江西上饶市信州区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级期末卷 1、 选择题（3×6=18分） 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2、下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3、已知图中的两个三角形全等，则等于（     ） A． B． C． D． 4、分式可变形为（      ） A． B． C． D． 5、下列计算中，正确的是（ ） A. （3x2）3＝9x6 B.（﹣a2）3÷（﹣a3）2＝1 C. （m+3n）2＝m2+9n2 D.（y﹣x）（x﹣y）＝﹣y2+2xy﹣x2 6、如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（    ）． A．14 B．12 C．10 D．8 2、 填空题（3×6=18分） 7、如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是 　 8、分解因式： ． 9、已知点A（2，m）和点B（n，﹣1）关于y轴对称，则m+n＝ 　 　 ． 10、若，则 ． 11、若m3，则m2　 　 12、如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 3、 解答题（6×5=30分） 13、（1）计算： （2）解方程： 14、如图，平分，，，求的度数． 15、如图，某市有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求出绿化的面积是多少平方米？ （2）当a＝3，b＝2时，求出绿化面积． 16、先化简，再从1,2,3三个数中选一个自己喜欢的数代入求值。 17、如图，在等腰三角形中，已知，，请你只用无刻度的直尺画出下列图形中等腰三角形的对称轴．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，点D，E分别在，的边上； (2)在图2中，点D，E分别在，的延长线上． 4、 解答题（8×3=24分） 18、如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝3ED＝6，求AB的长． 19、春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题． 信息1：已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元． 信息2：超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 20、已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． （1）求证：BE＝AD； （2）求∠BPQ的度数； （3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长． 5、 21、在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． 22、如图，在△ABC中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的度数． 六、 23、定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末卷 1、 选择题（3×6=18分） 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ B   ） A． B． C． D． 2、下列分式是最简分式的是（  C  ） A． B． C． D． 3、已知图中的两个三角形全等，则等于（ C    ） A． B． C． D． 4、分式可变形为（ A     ） A． B． C． D． 5、下列计算中，正确的是（D） A. （3x2）3＝9x6 B.（﹣a2）3÷（﹣a3）2＝1 C. （m+3n）2＝m2+9n2 D.（y﹣x）（x﹣y）＝﹣y2+2xy﹣x2 6、如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ B   ）． A．14 B．12 C．10 D．8 2、 填空题（3×6=18分） 7、如图所示，王师傅做完门框为防止变形，在门上钉上AB、CD两条斜拉的木条，其中的数学原理是 　三角形的稳定性　 ． 8、分解因式： ． 9、已知点A（2，m）和点B（n，﹣1）关于y轴对称，则m+n＝ 　﹣3　 ． 10、若，则 5 ． 11、若m3，则m2　 7 　 12、如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 或或 3、 解答题（6×5=30分） 13、（1）计算： （2）解方程： （1）解： （2）解：方程两边同乘，得到， 去括号得，解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 14、如图，平分，，，求的度数． 解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴． 15、如图，某市有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求出绿化的面积是多少平方米？ （2）当a＝3，b＝2时，求出绿化面积． 解：（1） ＝（6a2+3ab﹣2ab﹣b2）﹣（a2+2ab+b2） ＝6a2+ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝5a2﹣ab﹣2b2（平方米）； 答：绿化的面积是（5a2﹣ab﹣2b2）平方米； （2）当a＝3，b＝2时， 5a2﹣ab﹣2b2 ＝5×32﹣3×2﹣2×22 ＝5×9﹣6﹣2×4 ＝45﹣6﹣8 ＝31， ∴绿化面积为31平方米． 16、先化简，再从1,2,3三个数中选一个自己喜欢的数代入求值。 解： ∵分式有意义，则 ∴， ∴原式． 17、如图，在等腰三角形中，已知，，请你只用无刻度的直尺画出下列图形中等腰三角形的对称轴．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，点D，E分别在，的边上； (2)在图2中，点D，E分别在，的延长线上． （1）解：如图1所示，直线即为所求； （2）解：如图2所示，直线即为所求； 4、 解答题（8×3=24分） 18、如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝3ED＝6，求AB的长． （1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD， ∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°， ∴∠D＝∠CBF， ∵CD＝CB， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴AC平分∠DAB． （2）解：由（1）得BF＝DE， ∵CE＝CF，CA＝CA， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE， ∵AE＝6，DE＝2， ∴AB＝4． 19、春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题． 信息1：已知每个灯笼的进价比每副春联的进价多15元． 信息2：超市用420元购进的灯笼数量和用240元购进的春联数量相同． （1）求每个灯笼和每副春联的进价． （2）若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 解：（1）设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是（x+15）元， 根据题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， ∴x+15＝20+15＝35， 答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元； （2）设购进灯笼m个，则购进春联（100﹣m）副， 根据题意得：35m+20（100﹣m）≤2450， 解得：m≤30， ∴m的最大值为30． 答：最多能购进灯笼30个． 20、已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． （1）求证：BE＝AD； （2）求∠BPQ的度数； （3）若PQ＝3，PE＝1，求AD的长． （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°， 在△AEB与△CDA中， ， ∴△AEB≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AD； （2）由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABP＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°， ∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABP＝60°； （3）如图，由（2）知∠BPQ＝60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°， ∴PQ＝BP＝3， ∴BP＝6 ∴BE＝BP+PE＝7，即AD＝7． 5、 21、在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 ． 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________． (2)请你用换元法对多项式，进行因式分解． (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”），这个值是________． （1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 故答案为：，小，． 22、如图，在△ABC中，，于点D，，且的垂直平分线分别交，于O，M两点，连接并延长交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的度数． （1）证明：于点D， ； （2）垂直平分， ， 于点D， ， ； （3）解：设，则， ， ． ， ． 在中，有，即， 解得． ， 所以的度数为． 六、 23、定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． （1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $