4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的近似解 1 复习回顾   二次函数的零点 二次函数的零点与方程的解的关系       第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 2 对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 注意： 零点是点吗? 问题 如何求函数的零点？ 函数y=f(x)的零点， 就是方程f(x) =0的实数根 也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 (2) 函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 (1) 零点是一个实数，不是点； 与二次函数的零点一样， 1、函数零点的概念 学习新知1 代数法 几何法 应用新知1 求下列函数的零点： 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. (2)f(x)＝(lg x)2－lg x. 函数f(x)的零点是1,10. 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 反思感悟         知识探究 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 6 3.函数零点的存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 ,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根. 连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)=0 对零点存在性定理的再探究 (1)“连续不断”或“ ”可以去掉一个吗？   O y x b a O y x b a （2）函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)·f(b)<0时,函数零点个数是否唯一?     推论一 （3）函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)·f(b)>0时,函数是否存在零点? O y x b a 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 9 使用零点存在定理的条件： ①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线 ②f(a)·f(b)<0 存在c∈(a,b)，使得f(c)=0 存在c∈(a,b)，使得f(c)=0 ①② ？ / 充分不必要条件 ①② （4）逆定理成立吗？ 11 C 题型二 判断零点所在区间 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 12 C 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 例1.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是（ ） A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点 ABD 14 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 15 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 16 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 17 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)直接解方程，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 19 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 20 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 应用新知 1、函数零点个数的问题 例1 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数. 解：设f(x)=lnx+2x－6， 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象 －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x f（x） 由表和图象可知 f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)·f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， 所以它仅有一个零点。 即方程lnx+2x－6=0的只有一个实数解 . . . . . . . . . x 0 －2 －4 －6 10 5 y 2 4 10 8 6 12 14 8 7 6 4 3 2 1 9 这种做法你认为方便判断吗？ 你还有其他办法判断吗？ x y 0 1 y=ln x 3 应用新知 1、函数零点个数的问题 例1 求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数. 【解析】方程lnx+2x－6=0的实数解的个数， 等价于方程lnx=－2x+6的实数解的个数， 等价于方程组y=lnx，y=－2x+6的实数解的个数， 等价于函数y=lnx与函数y=－2x+6图象交点的个数， 如图，两个函数的图象交点个数为1， 即方程lnx+2x－6=0有1个实数解． 对于实数解的个数转化成两个函数图象的交点个数问题 23 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 24 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 25 B 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 Thank you for watching ! 26 27 点击右图进入… 课 时 分 层 作 业 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 27 28 第 一 阶 段 课前自学质疑 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 28 29 A B 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 29 30 第 二 阶 段 课堂探究评价 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 30 31 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 32 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 33 第 一 阶 段 返首页 第 二 阶 段 课时分层作业 1．已知函数f(x)＝eq \f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( ) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 2．设函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x与g(x)＝3－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【例2】若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 判断函数零点所在的区间 A　解析：因为a<b<c， 所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0， f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0， 即函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 1．确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．具体分为如下三个步骤： (1)代入：将区间端点值代入函数，求出函数值； (2)判号：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； (3)定论：若符号为负且图象连续，则在该区间内至少有一个零点． 2．零点存在定理成立的条件有两个：一是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理． 3．定理是不可逆的． 探究题1　函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点个数为(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 函数零点个数问题 C　解析：当x≤0时， 令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1(舍去)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))有2个零点．故选C. 探究题2　函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有________个零点． 1　解析：(方法一)∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(2)＝4＋lg 3－2>0， ∴f(x)在(0,2)上存在零点． 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数， 故f(x)有且只有一个零点． (方法二)在同一直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点． 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,log\f(1,3)x，x＞1，))则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1．下列图象表示的函数中没有零点的是( ) 2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 函数的零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．要注意根必须在函数f(x)的定义域内． (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 1．判断函数零点个数的主要方法 (1)直接求出函数的零点进行判断． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)借助零点存在定理判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示． (4)转化成两个函数图象的交点问题．方程f(x)＝g(x)的根是函 数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标． $