精品解析：广东省广州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

广东省广州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题 一、选择题 1. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 正项等比数列的前n项和为，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 11 5. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. “”的必要条件是“” B. “”的必要条件是“” C. “”的充分条件是“” D. “”的充分条件是“” 7. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 若，则线段的中点到轴的距离为6 C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 11. 已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. 点为中点时，平面 B. 点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为 C. 与交于，则四面体的外接球的表面积为 D. 当在线段上运动时，四面体体积的最大值为 三、填空题 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 13. 已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点位于第二象限），为的中点，直线为双曲线的一条渐近线，且，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ . 四、解答题 15. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 16. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 19. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题 一、选择题 1. 已知集合，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，B，据此可得答案. 【详解】或，. 则或，， ，或. 故选：A 2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据个数据的第百分位数的求法求解即可. 【详解】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由， 该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7. 故选：C 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据运算的周期性和复数的除法运算直接化简求解即可. 【详解】，. 故选：A. 4. 正项等比数列的前n项和为，，则（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列求和公式求得，进而可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则 即，解得：， 又， 解得， 则， 故选：B 5. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，根据基本不等式可得，再由的单调性计算即可求解. 【详解】已知函数，则函数定义域为， 若，则， 由于，则，即，， 而， 因为函数单调递增，所以取最小值时，有最小值， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：B 6. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. “”的必要条件是“” B. “”的必要条件是“” C. “”的充分条件是“” D. “”的充分条件是“” 【答案】D 【解析】 【分析】通过集合间关系与充分必要条件的联系判断选项A、B；通过充分条件的定义判断C、D. 【详解】若，则，解得或， 若，则，解得， 对于A：因为，所以“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对于B：因为，所以“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C：当时，，所以， 所以与不垂直，即“”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：当时，， 因为，所以，即“”是“”的充分条件，D正确； 故选：D. 7. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象平移及伸缩变换得到，由，结合函数图象即可求解. 【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度， 可得：， 当，可得， 则， 因为存在唯一实数，使得， 即是的子集，且唯一， 由图像可知， ， 所以实数的取值范围为， 故选：B 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方差的公式即可判断选项A，结合残差分析法判断回归模型的拟合效果，即可判断选项B，结合非线性回归方程和线性方程的表达式，即可判断选项C，利用平均数的公式求法即可判断选项D. 【详解】对于A，令数据的平均数为， 则由，可得， 所以， 所以， 即所有的都相等，A正确； 对于B，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧， 且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高， 表示回归效果越好，B正确； 对于C，，左右两边取对数得， 设，求得线性回归方程为， 则，，C错误； 对于D，样本数据的平均数， 则对于样本数据， 其平均数为， 故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的焦点坐标为 B. 若，则线段的中点到轴的距离为6 C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】CD 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误； 对于B，设点， 由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B错误； 对于C，因的中点为   该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切， 即D正确． 故选：CD. 11. 已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. 点为中点时，平面 B. 点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为 C. 与交于，则四面体的外接球的表面积为 D. 当在线段上运动时，四面体体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直性质和勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可知A正确；作出截面图形后，根据长度关系可求得B错误；根据外接球的性质可确定球心位于过点且平行于的直线上，利用可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得点到平面距离的最大值，结合三棱锥体积公式可求得D正确. 【详解】对于A，由题意知：， 平面，平面，， ，，平面， 平面，又平面，； ，，， ，； ，平面，平面，A正确； 对于B，连接， 分别为中点，，又， ，四点共面， 则过三点的正方体的截面为梯形， ，，， 梯形的周长为，B错误； 对于C，取中点，连接，交于点，连接，过作的平行线 平面，为的外接圆圆心， 四面体的外接球球心在过点的的平行线上， 作，垂足为， 设，则，设四面体的外接球半径为， 由得：，解得：， 即四面体的外接球球心即为点，半径， 四面体外接球表面积，C正确； 对于D，，，， ，； 若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 则点到平面的距离， ，当时，， 四面体体积的最大值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可. 【详解】 如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，， 则， 因为上下底面边长分别为2和4， 所以，，， 所以，即棱台的高为， 棱台的体积=. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点位于第二象限），为的中点，直线为双曲线的一条渐近线，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，设双曲线右焦点为，连接，由题及双曲线对称性，双曲线定义可得.设，由直线为双曲线渐近线可得，据此可得，将B坐标代入经化简可得答案. 【详解】如图，设双曲线右焦点为，连接，由题可得关于原点对称， 则，则， 由双曲线定义. 因为中点，O为中点，则. 设，因直线为双曲线渐近线，则， 则，从而. 又，为中点，则，将B坐标代入， 可得. 则，则. 故答案为： 14. 已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ . 【答案】 ①. 0 ②. e 【解析】 【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得第一空的结果；同构函数，研究其单调性将题设不等式转化为在上恒成立，再由求导得出函数在上的最小值即可. 【详解】由得，由得， 依题意得，即， 所以，则； 又， 即时，对于任意都成立， 令， 则，所以在上单调递增， 又因为，即， 由函数的单调性，可得对于任意恒成立， 又因为， 即为在上恒成立，所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知点，，为坐标原点，函数 （1）求的解析式及最小正周期 （2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积 【答案】（1），最小正周期为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果； （2）由，结合的范围可求得或；当时，根据余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，根据正弦定理可求得，结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得. 【小问1详解】 ，， ， 则的最小正周期. 【小问2详解】 ，， ，，则或， 或； 当时，，， ，，，， 又为的角平分线，，， ，， ； 当时，，，， 为的角平分线，， 在中，由正弦定理得：， ，在中，由正弦定理得：， ， . 综上所述：的面积为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）证明如下： 不等式， 令函数，依题意，， 求导得，令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，所以对任意的. （3）证明如下： 函数定义域为R，求导得， 由，即，得，函数有唯一零点， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 函数在处取得最大值，且当时，；当时，， 由函数有且仅有一个零点，得，即， 消去得，令函数，显然函数在R上单调递增， 而，则，， 又函数在上单调递增，因此， 方程中，， 所以方程 无实数根. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出最小值即可推理得证. （3）利用导数，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 19. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，. （1）求数列和的通项公式； （2），求数列的前项和； （3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式可构造方程组求得，由等差数列通项公式可得；根据已知等式可得，由前项和与通项之间关系可得，由此可得； （2）求得后，采用错位相减法可求得结果； （3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法和等比数列求和公式可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由得：，； ， ， 当且时，， ，则； 当时，，满足； 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ， ， . 【小问3详解】 当为奇数时，；当为偶数时，； ，均为递增数列，，，， 的前项中，包含数列的前项和数列的前项， 的前项和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $