4.5.1 函数的零点与方程的解课件（第1课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数的零点与方程的解”核心内容，涵盖概念认知、零点存在性定理及应用。课堂以解方程中外历史情境导入，结合具体方程实例，通过表格对比方程根、函数零点与图像交点，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合历史情境与数学探究，通过小鸭子过河情境抽象零点存在条件培养数学思维，用“三个等价关系”和四种判断零点方法发展数学语言表达。实例丰富如一题多解转化方程为函数交点，助力学生提升直观想象与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学资源。

4.5.1 函数的零点与方程的解 （第1课时） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 学习目标 1.通过二次函数的图像，了解二次函数与一元二次方程的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数. 3.运用模型思想，发现和提出问题，并能分析和解决问题. 4.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 情景导入——解方程的历史 方程解法时间图 · 中国 公元50年—100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 11世纪·北宋·贾宪 三次方程正根数值解法 13世纪·南宋秦九韶 任意次代数方程正根解法 7世纪·隋唐·王孝通 三次或三次以上方程 方程解法时间图 · 西方 一次方程、二次方程 的一般解法 1541年·意大利 塔尔塔利亚 三次方程一般解法 1802～1829 挪威·阿贝尔 证明了五次以上一般方程没有求根公式 记载了费拉里的四次方程一般解法 9世纪·阿拉伯 花拉子米 1545年·意大利 卡尔达诺 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 3 新知导入 判断下列方程是否有根，有几个实数根？ 方程的根与函数的零点 函数的图象 与x轴交点 一元二次方程 二次函数 函数的图象 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 x2－2x－3=0 y= x2－2x+3 △＞0 △=0 △＜0 判别式△=b2－4ac 概念学习 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点． 例如，方程 的根为 ， ， 则函数 的零点就是 2 和 3． 其图象与 x 轴的交点坐标为(2，0)，(3，0). 即函数 的零点为其图象与 x 轴交点的横坐标． y 3 x O 2 概念学习 1.函数零点的定义： 对于函数，我们把使=0的实数 叫做函数的零点. 注意：零点不是“点”， 是实数. 牛刀小试 1.函数零点为( ) B..1,-2,2 概念学习 2.函数零点为________ 3.函数y=f(x)的图象如下，则其零点为 . 抽象：“三个等价关系” 函数 =0的实数根 函数的图象与轴的交点 (1)方程法：求方程的实数解. 求函数零点的方法： (2)图象法：作出函数的图象， 找图象与轴交点的横坐标 画出特例 问题1: 所有的函数都有零点吗？ 问题2: 函数是否有零点？ 你用什么方法来进行判断？ 如果有零点，那么零点的个数又是多少？ ？ ？ 情景：观察小鸭子前后两个时刻的位置，哪一组小鸭子一定曾渡过河? 第一组 第二组 问题1：若将河流抽象视为x轴，前后两个位置分别记为A、B两点，请用连续不断的曲线画出他的可能路径. 零点存在性定理的探究 10 零点存在性定理的探究 问题2：若将上面所画的路径曲线看作函数f(x)的图象，A，B两点的横坐标分别为a，b， ①怎样才能让函数f(x)的图象在区间(a,b)内一定有零点？ f(a)和f(b)一正一负 ②如何用数学符号语言来描述零点存在的条件？ f(a)·f(b) < 0 11 零点存在性定理的探究 问题3：如果满足f(a)·f(b) <0，但是函数的图象不是连续不断的，那么f(x)的图象在区间(a,b)内一定有零点吗？ 不一定 连续不断 f(a)和f(b)一正一负 f(a)·f(b)<0 f(x)在区间(a,b)内一定有零点需要具备哪些条件？ 12 零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有_________，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内 有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)=0的解. 连续不断 f(a)f(b)<0 至少 f(c)=0 注意：零点存在定理不可逆用！ 该定理是一个充分不必要条件。反过来，若函数 在区间 上有零点，则不一定有 成立.       下面四个图中，它们满足零点存在定理吗？ x y O a b O y x b a O y x b a O y x b a 定理解读 图1 图2 图3 图4 新知探究 思考：函数满足什么条件时，f(x)在区间（a,b）上一定只有一个零点？ 图1 图2 图3 图4 条件1：f（x）连续不断 条件2：f(a)·f(b) < 0 条件3：f（x）在（a,b）是单调函数 15 推论：函数零点唯一性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，在区间[a,b]上具有单调性， 且有 f(a)f(b)<0, 那么函数 y=f(x)在区间(a, b)内有唯一零点。 题型一：零点的存在性 零点存在定理——连续且异号 连续不断的曲线， 二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如表： 由表判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是 A.(-3，-1)和(2，4) B.(-3，-1)和(-1，1) C.(-1，1)和(1，2) D.(-∞，-3)和(4，+∞) x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=f(x) 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 √ 题型二：判断函数零点所在的区间 在下列哪个区间内,函数 一定有零点（ ） A.(－1,0） 　B.(0,1） C.(1,2） 　 D.(2,3） √ 解析 ∵f(1)＝－1<0，f(2)＝9>0，那么f(1)f(2)＜0 由函数的零点存在定理可知，f(x)在区间（1，2）至少有一个零点 题型三：求函数零点所在区间 例：求函数 的零点个数. 画图工具：用软件画出函数图象，观察零点个数 计算工具：用计算器作出 x，f（x）的对应值表 －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 f(2)＜0 f(3)＜0 那么f(2)f(3)＜0 一题多解 由得 设, 作出函数和的图象，如右. f(x)=lnx g(x)=-2x+6 减函数 增函数 由图知，两个函数图象只有一个公共点 且 ∴方程只有一个解, 即有1个实数解. 求方程实数解的个数. 解的个数即求图象交点个数 求f(x)＝ex＋x－2的零点个数以及零点所在的区间。 解： ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(0)f(1)＜0 ∴f(x)在区间（0，1）至少有一个零点 又∵f(x)为R上是增函数 ∴f(x)在(0,1)内有一个零点. 跟踪训练 著名的数学家华罗庚先生曾经说过： 数缺形时少直观，形少数时难入微。 总结 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(方程法) (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(数形结合) (3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(定理法) (4)转化成两个函数图象的交点问题．(数形结合) 23 课堂小结 零点存在定理＋单调性（搭配使用效果更加~） 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，＋单调递增(减) 那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点 $