曲线段的函数表达式为． （2）由（1）可知线段的函数表达式为， 当时，得，解得， 可知双曲线段的函数表达式为， 当时，得，解得， ∵， ∴大棚在0-24时内，温度不低于的时间为12小时． （3）由（2）可知大棚温度不低于的时间段为， 设推迟启动t小时，则推迟后大棚温度不低于的时间段为， 根据题意，可知日照时间为， ∵大棚温度不低于且有日照的时间至少为9小时， 则，解得， 故至少推迟1小时，能满足题目要求． 故答案为：1． 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数 一．反比例函数 1．概念：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数． 2．自变量的取值范围：不等于0的一切实数． 3．常见解析式的形式：①（k为常数，）；②（k为常数，）；③（k为常数，）． 拓展：的原因 反比例函数解析式中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们称k为比例系数．若，则恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义． 注意： 反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，在具体的实际问题中，反比例函数的自变量的取值范围还受具体问题的限制，要结合实际情况来判断． 二．用待定系数法求反比例函数的解析式 1．确定解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数（k为常数，）中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x，y值或图象上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 2．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤为： ①设——根据题意，设出反比例函数的一般形式； ②列——把它的一对对应值代入，得到关于k的方程； ③解——解方程，求出常数k； ④得——再把k值代入反比例函数的解析式即得． 三．反比例关系与反比例函数的区别和联系 如果（k是常数，），那么x与y这两个量成反比例关系，这里x，y可以代表多项式或单项式，例如与成反比例，则．成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量必成反比例关系． 四．反比例函数的图象 1．图象画法： ①列表——自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三对（或三对以上）互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格形式表示出来； ②描点——以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点； ③连线——按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并向两端延伸． 2．图象特点： ①反比例函数图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； ②双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； ③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点）又是轴对称图形（对称轴是直线或直线）． 注意： ①自变量的取值范围是的一切实数； ②必须用光滑曲线连接各点，而不能用折线； ③由于自变量，所以图象不可能经过原点； ④为了更好地反映图象全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点． 五．反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 图象 性质 ①自变量x的取值范围； ②双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限， 在每个象限内，y随x的增大而减小 ①自变量x的取值范围； ②双曲线的两个分支分别位于第二、第四 象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 注意： ①反比例函数，因为，，故图象不经过原点；双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说双曲线的两个分支分别位于第一、第三象限（或第二、第四象限）； ②反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般都是在各自的象限内的增减情况； ③反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号． 六．反比例函数中的比例系数k的几何意义 1．如图，过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，，所得的长方形的面积． 2．如图，过双曲线上任意一点E作垂直其中一坐标轴，垂足为F，连接，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形面积． 七．利用反比例函数解决实际问题 1．建立反比例函数解析式的两种常用方法： ①待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设出反比例函数解析式为，然后求出k的值即可． ②列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，便得到函数解析式． 2．用反比例函数解决实际问题的步骤： ①审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； ②设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； ③列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； ④写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； ⑤解——用函数解析式去解决实际问题． 【专题过关】 一．反比例关系（共3小题） 1．已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为x，y，则y关于x的表达式是（    ） A． B． C． D． 2．下面各组变量的关系中，成反比例关系的是（    ） A．人的身高和年龄 B．三角形的面积为6，它的一条边与这条边上的高 C．购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用 D．小明每小时可以制作120朵小红花，他制作的小红花朵数与制作时间 3．下面说法中错误的是（    ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 二．反比例函数的定义（共3小题） 4．下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各函数中，反比例函数有（    ） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，y是x的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 三．根据反比例函数的定义求参数（共4小题） 7．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 8．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．若函数是反比例函数，则m的值是 ． 10．函数是反比例函数，则m的值是 ． 四．根据反比例函数求值（共4小题） 11．已知反比例函数的图象经过点，则化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知反比例函数，当时， ． 13．在反比例函数中，若，则x的取值范围为 . 14．已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为2，则关于x的方程的解为 ． 五．反比例函数图象性质（共9小题） 15．反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 17．关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y的值随x值的增大而减小 C．图象位于二、四象限 D．图象关于原点中心对称 18．如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 19．根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 20．点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．y随x的增大而增大 21．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．若反比例函数的图像在每个象限内y随x的增大而减小，则k的值可以为 (只需写出一个符合条件的k值即可) 23．已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点是否在这个函数的图象上； （3）当时，求y的取值范围． 六．反比例函数k值的几何意义（共8小题） 24．如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴交x轴于点B，，则四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 25．如图，A是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（    ） A． B． C． D． 26．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段．若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 27．如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则k的值为（    ）． A． B． C．6 D． 28．如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为 ． 29．如图，正比例函数与反比例函数 交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 30．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点B，线段交反比例函数的图象于点C，则的面积为 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图象与线段交于点Q，并且，则点C的坐标为 ． 七．反比例函数与一次函数综合（共3小题） 32．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． （1）求k，m的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时，和的大小关系． 33．如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）求的面积． 34．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请你根据图象直接写出不等式的解集； （3）点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 八．反比例函数的实际应用（共5小题） 35．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（    ） A． B． C． D． 36．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过3A，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个 的电阻才可以保证电路安全． 37．如图，变速自行车通常配备多个前齿轮和后齿轮，以适应不同的骑行条件，其齿轮的齿数与转速始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速．小丽同学骑变速自行车时，调节前齿轮齿数为24，后齿轮齿数为36，若前齿轮的转速为60转/分，则后齿轮的转速为 转/分． 38．某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是__________； （2）当时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 39．石外集团生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段0-24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（）随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到． （1）求线段及双曲线段的函数表达式． （2）求该大棚在0-24时内，温度不低于的时间长度． （3）此地日出时间为7:00，日落时间为17:00．为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟_______小时，能满足上述要求． 13 学科网（北京）股份有限公司 $