精品解析：广西梧州市2025-2026学年上学期期末作业设计质量测试九年级数学试卷

梧州市2025—2026学年上学期作业设计质量测试 九年级数学（试题卷） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 在下列新能源汽车的车标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合，根据中心对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的解析式判断点是否在反比例函数上是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，点满足时该点在函数图象上，逐一判断选项的点是否在函数图象上即可． 【详解】∵ 反比例函数上，点在图象上需满足， 对于A：， 对于B：， 对于C：， 对于D：， 故选：B． 3. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切点定义逐一判断即可得答案． 【详解】A.，故该选项不符合题意， B.，故该选项符合题意， C.，故该选项不符合题意， D.，故该选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正切是锐角的对边与邻边的比值；熟练掌握各三角函数的定义是解题关键． 4. 将抛物线平移后得到抛物线，则下列平移方法正确的是（ ） A. 左移1个单位长度，再上移1个单位长度 B. 左移1个单位长度，再下移1个单位长度 C. 右移1个单位长度，再上移1个单位长度 D. 右移1个单位长度，再下移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的平移，根据原抛物线和目标抛物线写出平移方法是解题的关键． 通过比较原抛物线和目标抛物线的顶点坐标，应用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”确定平移方向和平移量即可． 【详解】解：原抛物线 的顶点为 ，目标抛物线 的顶点为 ， ∵ 顶点从 平移到 ， ∴ 平移方法为右移 个单位，再下移 个单位， 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 6. 如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，设与相切于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 7. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案． 【详解】∵sinA＝，cosB， ∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∴∠C＝75°， ∴△ABC的形状是锐角三角形． 故选C． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 8. 二次函数（a，c为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据解析式可求出对称轴为直线，根据偶次方的非负性得到，则可得到二次函数图象与y轴的交点的纵坐标大于或等于1，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：由题意得，该二次函数的对称轴为直线， 在中，当时，， ∵， ∴， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标大于或等于1， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意， 故选：A． 9. 无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据同一时刻物高与影长成比例解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴, 解得， 故选：D． 10. 如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为米的圆形桌面，其示意图如图②所示，、为可折叠部分，，在劣弧上取一点，连接、，用量角器测得，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握圆周角定理，垂径定理．连接、，过点作于点，则，根据圆周角定理可得，推出，得到米，根据勾股定理求出，最后根据垂径定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则， ，， ， 米， ， 米， 米， 米， 米， 故选：B． 11. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　） A. 1：1 B. 4：3 C. 3：2 D. 2：3 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作DH∥BF交AC于H．利用平行线分线段成比例定理即可解答． 【详解】如图，作DH∥BF交AC于H． ∵DH∥BF， ∴AH：HF=AD：DB=2：1， ∴可以假设HF=a，则AH=2a． ∵FG∥DH， ∴FH：EF=DG：EG=1：2， ∴EF=2a， ∴AF=3a， ∴AF：EF=3a：2a=3：2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理将两条线段的比转化为其余已知线段的比． 12. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 的值等于_____ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，在等腰直角三角形中， 角的对边与邻边相等，直接得出 的值． 【详解】解：， 故答案为 ：1． 14. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______． 【答案】0,2,-2 【解析】 【分析】当m=0时，函数为一次函数满足题意，当m≠0时，函数为二次函数，此时△=0，可求得m的值. 【详解】解:①当m=0时,函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点； ②当m≠0时,函数y=mx+ (m+2)x+m+1的图象是抛物线, 若抛物线的图象与x轴只有一个交点,则方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一个根, 即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0, 解得=2，=-2. 综上可得m的值为0,2,-2. 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识,解答本题的关键是对函数中m的值进行分类讨论,此题难度不大,但是很容易出现错误. 15. 某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 由每天分发数量与分发天数成反比例，设总徽章数为，根据两种分发情况列出方程，求解计划天数和，再写出函数关系式． 【详解】解：设总徽章数为枚，计划天数为天． 根据反比例关系，有． 当时，，即； 当时，，即． 由，解得． 则． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为 16. 如图，，分别与相切于，两点，且，若点是上异于点，的一点，则的大小为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当点在优弧上时，连接，，由切线的性质可得，由四边形的内角和可得，由圆周角定理可得；当点在劣弧上时，连接，，由圆内接四边形的性质可得；综上，即可得出的大小． 【详解】解：分两种情况讨论： 如图，当点在优弧上时，连接，， ，分别与相切于，两点， ， ， ， ； 如图，当点在劣弧上时，连接，， 四边形是圆内接四边形， ； 综上，的大小为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，多边形内角和问题，圆周角定理，圆内接四边形的性质定理等知识点，熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设（），得，，，再代入计算即可． 【详解】解：设（）， ，，． ． 18. （1）如图，D、E是的边上的点，且，求证：． （2）已知二次函数，求抛物线的顶点坐标和对称轴；当x取何值时，函数y等于0． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ； （2）顶点是，对称轴是直线；或时， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的图像与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据题意得，再结合角相等证明，从而得出结论； （2）根据二次函数的解析式即可得出顶点是，对称轴是，当时，，解出一元二次方程的解即可． 【详解】（1）略 （2）解：顶点是，对称轴是：直线； 当时，则有，即， 解得：或 当或时，． 19. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为______； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）若点在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； 的坐标为 （2）如图所示：即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）根据位似图形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作的位似图形，新图与原图相似比为，且， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 20. 如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象得出不等式的解集即可； （3）先求出点，然后用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与y轴的交点坐标，再求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，将点代入双曲线解析式， ， ． 双曲线为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴关于的不等式的解集为或． 【小问3详解】 解：在双曲线为， ， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ， 设与轴交于点，则坐标， ， 答：的面积为． 21. 在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在秒时高度为32厘米，在秒时高度为0厘米． （1）求高度h与时间t之间的函数关系式； （2）求膝盖能达到的最大高度及对应的时间； （3）若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 【答案】（1） （2）膝盖能达到的最大高度为32厘米，对应的时间为秒 （3）在上升过程中0.5秒和下降过程中1.5秒触发闪光，时间间隔为1秒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是； （1）根据待定系数法求解即可； （2）把（1）中函数关系式化为顶点式即可求解； （3）把代入（1）中函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数关系式为． 把，； ，；，分别代入得：， 解得：， ∴函数关系式为：； 【小问2详解】 解： ，抛物线开口向下，最大高度出现在顶点处， 膝盖能达到的最大高度为32厘米，对应的时间为秒； 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， 其中秒对应上升过程，秒对应下降过程． 时间间隔为：秒 答：在上升过程中0.5秒和下降过程中1.5秒触发闪光，时间间隔为1秒 22. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且． （1）求点A的铅直高度； （2）求A，E两点的水平距离． （以上结果精确到．参考数据：，，．） 【答案】（1）点A的铅直高度是 （2）A，E两点的水平距离约为 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和解直角三角函数的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）作，，，垂足分别为点G，H，M，根据含的直角三角形的性质可得，再在中运用三角函数进而即可求解； （2）在中，根据含的直角三角形的性质可得，最后在中运用三角函数进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作，，，垂足分别为点G，H，M， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 点A的铅直高度是； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ， ， 答：A，E两点的水平距离约为． 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G． （1）求证：△ACD∽△CFD； （2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线； （3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值． 【答案】（1）证明：∵OD⊥BC， ∴, ∴∠CAD＝∠FCD， 又∵∠ADC＝∠CDF， ∴△ACD∽△CFD； （2）证明：连接OC，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠CAB＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA， ∴∠OCB＝∠GCA， ∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°， ∴CG⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CG是⊙O的切线； （3）． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD； （2）连接OC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，证出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出结论； （3）连接BD，由圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，则sin∠CAD＝sin∠CBD＝，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，则BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+()2＝r2，解得r＝，则AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接BD，如图2所示： ∵∠CAD＝∠CBD， ∵OD⊥BC， ∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE， 设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x 在Rt△BDE中，BE＝， ∴BC＝2BE＝, 在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2， 即(r﹣x)2+()2＝r2，， 解得：r＝， ∴AB＝2r＝9x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， ∴AC2+()2＝(9x)2， ∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去）， ∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定，三角函数等知识．本题综合性比较强，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧州市2025—2026学年上学期作业设计质量测试 九年级数学（试题卷） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 在下列新能源汽车的车标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移后得到抛物线，则下列平移方法正确的是（ ） A. 左移1个单位长度，再上移1个单位长度 B. 左移1个单位长度，再下移1个单位长度 C. 右移1个单位长度，再上移1个单位长度 D. 右移1个单位长度，再下移1个单位长度 5. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 7. △ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形 8. 二次函数（a，c为常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 无人机送快递是一种创新的配送方式，这种方式快速、灵活，能轻松到达偏远山区、海岛等交通不便地区，既扩大了快递服务范围，也能避开地面交通拥堵．某天，身高（）的小王站在阳光下等待无人机送货过来，此时他的影长（）为，无人机的影长（）为．请问此时无人机高度（）是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为米的圆形桌面，其示意图如图②所示，、为可折叠部分，，在劣弧上取一点，连接、，用量角器测得，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　） A. 1：1 B. 4：3 C. 3：2 D. 2：3 12. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 的值等于_____ 14. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______． 15. 某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 16. 如图，，分别与相切于，两点，且，若点是上异于点，的一点，则的大小为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知：，求的值． 18. （1）如图，D、E是的边上的点，且，求证：． （2）已知二次函数，求抛物线的顶点坐标和对称轴；当x取何值时，函数y等于0． 19. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为______； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； （3）若点在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点的坐标为______． 20. 如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 21. 在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在秒时高度为32厘米，在秒时高度为0厘米． （1）求高度h与时间t之间的函数关系式； （2）求膝盖能达到的最大高度及对应的时间； （3）若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 22. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且． （1）求点A的铅直高度； （2）求A，E两点的水平距离． （以上结果精确到．参考数据：，，．） 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G． （1）求证：△ACD∽△CFD； （2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线； （3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $