第十章 二元一次方程组 知识点总结 2025--2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 小纸条 日期： 班级： 姓名： 学号： ． 一、二元一次方程组的概念 1．二元一次方程 方程含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是 ，这样的方程叫作二元一次方程． 2．二元一次方程组 方程组中含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是 ，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 3．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． （2）写法：二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要上下排列并用大括号联起来． 4．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫作二元一次方程组的解． （2）写法：二元一次方程组的解要用大括号联起来． 二、消元——解二元一次方程组 1．消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的 ．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想． 2．代入消元法 （1）定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含 的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． （2）步骤：变形、 、求解、回代、写解． 3．加减消元法 （1）定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． （2）步骤：变形、 、求解、回代、写解． 三、实际问题与二元一次方程组 列二元一次方程组解决实际问题 （1）一般步骤：审、 、 、解、验、答． （2）常见类型： ①和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=一份的量× ． ②等积变形问题：V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱= ，V圆锥=． ③行程问题：路程（s）=速度（v）×时间（t）． （i）相遇问题：甲路程+乙路程=总路程； （ii）追及问题： a．同地不同时出发：前者走的路程=追着走的路程； b．同时不同地出发：前者走的路程+ 距离=追着走的路程． （iii）航行问题：顺水速度= 速度+水流速度，逆水速度= 速度-水流速度． ④工程问题：工作量=工作效率× ． ⑤分配问题：调配前后总量不变，调配后双方有新的倍分关系． ⑥利润问题：利润= -进价，． 四、三元一次方程组的解法 1．三元一次方程组 方程组中含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是 ，一共有三个方程，这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 （1）基本思路：三元一次方程组 一元一次方程． （2）一般步骤： ①看：观察方程，选择首先消的未知数； ②变：变三元一次方程组为 ； ③解：解二元一次方程组，得到两个未知数的值； ④代：把求得的未知数的值代入原方程组中含有三个未知数的方程，求出第三个未知数的值； ⑤联：将求得的三个未知数的值用“{”联起来． 参考答案 一、二元一次方程组的概念 1．二元一次方程 方程含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程． 2．二元一次方程组 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 3．二元一次方程的解 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． （2）写法：二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要上下排列并用大括号联起来． 4．二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． （2）写法：二元一次方程组的解要用大括号联起来． 二、消元——解二元一次方程组 1．消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想． 2．代入消元法 （1）定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． （2）步骤：变形、代入、求解、回代、写解． 3．加减消元法 （1）定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． （2）步骤：变形、加减、求解、回代、写解． 三、实际问题与二元一次方程组 列二元一次方程组解决实际问题 （1）一般步骤：审、设、列、解、验、答． （2）常见类型： ①和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=一份的量×份数． ②等积变形问题：V长方体=abh，V正方体=a3，V圆柱= Sh，V圆锥=． ③行程问题：路程（s）=速度（v）×时间（t）． （i）相遇问题：甲路程+乙路程=总路程； （ii）追及问题： a．同地不同时出发：前者走的路程=追着走的路程； b．同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追着走的路程． （iii）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度． ④工程问题：工作量=工作效率×工作时间． ⑤分配问题：调配前后总量不变，调配后双方有新的倍分关系． ⑥利润问题：利润=售价-进价，． 四、三元一次方程组的解法 1．三元一次方程组 方程组中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．三元一次方程组的解法 （1）基本思路：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程． （2）一般步骤： ①看：观察方程，选择首先消的未知数； ②变：变三元一次方程组为二元一次方程组； ③解：解二元一次方程组，得到两个未知数的值； ④代：把求得的未知数的值代入原方程组中含有三个未知数的方程，求出第三个未知数的值； ⑤联：将求得的三个未知数的值用“{”联起来． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $