精品解析：湖南省长沙市长郡教育集团2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季八年级期末限时检测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 已知三条线段的长度分别为，若这三条线段首尾顺次连接能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 诺如病毒是一种冬季高发病毒，传染性极强，是急性肠胃炎爆发的常见元凶，该病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 4或 8. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为31，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 19 D. 29 10. 如图，在等边三角形中，是中线，点，分别在上，且，动点在上，则的最小值为（ ） A. 9 B. 9.5 C. D. 6 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果为___________． 12. 如图，是的外角，若，则___________°． 13. 如图，在正六边形中，的度数是_____． 14. 若点与点关于轴对称，则___________． 15. 如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解． （1）； （2）． 18. 计算下列各式． （1） （2） 19. 解分式方程． （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，在中，是的中点，于点，于点，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 23. 汗水挥洒赛场，激情点燃初冬．“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． （1）购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？ 24. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ （2）若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； （3）若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，点是的延长线上的一个动点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）当平分时，试探究与的数量关系，并给出证明过程； （3）如图2，延长交于点交于点，设点的坐标为，当的面积与四边形的面积之比为整数时，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级期末限时检测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 已知三条线段的长度分别为，若这三条线段首尾顺次连接能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，求出a的取值范围，再比较选项得出答案． 【详解】∵ 三条线段能围成三角形， ∴ ， ， 的取值可以是5． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项A正确； ∵ 积的乘方等于乘方的积， ，选项B错误； ∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变， ，选项C错误； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，选项D错误． 故选：A． 3. 下列多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式，掌握因式分解的定义是解本题的关键． 根据因式分解的定义和公式判断每个选项即可． 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，不是乘积形式，故C错误； 选项D：，是提取公因式，正确； 故选：D． 4. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高线，熟练掌握三角形高线的画法是解题的关键；因此此题可根据三角形的高线进行排除选项即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”可知只有D选项符合边上的高； 故选D． 5. 诺如病毒是一种冬季高发病毒，传染性极强，是急性肠胃炎爆发的常见元凶，该病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 直接根据科学记数法的表示形式作答即可． 【详解】解：米米． 故选：B． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 7. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可． 【详解】解；∵分式的值为0， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质确定中边上的高． 由尺规作图痕迹可知平分，进而可得点到的距离等于点到的距离，再由面积公式求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴点到的距离为， ∴点到的距离也等于2， ∵， ∴的面积为； 故选：B． 9. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为31，则的长为（ ） A. 9 B. 12 C. 19 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为31， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在等边三角形中，是中线，点，分别在上，且，动点在上，则的最小值为（ ） A. 9 B. 9.5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质与轴对称最短路径问题，利用轴对称将折线转化为直线段，结合等边三角形的性质求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则． ∵ ∴． ∵在等边中，是中线， ∴， ∴，则， ∴，． ∵， ∴为等边三角形，． 根据轴对称性质，，则，当且仅当、、共线时取等号． 故的最小值为； 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 12. 如图，是的外角，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 13. 如图，在正六边形中，的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形内角和，等腰三角形定义，三角形内角和定理等．根据题意可知正六边形每个内角为，和为等腰三角形，即可求出，继而求出的度数． 【详解】解：∵正六边形， ∴每个内角为，和为等腰三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，负整数指数幂，掌握关于轴对称的点的特征是解本题的关键． 根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 16. 小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 计算下列各式． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，分式的减法，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）根据分式的减法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘，将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，则； （2）由全等三角形的性质得，而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 22. 如图，在中，是的中点，于点，于点，且． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 是的中点， ． ，， ． 在和中，， ， ， ， 为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与含角的直角三角形的性质． （1）通过证明直角三角形全等，得到对应角相等，进而证明三角形为等腰三角形； （2）结合等腰三角形性质与已知条件，判定为等边三角形，再利用直角三角形的性质或勾股定理求解线段长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 又， ，即为等边三角形， ， ， 是中点，， ， 在中，， ． 23. 汗水挥洒赛场，激情点燃初冬．“和平杯”2025年长郡教育集团教职工篮球赛如期举行．某校为比赛做准备，在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球共花费了480元，购买B品牌篮球共花费了1120元，且购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． （1）购买一个A品牌篮球、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）为将这一运动拼搏精神传递给学生，该校继续组织学生篮球赛，学校决定再次购进A，B两种品牌篮球共40个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过5076元，那么该校此次最多可购买多少个A品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌篮球需120元，一个B品牌篮球需140元 （2）该校此次最多可购买30个A品牌篮球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的应用是解本题的关键． （1）设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元，再结合“购买B品牌篮球数量是购买A品牌篮球数量的2倍”这一关系列出分式方程求解即可． （2）设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个，再结合两种品牌篮球售价的调整情况以及总费用不超过5076元列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌篮球需x元，则购买一个B品牌篮球需元． 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 则（元）， 答：购买一个A品牌篮球需120元，购买一个B品牌篮球需140元． 【小问2详解】 解：设该校此次可购买m个A品牌篮球，则购买B品牌篮球个． 调整后A品牌篮球的单价为（元）， B品牌篮球的单价为（元）， 根据题意可列不等式：， 解得：， 答：该校此次最多可购买30个A品牌篮球． 24. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ （2）若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； （3）若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）2090 （3） 【解析】 【分析】（1）根据互为关于的“关联代数式”的定义判断即可； （2）计算，，根据A，互为关于的“关联代数式”得到，即，将化为，即可求解； （3）由得到，另，，根据A，B互为关于的“关联代数式”得到为定值或为定值，分两种情况讨论：①当为定值时，，，得到，不合题意，舍去．②当为定值时，，，得到，则，根据平方差公式即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查分式的运算，整式的运算，平方差公式，完全平方公式，整式的运算中无关型，代数式求值，理解关于的“关联代数式”的定义是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，点是的延长线上的一个动点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）当平分时，试探究与的数量关系，并给出证明过程； （3）如图2，延长交于点交于点，设点的坐标为，当的面积与四边形的面积之比为整数时，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】（1）过点作轴于，可得，则，推出，即可求解； （2）法一：延长与交于点，证明是等腰直角三角形，再结合角的运算以及角的等量代换，等边对等角，对顶角等，得出，法二：在中，则，即可求解； （3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，证明，可得，可证，可得 ，，即可求解. 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图： ∵以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：，证明如下： 延长与交于点， 由（1）可知， 又∵点的坐标分别为， ∴， ∴， ∴，即 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 方法二：与上述同理得 ∴ ∵ ∴在中，则 ∴； 【小问3详解】 解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴∵点的坐标为，点的坐标为 ∴ 由（2）得 ∴ ， ∴ ∵的面积与四边形的面积之比为整数时 ∴当时；则； 当时；则； 综上所述：整数的值为3或4. 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $