精品解析：四川成都市石室成飞中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

成都市2025-2026年石室成飞高二上学期期末考试 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 数据3，7，8，9，12的第60百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】所给数据已按从小到大的顺序排列，因为， 故取第个数与第个数的平均数，即. 故选：C. 2. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，令，求得，即可得到直线在轴上的截距，得到答案. 【详解】由直线的方程为，令，可得，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：D. 3. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 5. 已知直线是圆的一条对称轴，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再将点坐标代入中求出，再利用圆心距和半径判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 圆化为标准方程为， 所以圆的圆心，圆的半径， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上，则，得， 故圆的圆心，圆的半径， 则，则， 所以圆和圆外离. 故选：D 6. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用数量积定义和运算律即可求解. 【详解】由 ， 所以， 故选：B. 7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 8. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，圆与抛物线相切于点，圆与抛物线相切，恰有两个切点，分别联立方程组运算可得的取值范围. 【详解】由题可得：圆与抛物线相切于点，即只有一个交点. 由，得，解得，或. 所以，所以. 圆与抛物线相切，恰有两个切点，且两个切点纵坐标相等并大于零. 由，得. 所以，即. 整理得：，解得. 综上的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，众数的估计值为；C选项，先确定50%分位数所在区间，设为，进而得到方程，求出答案；D选项，中间值作代表，求出平均数的估计值. 【详解】A选项，由题意得，解得，A正确； B选项，由频率分布直方图可知，年龄处于区间的观众频率最大， 故该场观众年龄众数的估计值为，B错误； C选项，由于，， 故该场观众年龄50%分位数处于中，设为， 则，解得， 所以该场观众年龄50%分位数的估计值为35，C正确； D选项，该场观众年龄平均数的估计值为 ，D错误. 故选：AC 10. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A. 短轴长为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程得到的值，利用公式求出的值，利用公式分别求出短轴长，离心率，从而可判断选项A和B的正误；设点纵坐标为，则，利用三角形面积得解；利用点到直线的距离公式求出以线段为直径的圆的圆心到直线距离，从而得到结论. 【详解】对于A，椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 短轴长为，故A错误； 对于B，半焦距，椭圆的离心率，故B正确； 对于C，设点纵坐标为，则， 则的面积，故C错误； 对于D，以线段为直径的圆的圆心到直线距离， 可得直线与圆相离，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得并确定轨迹判断B；作出点关于平面的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点的坐标满足的关系，再利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，由两两垂直，得三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此， 当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确； 对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量， 由直线与平面所成的角为，得， 整理得，因此， 当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义直接计算. 【详解】由分层抽样可得应从书法类兴趣小组抽取人， 故答案为：. 13. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据渐近线方程的斜率，代入公式，求离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行， 直线的斜率，曲线的一条渐近线的斜率为， 所以，则离心率. 故答案为： 14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】不妨先考虑甲输丙，再就甲与乙丁的输赢分类讨论后可得所求的概率. 【详解】甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意； 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢， 否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输或一输一平， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于比较复杂的概率的计算，注意根据问题的特征合理分类，尽量不重不漏，必要时利用表格或枚举等方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，由圆经过点，，代入圆的方程，建立关于和的方程组，求得和，即可得圆的方程； （2）由直线被圆截得的弦长，求出到的距离，对直线的斜率分是否存在两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案. 【小问1详解】 因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 16. 分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程． （1）两个焦点坐标分别是，并且经过点的椭圆方程； （2）焦点在直线上的抛物线方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再由椭圆的定义列式求出的值，进而求得的值，即得椭圆方程； （2）先求出直线与两坐标轴的交点，由题意知标准抛物线的焦点在坐标轴上，可分为两种情况，分别求解抛物线的方程即可. 【小问1详解】 由于椭圆的焦点在x轴上，可设其标准方程为．由题意，， 根据椭圆的定义，，解得， 所以． 故所求椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 因为直线与两坐标轴的交点分别为和，即抛物线的焦点坐标可以是和， 当抛物线的焦点为，其方程形如， 则由可得，此时抛物线的方程为； 当抛物线的焦点为时，其方程形如， 则由可得，此时抛物线的方程为. 综上，可得抛物线的方程为和. 17. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. （1）证明：平面 平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为四边形是矩形， 所以，， 因为，，平面， 所以平面，平面， 因为平面 ，所以平面 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，是直角三角形， 所以， 在中，， 所以是直角三角形，即， 因为，平面， 所以平面， 即两两互相垂直， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量可以为， 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； （2）当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）由（1）知；，；，； ，. 则，，与相互独立. 所以. 因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 . 因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以 又 所以，所以事件与事件不相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解概率； （2）（i）根据事件的独立性计算事件的概率（ii）根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【小问1详解】 记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件“甲获得一等奖”，则，， 所以，所以甲获得一等奖的概率为； 【小问2详解】 记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中 （i）先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”， 由（1）知，；， 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”， 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为； （ii）略 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左右顶点分别为，过作直线，交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （i）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （ii）若直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程为，联立方程组，设，求得，设直线的斜率为，求得，再由，得到，结合韦达定理，列出方程，求得，即可得到过定点； （ii）化简得到，当时，得到，结合韦达定理，求得，设，列出不等式，求得的范围，即可求解. 【小问1详解】 解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，短轴长为， 可得 ，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：（i）若，则直线过定点， 理由如下： 由（1）知，椭圆的左右顶点分别为， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，其中， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 因为点在椭圆上，则，即， 设直线的斜率为，则， 即， 又因为，所以，所以，即， 即， 整理得， 即， 因为，则，所以， 整理得，可得直线的方程为， 当时，可得，所以直线过定点， 且点在椭圆的内部，此时直线与椭圆必相交， 所以直线过定点. （ii）若直线过点，点在椭圆的内部，直线与椭圆必相交， 因为， 当时，可得， 则，整理得， 设，则，解得 ，即， 则，所以，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市2025-2026年石室成飞高二上学期期末考试 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 数据3，7，8，9，12的第60百分位数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5. 已知直线是圆的一条对称轴，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 6. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 8. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的点，当放入一个半径为的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年9月20日，四川省城市足球联赛（简称“川超”）开幕式暨揭幕战观众达21448人．为了解各年龄层对“川超”的关注程度，随机选取了200名年龄在的观众进行调查，并绘制如下的频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄众数的估计值为40 C. 该场观众年龄50%分位数的估计值为35 D. 该场观众年龄平均数的估计值为35 10. 设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A. 短轴长为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相离 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为9π B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 若直线与平面所成的角为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取__________人. 13. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则C的离心率为__________． 14. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过，两点， （1）求圆C的方程； （2）过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求直线的方程. 16. 分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程． （1）两个焦点坐标分别是，并且经过点的椭圆方程； （2）焦点在直线上的抛物线方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面 是矩形，. （1）证明：平面 平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； （2）当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左右顶点分别为，过作直线，交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （i）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （ii）若直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $