2026年中考数学重难点一轮复习专项训练：专题01 实数的概念

专题01 实数的概念 一、选择题（共10小题） 1．（2025•乐清市校级模拟）截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　） A．2000×104 B．2000×105 C．2×107 D．2×108 2．（2025•锦江区校级模拟）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 3．（2025•威远县校级一模）﹣2022的倒数是（　　） A．﹣2022 B．2022 C． D． 4．（2025•中牟县模拟）塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场．半个多世纪以来，经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由330000m3增加到10368000m3．数据10368000用科学记数法表示为（　　） A．0.10368×108 B．1.0368×108 C．1.0368×107 D．10.368×106 5．（2025•昆明校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”．如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（　　） A．支出210元 B．收入210元 C．支出90元 D．收入90元 6．（2025•开福区校级一模）下列互为倒数的是（　　） A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 7．（2025•莆田模拟）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.213 D． 8．（2025•湖北模拟）在中，负数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（2025•襄州区校级模拟）2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 10．（2025•伊通县校级模拟）下列选项中为负数的是（　　） A．2 B．（﹣2）2 C．﹣2 D．|﹣2| 二、填空题（共8小题） 11．（2025•黄石港区一模）中国的陆地面积约为9600000km2，把9600000用科学记数法表示为　 　 ． 12．（2025•灞桥区校级一模）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米．用科学记数法表示0.000015是 　 　 ． 13．（2025•苍梧县一模）2025的相反数是 　 　 ． 14．（2025•集美区模拟）如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降2℃记作 　 　 ． 15．（2024•柳北区校级四模）将数2024.624四舍五入取近似值，精确到个位为 　 　 ． 16．（2025•汉中二模）已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣1，点B在数轴的负半轴上，若AB＝3，则点B表示的数为 　 　 ． 17．（2025•榆阳区校级三模）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是　 　 ． 18．（2025•兴宾区一模）|﹣2|＝　 　 ． 三、解答题（共5小题） 19．（2025•石家庄模拟）如图，以1cm为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． （1）分别计算出原点O与点C重合时、与AB的中点重合时p的值． （2）原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值将会如何变化？当p的值为﹣4时，求原点O的位置． 20．（2025•信都区二模）如图，数轴上的两点A，B所对应的数分别为﹣1，11，点M在数轴上，且点M对应的数为a． （1）若a＝1，求A、B、M三点对应数的和； （2）若M点在B点的左侧，且MB＝3AM，求a的值． 21．（2025•平乡县二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：﹣8，+7，+3，﹣12，+6，﹣13，+4，+9． （1）通过计算，说明出租车离A市多远？ （2）在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站 　 　 次； （3）若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 22．（2025•秦皇岛一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若2表示的点与﹣2表示的点重合，则﹣3表示的点与哪个数表示的点重合； （2）若﹣4表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为5（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 23．（2025•浙江模拟）观察连续两个正整数的立方差： ①23﹣13＝22+1×2+12； ②33﹣23＝32+2×3+22； ③43﹣33＝42+3×4+32⋯⋯ （1）写出第n个等式（n为正整数），并给出证明． （2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差？如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由． 参考答案 一、选择题（共10小题） 1．【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：2000万＝20000000＝2×107． 故选：C． 2．【答案】A 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 3．【答案】D 【分析】根据倒数的定义求解． 【解答】解：﹣2022的倒数是． 故选：D． 4．【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：10368000＝1.0368×107． 故选：C． 5．【答案】C 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示支出90元， 故选：C． 6．【答案】A 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵31， ∴3和互为倒数，符合题意； B、∵（﹣2）×2＝﹣4， ∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意； C、∵3×（）＝﹣1， ∴3和不互为倒数，不符合题意； D、∵（﹣2）1， ∴﹣2和不互为倒数，不符合题意． 故选：A． 7．【答案】A 【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【解答】解：在，，0.213，中，无理数是， 故选：A． 8．【答案】B 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：0，是负数； ﹣|﹣2|＝﹣2＜0，是负数； （﹣1）3＝﹣1＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣（﹣5）＝5＞0，是正数； ∴负数有，﹣|﹣2|，（﹣1）3，共3个． 故选：B． 9．【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度是零下150℃，应记作﹣150℃． 故选：B． 10．【答案】C． 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．2＞0，是正数，故A选项错误； B．（﹣2）2＝4＞0，是正数，故B选项错误； C．﹣2＜0，是负数，故C选项正确； D．|﹣2|＝2＞0，是正数，故D选项错误； 故选：C． 二、填空题（共8小题） 11．【答案】9.6×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：9600000＝9.6×106． 故答案为：9.6×106． 12．【答案】1.5×10﹣5 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000015＝1.5×10﹣5． 故答案为：1.5×10﹣5． 13．【答案】﹣2025 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：2025的相反数是﹣2025． 故答案为：﹣2025． 14．【答案】﹣2℃ 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：上升记为正，则下降就记为负． 【解答】解：∵温度上升3℃记作+3℃， ∴下降2℃记作﹣2℃． 故答案为：﹣2℃． 15．【答案】2025 【分析】根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到个位． 【解答】解：2024.624≈2025（精确到个位）， 故答案为：2025． 16．【答案】﹣4． 【分析】设点B表示的数为x，依据点B在数轴负半轴确定x＜0，运用数轴上两点距离公式|﹣1﹣x|＝3，根据绝对值性质分情况求解方程，舍去不符合点B在负半轴条件的解，得出点B表示的数． 【解答】解：设点B表示的数为x． ∵点B在数轴的负半轴上， ∴x＜0． ∵点A表示的数为﹣1，且AB＝3， ∴|﹣1﹣x|＝3． 当﹣1﹣x＝3时， 解得x＝﹣4． 当﹣1﹣x＝﹣3时， 解得x＝2，不符合要求，舍去． ∴点B表示的数为﹣4． 故答案为：﹣4． 17．【答案】4． 【分析】直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【解答】解：A，B两点间的距离是：3﹣（﹣1）＝4， 故答案为：4． 18．【答案】2． 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案． 【解答】解：|﹣2|＝2． 故答案为：2． 三、解答题（共5小题） 19．【答案】（1）﹣10；5； （2）p的值将会增加3；原点O与点B重合． 【分析】（1）由题意得AB、BC、AC的长度，根据实数与数轴的关系推断A、B、C分别表示的数，然后求p的值即可； （2）找到原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值的变化规律，据此求当p的值为﹣4时，原点O的位置即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB＝8﹣2＝6，BC＝10﹣8＝2，AC＝6+2＝8， 当原点O与点C重合时，OA＝8，OB＝2，OC＝0，点A、B、C所表示的数分别为﹣8，﹣2，0，则p＝（﹣8）-（﹣2）+0＝﹣10； 当原点O与AB的中点重合时，AB＝3，此时OA＝3，OB＝3，OC＝5，点A、B、C所表示的数分别为﹣3，3，5，则p＝﹣3+3+5＝5； （2）原点O沿着数轴每向左移动1cm，p的值将会增加3； 当原点O与点C重合时，p＝﹣10，当p＝﹣4时，﹣4﹣（﹣10）＝6，6÷3＝2， ∴原点O从点C向左移动2cm，此时原点O与点B重合． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把三点表示的数相加即可； （2）M点在B点的左侧，则MB＝11﹣a；分两种情况：M点在点A右侧时，AM＝a+1；M点在点A的左侧时，AM＝﹣1﹣a；根据MB＝3AM建立方程即可求得a的值． 【解答】解：（1）∵点A，B所对应的数分别为﹣1，11，点M对应的数为a，a＝1， ∴A、B、M三点对应数的和为：﹣1+1+11＝11； （2）由于M点在B点的左侧，则MB＝11﹣a； 当M点在点A右侧时，则AM＝a+1， ∵MB＝3AM， ∴11﹣a＝3（a+1）， 解得，a＝2； 当M点在点A的左侧时，则AM＝﹣1﹣a， ∵MB＝3AM， ∴11﹣a＝3（﹣1﹣a）， 解得，a＝﹣7； ∴a的值为2或﹣7． 21．【答案】（1）4千米； （2）6； （3）4.34升． 【分析】（1）将出租车当天行驶的记录相加即可； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站计算即可； （3）根据总路程×每千米的油耗计算即可． 【解答】解：（1）（﹣8）+7+3+（﹣12）+6+（﹣13）+4+9＝ 4（千米）， |﹣4|＝4（千米）， ∴出租车离A市4千米． （2）∵规定向北行驶为正， ∴向南行驶为负， 当出租车向南行驶8千米时，出租车所在位置是﹣8千米，即到达A市以南8千米处，第一次经过加油站； 当出租车再向北行驶7千米时，出租车所在位置是（﹣8）+7＝﹣1，即到达A市以南2千米处，第二次经过加油站； 当出租车再向北行驶3千米时，出租车所在位置是（﹣1）+3＝2，即到达A市以北2千米处，不经过加油站； 当出租车再向南行驶12千米时，出租车所在位置是2+（﹣12）＝﹣10，即到达A市以南10千米处，第三次经过加油站； 当出租车再向北行驶6千米时，出租车所在位置是（﹣10）+6＝﹣4，即到达A市以南4千米处，第四次经过加油站； 当出租车再向南行驶13千米时，出租车所在位置是（﹣4）+（﹣13）＝﹣17，即到达A市以南17千米处，第五次经过加油站； 当出租车再向北行驶4千米时，出租车所在位置是（﹣17）+4＝﹣13，即到达A市以南13千米处，不经过加油站； 当出租车再向北行驶9千米时，出租车所在位置是（﹣13）+9＝﹣4，即到达A市以南4千米处，第六次经过加油站． 经上，该出租车经过加油站6次． 故答案为：6． （3）0.07×（|﹣8|+|+7|+|+3|+|﹣12|+|+6|+|﹣13|+|+4|+|+9|）＝4.34（升）． 答：该出租车一天共耗油4.34升． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出AB的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵2表示的点与﹣2表示的点重合， ∴对称中心为0， ∴﹣3表示的点与数3表示的点重合； （2）∵﹣4表示的点与2表示的点重合， ∴对称中心为， ①∵设1表示的点与x表示的点重合， 则， 解得：x＝﹣3， ∴1表示的点与数﹣3表示的点重合； ②∵A，B两点之间的距离为5， ∴AB的一半为， ∵A在B的左侧， ∴点A表示， 点B表示． 答：A、B两点表示的数分别是、． 23．【答案】（1）第n个等式为：（n+1）3﹣n3＝（n+1）2+n（n+1）+n2， ∵左边＝（n+1）3﹣n3 ＝（n3+3n2+3n+1）﹣n3 ＝3n2+3n+1， 右边＝（n+1）2+n（n+1）+n2 ＝n2+2n+1+n2+n+n2 ＝3n2+3n+1， ∴左边＝右边， ∴等式成立； （2）设两个连续正整数为n和n+1， 则（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1， 令3n2+3n+1＝2025， ∴3n2+3n﹣2024＝0， ∴Δ＝32﹣4×3×（﹣2024）＝24297， ∵24297不是完全平方数，因此方程无整数解， ∴2025不能写成两个连续正整数的立方差． 【分析】（1）仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果； （2）根据示例，设3n2+3n+1＝2025，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果． 【解答】解：（1）第n个等式为：（n+1）3﹣n3＝（n+1）2+n（n+1）+n2， 证明：∵左边＝（n+1）3﹣n3 ＝（n3+3n2+3n+1）﹣n3 ＝3n2+3n-1， 右边＝（n+1）2+n（n+1）+n2 ＝n2+2n+1+n2+n+n2 ＝3n2+3n+1， ∴左边＝右边， ∴等式成立； （2）2025不能写成两个连续正整数的立方差，理由如下： 设两个连续正整数为n和n+1， 则（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1， 令3n2+3n+1＝2025， ∴3n2+3n﹣2024＝0， ∴Δ＝32﹣4×3×（﹣2024）＝24297， ∵24297不是完全平方数，因此方程无整数解， ∴2025不能写成两个连续正整数的立方差． 学科网（北京）股份有限公司 $