精品解析：湖北孝感市2025～2026学年度上学期期末水平质量检测 八年级数学

2025~2026学年度上学期期末水平质量检测 八年级数学 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 11 3. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点分别在线段上，与相交于点，已知，添加下列一组条件仍不能使与全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么常数的值是（ ） A. 或13 B. 或12 C. 13 D. 8. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．数学家哥德巴赫提出了一个边形的所有不同剖分的公式，则七边形的三角剖分共有（ ）种方法． A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 9. 如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，、、分别是，，上的点，且，，若的周长为18，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 任意写一个分母含和的最简分式为___________． 12. 已知点与点关于轴对称，则___________． 13. 因式分解： =___． 14. 如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 15. 如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，中，． （1）尺规作图：用圆规和无刻度直尺作的角平分线，交边于点（不写作图过程，仅保留作图痕迹）； （2）请用所学数学知识求点到线段的距离，则这个距离的值为___________． 18. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 19. 小华和小明同时从甲地沿同一路线步行去相距的乙地．小华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；小明全程的平均行走速度是，且． （1）通过计算说明：两人___________先到达乙地；（选填“小华”或“小明”） （2）二人改变行走方式，小华仍按两个半段路匀速行走，前半段速度不变，后半段速度变为，小华走完前半段时，小明骑自行车开始从甲地出发，平均骑行速度为，结果小明比小华提前40分钟到达乙地，求的值． 20. 课本再学习：完全平方公式的应用． 【课本呈现】2024版人教八年级数学上册第115页图16.3-2和图16.3-3如图所示． （1）如图1，用等式表示图中阴影部分的面积为___________； （2）【应用探究】根据（1）中的结论，若，，则___________； （3）【拓展探究】观察图2，若满足，求的值． 21. 如图，点是边上一点，且． （1）求证：为直角三角形； （2）若是的角平分线，，，求的度数． 22. 综合与实践：学习轴对称、最短路径与匀质薄板的重心．如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系． （1）如图1，的顶点均在小正方形的格点上． ①作关于轴对称的，写出点的坐标； ②作关于轴对称的，写出点的坐标； ③点是轴上一动点，若的值最小，作出寻找点的过程（简写作法，并保留作图痕迹），则点的坐标为___________； （2）如图2，在平面直角坐标系中建立了一个由匀质薄板组成的“”形平面图形．则“”形的重心坐标为___________ 23. 如图，已知等边，点在边上，点在的延长线上，且，连接． （1）如图1，若是的中点，求证：； （2）如图2，若点为边上任意一点时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，给出新的结论并证明； （3）当点为中点，时，点分别为射线，射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a、b满足，为线段上一点． （1）填空：___________，___________，如图1，若，则点的坐标为___________； （2）如图2，若为的中点，点分别是，上的动点，点从点，点从点同时出发，且它们的速度相同，在运动的过程中，的值是否发生变化？若发生变化，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值； （3）如图3，若点为线段上异于的任意一点，过点作，交，分别于F，D两点，为上一点，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期期末水平质量检测 八年级数学 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有B选项符合． 故选：B． 2. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 设第三边为x，根据三角形的三边关系得到，进而判断即可． 【详解】解：设第三边长为x， ∵三角形的两边长分别为3和7， ∴， 即． 只有6在范围内． 故选：C． 3. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴分母， ∴． 故选：D． 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵ ∴． 故选A． 5. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂，完全平方公式． 根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，负整数指数幂，完全平方公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算正确； C．，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：B． 6. 如图，点分别在线段上，与相交于点，已知，添加下列一组条件仍不能使与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理，对选项依次判定即可． 【详解】解：A、， ． 故选项正确，不符合题意． B、， ， ， ． 故选项正确，不符合题意． C、无法证明与全等． 故选项错误，符合题意． D、， ， ， ． 故选项正确，不符合题意． 故选：C． 7. 如果关于的二次三项式是一个完全平方式，那么常数的值是（ ） A. 或13 B. 或12 C. 13 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的概念． 通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 即， ∴或． 故选：A． 8. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分．数学家哥德巴赫提出了一个边形的所有不同剖分的公式，则七边形的三角剖分共有（ ）种方法． A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键． 利用给定的递推公式和初始条件，逐步计算、、、即可． 【详解】解：已知， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 故选：C． 9. 如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．由题意得到，代入各项的左边分别计算，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ， 故A选项错误， ， 故B选项正确； ， 故C选项错误， ， 故D选项错误， 故选：B 10. 如图，是等边三角形，、、分别是，，上的点，且，，若的周长为18，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据是等边三角形，以及，，证明是等边三角形，结合的周长为18，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为18， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 任意写一个分母含和的最简分式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了构造最简分式． 构造一个分母同时含有和且分子与分母无公因式的分式即可． 【详解】解：分式的分母为，含有和，分子为1，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 故答案为：． 12. 已知点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，建立方程求解a和b，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴两点横坐标相等，纵坐标互为相反数， 即，， 解得：，， 因此． 故答案为：． 13. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 14. 如图，中，，，分别是边，上的点，将沿折叠至四边形，点与点对应，交于点，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和三角形内角和定理，利用折叠的性质得到相等的角是解题的关键． 先由邻补角性质求出，再利用折叠性质得和的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先按照运算顺序计算除法，再计算减法，最后代入求值即可．掌握运算顺序，正确计算是解题的关键． 【详解】解： ； 当时，原式． 17. 如图，中，． （1）尺规作图：用圆规和无刻度直尺作的角平分线，交边于点（不写作图过程，仅保留作图痕迹）； （2）请用所学数学知识求点到线段的距离，则这个距离的值为___________． 【答案】（1） 如图，角平分线即为所求； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，角平分线的性质定理，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）过点作于点，根据角平分线性质定理得到，设，则，由面积法得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵平分，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点到线段的距离为， 故答案为：． 18. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】略 19. 小华和小明同时从甲地沿同一路线步行去相距的乙地．小华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；小明全程的平均行走速度是，且． （1）通过计算说明：两人___________先到达乙地；（选填“小华”或“小明”） （2）二人改变行走方式，小华仍按两个半段路匀速行走，前半段速度不变，后半段速度变为，小华走完前半段时，小明骑自行车开始从甲地出发，平均骑行速度为，结果小明比小华提前40分钟到达乙地，求的值． 【答案】（1）小明 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，以及找到等量关系建立分式方程． （1）先表示出小华和小明的时间，然后作差，进行分式的减法计算，再判断差值的正负即可； （2）小华前半段用时小时，后半段用时小时，则总用时为小时；再表示出小明总时间（从小华出发开始时计时）为小时，然后根据“小明比小华提前40分钟到达乙地”建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，前后半段路程为 则小华的时间为：； 小明的时间为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小明先到达乙地， 故答案为：小明； 【小问2详解】 解：分钟小时，前后半段路程为 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：的值为4． 20. 课本再学习：完全平方公式的应用． 【课本呈现】2024版人教八年级数学上册第115页图16.3-2和图16.3-3如图所示． （1）如图1，用等式表示图中阴影部分的面积为___________； （2）【应用探究】根据（1）中的结论，若，，则___________； （3）【拓展探究】观察图2，若满足，求的值． 【答案】（1） （2）21 （3）58 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形，熟练掌握数形结合思想及换元法是解题的关键． （1）利用面积法可得； （2）利用（1）中的结论，将，，代入中，即可得解； （3）设，，则，，根据即可得解． 【小问1详解】 解：图中阴影部分的面积为可以表示为，还可以表示为， ∴用等式表示图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：若，， 则， 故答案为：21． 【小问3详解】 解：设，， 则，， ∴． 21. 如图，点是边上一点，且． （1）求证：为直角三角形； （2）若是的角平分线，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 为直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和求出，即，即可证明为直角三角形； （2）根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 平分， ， ． 22. 综合与实践：学习轴对称、最短路径与匀质薄板的重心．如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系． （1）如图1，的顶点均在小正方形的格点上． ①作关于轴对称的，写出点的坐标； ②作关于轴对称的，写出点的坐标； ③点是轴上一动点，若的值最小，作出寻找点的过程（简写作法，并保留作图痕迹），则点的坐标为___________； （2）如图2，在平面直角坐标系中建立了一个由匀质薄板组成的“”形平面图形．则“”形的重心坐标为___________ 【答案】（1） ①如图,即为所求，； ②如图, 即为所求， ； ③如图， （2） 【解析】 【分析】（1）①分别作出A、B、C三点关于轴的对称点、、，再顺次连接、、 即可得关于轴对称的，根据图像写出点的坐标即可； ②分别作出、、，三点关于轴的对称点、、，再顺次连接、、即可得关于轴对称的，根据图像写出点的坐标即可； ③作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P点．由图可知P点坐标． （2）将图形“”分割成长方形和长方形，找出长方形的重心和长方形的重心，作直线．再将图形“”分割成长方形和长方形，找出长方形的重心和长方形的重心，作直线，则直线与直线的交点即为图形“”的重心． 【小问1详解】 ①； ②； ③作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P点．由图知P点坐标为． 【小问2详解】 解：如图， 长方形的重心为，长方形的重心为，作直线，则图形“”的重心一定在直线上．长方形的重心为，长方形的重心为，作直线，则图形“”的重心一定在直线上．直线与直线的交点P即为图形“”的重心，由图知P点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中作轴对称图形，求最短路径，以及作匀质薄板的重心．熟练掌握轴对称的性质，以及规则图形的重心的作法是解题的关键． 23. 如图，已知等边，点在边上，点在的延长线上，且，连接． （1）如图1，若是的中点，求证：； （2）如图2，若点为边上任意一点时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，给出新的结论并证明； （3）当点为中点，时，点分别为射线，射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 成立，证明如下： 理由：如图，过点作，交于点， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）15或1 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质. （1）根据等边三角形的性质得到、和，进而证得，从而得到； （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质及平行线的性质，证得为等边三角形，进而证得，从而得到； （3）分两种情况讨论：当点在线段的延长线上或点在线段上时，作交于点，通过证得，进而得出，从而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段的延长线上时， 如图3，作交于点， 由（2）知为等边三角形， ， 为等边的边的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上时，如图4， 同理可证明， ， 综上：的长为15或1． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，且a、b满足，为线段上一点． （1）填空：___________，___________，如图1，若，则点的坐标为___________； （2）如图2，若为的中点，点分别是，上的动点，点从点，点从点同时出发，且它们的速度相同，在运动的过程中，的值是否发生变化？若发生变化，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值； （3）如图3，若点为线段上异于的任意一点，过点作，交，分别于F，D两点，为上一点，且，求的值． 【答案】（1）6，6， （2）不改变，9 （3）1 【解析】 【分析】（1）由绝对值和完全平方的非负性可得，，解得，，进而可得，利用待定系数法求得直线的表达式为设，根据，可求得，进而可得，则可得p点坐标为 （2）连接，由点的运动速度相同，可得，由，可求得根据证明，则可得，进而可得 （3）作轴交的延长线于，先根据证明，则可得，再根据证明，则可得，从而可得 ， 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为 则 解得 ∴直线的表达式为 设 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 故答案为：6，6， 【小问2详解】 解：，理由： 如图，连接， 点的运动速度相同， ， ， ， ， ，点是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴在运动的过程中，的值不改变，为9 【小问3详解】 如图3中，作轴交的延长线于， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合—面积问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $