精品解析：重庆沙坪坝区2026年 2025-2026学年度秋季学期初中期末调研测试八年级数学试题

2025-2026学年度秋季学期初中期末调研测试 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 1 2. 分式有意义,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，．若，，则斜边的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 20 D. 25 4. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点，，，在同一直线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解重庆市民对渝超联赛41支队伍的支持度 B. 检测“长征八号”飞船的零部件安全 C. 了解沙坪坝区初中学生的视力情况 D. 了解全国中小学校关于人工智能通识课程的开展情况 7. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为（ ） A. 15 B. 19 C. 22 D. 24 9. 如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 实数4的算术平方根为_____． 12. 计算：___________． 13. 等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为_____． 14. 若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为___________． 15. 如图，在中，，，为边上两点，连接，，将沿直线翻折得到，与交于点，，．若，，则的长度为___________，的长度为___________． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 先化简，再求值： ，其中，． 20. 如图，在中，，点在外，，，求证：． 小沙同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）用尺规过点作的垂线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：． 证明：，， ，______①______． 又， ． 又， _______②_______． 在和中， ，_______③_______， （）． ． ， _______④_______． ． 21. 重庆市各学校将“落实健康第一，强健学生体质”作为教育理念，积极落实中学生每天综合体育活动时间不低于2小时的规定．我区某中学在八年级中随机抽取了部分学生开展了“你对哪种大课间体育活动（A．校园跑；B．跳长绳；C．踢毽子；D．班级联赛；E．街舞）感兴趣”的问卷调查（要求被调查学生必须且只能选择其中一项），并对收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生； （2）在扇形统计图中，的值是___________，扇形统计图中D所对圆心角的度数为___________； （3）请补全条形统计图． 22. 为承龙马精神，喜迎马年新春，某潮玩手办店购进了含有骏马元素的甲、乙两种文创产品．已知每件甲种文创产品的进价比每件乙种文创产品的进价少16元，且用6000元购进乙种文创产品的数量是用4320元购进甲种文创产品的数量的． （1）求甲、乙两种文创产品每件的进价各是多少元？ （2）该手办店购进甲种文创产品150件，购进乙种文创产品90件．已知每件甲种文创产品的售价为元，每件乙种文创产品的售价在其进价的基础上增加．若该店将此次购进的甲、乙两种文创产品全部销售完，可获得利润为2520元，求的值． 23. 为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） （1）如图1，若，求，两点之间的距离； （2）为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 24. 通过学习，我们知道可以借助图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式．如图1，现有边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片若干，可以拼出图2与图3，由图2可得等式：．请解答下列问题： （1）由图3可得等式：___________； （2）用图1中的纸片无重叠地拼成一个面积为的长方形，则需要______张纸片；若每个小长方形纸片的面积为7，周长为12，则拼成的长方形的面积为_______． （3）现分别选用边长为的正方形纸片，边长为的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片各1张，按如图4方式摆放，点，分别在边，上，，C，G三点共线，连接，．若所用的两种正方形纸片的面积之和为68，小长方形纸片的面积为16，求图中阴影部分的面积． 25. 在中，点为边上一点，连接． （1）如图1，若，，，，求的长度； （2）如图2，过点作，且，连接．过点作交延长线于点，连接．若，，求证：； （3）若，，，点为中点，连接，在平面内将绕点逆时针旋转得，连接．当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度秋季学期初中期末调研测试 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．根据无理数的概念进行判定即可． 【详解】解：、、是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 分式有意义,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，分式有意义. 【详解】分式有意义,则x+1≠0,即. 故选:A 【点睛】考核知识点:分式有意义的条件.理解定义是关键. 3. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，．若，，则斜边的长是（ ） A. 5 B. 7 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，能够根据正方形的面积公式和勾股定理求出的值是解此题的关键． 根据勾股定理以及正方形的面积公式得出，， ，求出，进而得出． 【详解】解：由题意，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：A． 4. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式． 【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为， ∴应提取的公因式为． 故选：C． 5. 如图，，点，，，在同一直线上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，先根据全等三角形的对应角相等得到，再根据三角形的内角和 定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 6. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 了解重庆市民对渝超联赛41支队伍的支持度 B. 检测“长征八号”飞船的零部件安全 C. 了解沙坪坝区初中学生的视力情况 D. 了解全国中小学校关于人工智能通识课程的开展情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此可得答案． 【详解】解：A、了解重庆市民对渝超联赛41支队伍的支持度，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； B、检测“长征八号”飞船的零部件安全，设计安全性，事关重大，应采用普查，符合题意； C、了解沙坪坝区初中学生的视力情况，范围广，人数较多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； D、了解全国中小学校关于人工智能通识课程的开展情况，范围广，人数众多，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：B． 7. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较与相邻整数的平方根，确定其范围，进而计算的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， 故选：D． 8. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为，，则的周长为（ ） A. 15 B. 19 C. 22 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质、三角形周长的定义，掌握垂直平分线的性质是解题关键．根据垂直平分，得，，然后，根据三角形周长的定义求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵的周长为14，， ∴． ∴的周长为． 故选：D． 9. 如图，是的中线，为边上一点，连接交于点．若，，，则的长度为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长到点H，使得，连接，证明得到，再证明，得到，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式乘以多项式，数字类规律探究，熟练掌握给定的操作方法，确定规律是解题的关键，根据给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换后：，，，整式串之和为； 第2次变换后：，，，，，整式串之和为； 第3次变换后：，，，，，，，，，整式串之和为； ； 故第次变换后整式串之和为； ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则， ∵不含的一次项， ∴，解得；故①正确； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3， 即，整理，得， ∴， ∴；故②正确 ③∵第次变换后整式串之和为； ∴时，整式串之和，③正确 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为_____． 【答案】40°． 【解析】 【分析】设顶角的度数为x，表示出底角的度数．根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°．根据题意得： x+2（x+30）＝180 解得：x＝40． 故答案为40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和三角形内角和定理，属基础题． 14. 若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法与整数解的综合应用，解题的关键是先解分式方程，再根据“解是正整数”且“分母不为0”的条件，确定整数的取值． 先将分式方程去分母化为整式方程，求出的表达式；再根据是正整数且，推导的取值，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， ， ． 当时，． 因为方程的解是正整数，且， 所以 为正整数，是6的正约数， 即可以是1、2、3、6． 同时，所以． 逐个分析： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（此时，使分母为0，舍去）． 符合条件的整数为，其和为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，为边上两点，连接，，将沿直线翻折得到，与交于点，，．若，，则的长度为___________，的长度为___________． 【答案】 ①. 10 ②. 【解析】 【分析】可得，设，可得，得，由，得，∴得；可得，得，得,设，则,在中，，在中，，解得． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了三角形翻折．熟练掌握翻折变换的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，是解题关键． 16. 若一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，则称这个四位数为“幸运三和数”．例如：四位数，，是“幸运三和数”．则最小的“幸运三和数”是___________；对于“幸运三和数”，记，．若为整数，且，则满足条件的的值为___________． 【答案】 ①. 1723 ②. 2715 【解析】 【分析】本题考查了新定义数字问题、代数式化简与整数整除性质的综合应用，解题的关键是紧扣“幸运三和数”的定义，结合代数式等式推导数位间的关系，利用整数特征确定各数位数字的取值． ①求最小的“幸运三和数”：遵循四位数从小到大的数位规律，千位取最小非零值，再依次尝试最小的百位数字，结合的定义，找到能使c、d为非零且与a、b互不相等的数字的最小组合，确定四位数； ②求满足条件的：先将展开化简，代入消去，得到a、c的关系式，设利用整数性质确定a、c的唯一值；再将a、c代入定义式得与的关系，结合为整数的整除条件，试值确定b、d，最终得到符合条件的四位数 【详解】解：①要使四位数最小，千位取最小非零整数， 依次尝试百位的最小取值：时，，得，无正整数解； 时，，得，无正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，无互不相等的正整数解； 时，，得，取，，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“幸运三和数”为1723． ② 由，得， 由“幸运三和数”定义，得， 代入上式： 设（为正整数，a、c为的整数），则， ， 因为正整数，试值： 时，，符合条件； 时，非整数，舍去． 故且，解得，． 将，代入，得， ， 又为整数， 代入，，， ． 因b、d为的整数，且数字互不相等，试值： 要使为整数，则应为12的倍数, ∵， ∴必须是12的倍数， 又因为的数字 当时，，数字2、7、1、5互不相等，且， 故． 故答案为：1723；2715． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算单项式乘以单项式和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括完全平方公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握各类整式的运算法则，准确展开和化简． （1）先利用完全平方公式展开，计算单项式乘多项式，再合并同类项； （2）先进行多项式除以单项式的运算，再利用平方差公式展开，最后合并同类项． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是准确识别分式的分子分母，通过通分、合并和约分进行化简，最后代入数值计算． 先对前后两个括号内的分式分别通分、合并同类项，再将除法运算转化为乘法运算，约分化简为最简分式；最后代入，计算最终结果． 【详解】解： ． 当，时，原式． 20. 如图，在中，，点在外，，，求证：． 小沙同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）用尺规过点作的垂线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：． 证明：，， ，______①______． 又， ． 又， _______②_______． 在和中， ，_______③_______， （）． ． ， _______④_______． ． 【答案】（1） 解：如图，线段即为所求作． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点B、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线即可； （2）根据作图信息提供的推论过程，结合每一步的已知条件逐步得到推论结论，完善推理过程即可． 【小问1详解】 解：分别以点B、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F， 作射线，交于点E， 线段即为所求作． 【小问2详解】 证明：，， ，． 又， ． 又， ． 在和中， ，， （）． ． ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是基本作图——作已知直线的垂线．熟练掌握垂线的作法，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，是解本题的关键． 21. 重庆市各学校将“落实健康第一，强健学生体质”作为教育理念，积极落实中学生每天综合体育活动时间不低于2小时的规定．我区某中学在八年级中随机抽取了部分学生开展了“你对哪种大课间体育活动（A．校园跑；B．跳长绳；C．踢毽子；D．班级联赛；E．街舞）感兴趣”的问卷调查（要求被调查学生必须且只能选择其中一项），并对收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生； （2）在扇形统计图中，的值是___________，扇形统计图中D所对圆心角的度数为___________； （3）请补全条形统计图． 【答案】（1）60 （2）25， （3） 补全条形统计图： 【解析】 【分析】（1）用参加A项的人数÷百分比求出此次调查的总人数； （2）根据参加A项的人数计算出所占百分比可得m的值，乘以D项所占百分比即可得D项人数所在扇形的圆心角的度数； （3）求出参加C项的学生人数，即可补全条形图． 【小问1详解】 解：∵A项人数12人，占， ∴本次调查的总人数为（名）． 故答案为：60． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 图中D所对圆心角的度数为． 故答案为：25，． 【小问3详解】 解：参加C项人数为（名）． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，熟练掌握条形统计图和扇形统计图数据的关联性质，样本容量的计算，扇形统计图中圆心角计算，补全条形统计图，是解本题的关键． 22. 为承龙马精神，喜迎马年新春，某潮玩手办店购进了含有骏马元素的甲、乙两种文创产品．已知每件甲种文创产品的进价比每件乙种文创产品的进价少16元，且用6000元购进乙种文创产品的数量是用4320元购进甲种文创产品的数量的． （1）求甲、乙两种文创产品每件的进价各是多少元？ （2）该手办店购进甲种文创产品150件，购进乙种文创产品90件．已知每件甲种文创产品的售价为元，每件乙种文创产品的售价在其进价的基础上增加．若该店将此次购进的甲、乙两种文创产品全部销售完，可获得利润为2520元，求的值． 【答案】（1） 甲种文创产品每件进价为24元，乙种文创产品每件进价为40元 （2） a的值为20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用（进价数量问题）、一元一次方程的利润问题，解题的关键是根据购进数量的比例关系列分式方程求进价，再依据总利润=单件利润×销量列一元一次方程求参数的值． （1）设甲每件进价为元，表达出乙的进价，根据“用6000元购进乙的数量是用4320元购进甲的数量的”列分式方程，求解并检验； （2）根据（1）求得的进价，计算甲、乙的单件利润，结合总利润2520元列一元一次方程，化简求解． 【小问1详解】 解：设甲种文创产品每件的进价为元，则乙种文创产品每件的进价为元． 依题意得 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．． 答：甲种文创产品每件的进价为24元，乙种文创产品每件的进价为40元． 【小问2详解】 解：由（1）得，甲进价为24元，乙进价为40元． 甲单件利润为元，乙单件利润为元． 依题意得 解得 答：的值为20． 23. 为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） （1）如图1，若，求，两点之间的距离； （2）为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】（1）0.6千米 （2）4万元 【解析】 【分析】（1）设，由，得，根据，得 ，由，得，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P，此时，的值最小，根据，，得，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【小问1详解】 解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； 【小问2详解】 作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 【点睛】本题考查了最短路径问题．熟练掌握勾股定理，轴对称性质，矩形判定和性质，实数的运算，是解题的关键． 24. 通过学习，我们知道可以借助图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式．如图1，现有边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片若干，可以拼出图2与图3，由图2可得等式：．请解答下列问题： （1）由图3可得等式：___________； （2）用图1中的纸片无重叠地拼成一个面积为的长方形，则需要______张纸片；若每个小长方形纸片的面积为7，周长为12，则拼成的长方形的面积为_______． （3）现分别选用边长为的正方形纸片，边长为的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片各1张，按如图4方式摆放，点，分别在边，上，，C，G三点共线，连接，．若所用的两种正方形纸片的面积之和为68，小长方形纸片的面积为16，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）9；79 （3）30 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键； （1）根据题意表示图形的面积，即可求解； （2）计算，进而可得答案；由长方形的周长和面积公式得到，，结合完全平方公式求解即可； （3）先根据已知，结合完全平方公式求得，，再由图得到图中阴影部分的面积为，进而代值求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：； 故答案为： 【小问2详解】 解：； 则需要边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形纸片2张，长为，宽为的小长方形纸片5张，共需要（张）纸片； 由题意，，，即， ∴拼成的长方形的面积为， 故答案为：9；79； 【小问3详解】 解：连接， 由题意，，，，，， ∴，则（负值已舍去）； ，则（负值已舍去）， ∴图中阴影部分的面积为 ． 25. 在中，点为边上一点，连接． （1）如图1，若，，，，求的长度； （2）如图2，过点作，且，连接．过点作交延长线于点，连接．若，，求证：； （3）若，，，点为中点，连接，在平面内将绕点逆时针旋转得，连接．当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）2 （2） 解：过点A作，使，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴G、D、F三点共线， ∵，且， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由， 得，由，得 ，即得；（2）过点A作，使，连接，证明，得，由，∴可得，得G、D、F三点共线，可得，得，由，得,得，可得； （3）以点B为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点D作轴，过点P、作于点M，作于点N,设,证明，求出,得，得,得，得,过点C作交直线于点H， 最小, ，得，得，得,即得． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故的长度为2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以点B为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点D作轴，过点P、作于点M，作于点N， 设， 则， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 过点C作交直线于点H， 当时，最小， ∵，， ∴， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形旋转综合．熟练掌握等腰三角形性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，三点共线，解析法求最值，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $