精品解析：江西萍乡市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2. 2026年，中国载人航天工程将迈入“空间站应用和载人月球探测”双轨并行的关键之年，如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（ ） A. 10 B. C. 8 D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上） 7. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 8. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），若四边形的面积是2，则四边形的面积是________． 9. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在黄金分割点处（即），则点下方的琴弦的长为______． 10. 已知 ，是一元二次方程的两根，则______________． 11. 如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则________． 12. 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在矩形中，，，，点是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、．若，，求线段的长． 14. 如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在边上找一点P，连接，使； （2）在图2中，在边上找一点Q，连接，使． 15. 萍乡作为赣西红色热土与生态胜地，以“工运摇篮、户外天堂、花炮故里、中国辣都”四张城市名片诠释着城市的独特底蕴．为了更好的向游客展示萍乡的城市形象，小亮和他朋友设计了如下图正面印有这四张名片的四款明信片用来送给游客，它们除正面图案外其余完全相同，将这四款明信片背面朝上充分洗匀． （1）若游客从中随机抽取一款，抽到的明信片上印有“中国辣都”的概率是________； （2）若游客从中随机抽取两款，利用画树状图或列表的方法，求游客抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”明信片的概率． 16. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 17. 为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像． （1）根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜________m的C处； （2）如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． （1）求该企业年产值的年平均增长率； （2）2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 19. 如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 20. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点．若点为的中点，，求点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某数学兴趣小组在课余时间开展综合与实践探究活动：如图1，已知四边形为正方形，点E为边的中点，以为边构造正方形，连接． 特例感知： （1）直接写出与之间的数量关系． 操作发现： （2）将正方形绕着点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接． ①与之间的数量关系是否发生变化．若变化，请说明理由；若不变化，请就图2的情况给出证明． ②当，时，求四边形的面积． 类比探究： （3）将正方形绕点A逆时针旋转一定角度，以为斜边在的上方作等腰，连接．如图3，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 2. 2026年，中国载人航天工程将迈入“空间站应用和载人月球探测”双轨并行的关键之年，如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中组合体可知其俯视图是两个同心圆，画出图形即可． 【详解】解：俯视图如图所示，所以A符合题意． 3. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 4. 如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图所示，在正方形中，E是上一点， ，P是上一动点，则的最小值是（ ） A. 10 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称，“两点之间，线段最短”，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，证明，得到，求出，则，得到的最小值为10，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是正方形， ∴B，D关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故选A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上） 7. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 8. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），若四边形的面积是2，则四边形的面积是________． 【答案】18 【解析】 【分析】通过位似得到四边形与四边形相似比为，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】四边形与四边形是位似图形， ． 又． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，以及相似多边形的性质，正确得出面积比是解决此题的关键． 9. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在黄金分割点处（即），则点下方的琴弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，二胡的琴弦长为 ， 解得， 故答案为：． 10. 已知 ，是一元二次方程的两根，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，的两根为、，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；首先把代入一元二次方程中得到进行降幂，可以得到，然后运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 11. 如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质及三角形面积公式的应用．首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出与的长度；再利用的平行关系，判定，通过相似三角形对应边成比例的性质求出的长度；最后以为底、为高，代入三角形面积公式计算出的面积． 【详解】解：设点的坐标为，则点的坐标为，． ， ， ． ， ， ，即，解得， ． 故答案为：． 12. 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在矩形中，，，，点是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为________． 【答案】或1或3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质以及相似三角形的判定与性质．关键是先证明“一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形”，再分三种直角顶点的情况，利用相似三角形求解． 【详解】解：如图，在中，为边上的中线，且， 是中线， ， 在中，；在中，． ， ，即， ，故是直角三角形， 即“完美三角形”实际上是直角三角形． ，，， ，，，． 设，分三种情况讨论： ①当时，． ， ， ∴， ∴，即，解得或， 即或，均满足题意； ①如图，当时： ， ． ， ， ∴， ∴，即，解得， 即，满足题意； ③当时，∵是锐角， ∴点在的延长线上，不满足题意． 综上，的长为，或． 故答案为：，或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、．若，，求线段的长． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，平行线分线段成比例，关键是掌握解一元二次方程的方法和平行线分线段成比例定理． （1）先对等式左边用平方差公式因式分解，再移项提取公因式，将方程转化为两个一元一次方程求解； （2）根据平行线分线段成比例定理，得到对应线段的比例关系，代入已知条件求出未知线段长度，进而计算出的长． 【详解】解：（1）， 将左边因式分解，得， 移项，得， 提取公因式，得， 即， 则或， 解得，； （2）， ， ∵，， ∴，解得， ． 14. 如图，在下列的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，在边上找一点P，连接，使； （2）在图2中，在边上找一点Q，连接，使． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】（1）找到格点，使得四边形是矩形，连接，交于点，连接，则线段即为所求； （2）找到格点使得，连接交于点，连接，线段即为所求． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，三角形中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 萍乡作为赣西红色热土与生态胜地，以“工运摇篮、户外天堂、花炮故里、中国辣都”四张城市名片诠释着城市的独特底蕴．为了更好的向游客展示萍乡的城市形象，小亮和他朋友设计了如下图正面印有这四张名片的四款明信片用来送给游客，它们除正面图案外其余完全相同，将这四款明信片背面朝上充分洗匀． （1）若游客从中随机抽取一款，抽到的明信片上印有“中国辣都”的概率是________； （2）若游客从中随机抽取两款，利用画树状图或列表的方法，求游客抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”明信片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率，画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用概率公式列式计算，即可作答； （2）先列表，得出一共有12种等可能的结果，抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”名片的明信片的结果有6种，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：一共有四张明信片，印有“中国辣都”的明信片有1张， 所以游客从中随机抽取一款，抽到的明信片上印有“中国辣都”的概率是； 【小问2详解】 将“工运摇篮、户外天堂、花炮故里、中国辣都”四张城市名片分别记为A、B、C、D，根据题意，列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”名片的明信片的结果有6种，所以，抽取的明信片中刚好有一款是“户外天堂”明信片的概率为． 16. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）设该一元二次方程的两根为a、b，且a、b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长． 【答案】（1） 解：这个一元二次方程一定有两个实数根 理由：， ∵， ∴， ∴这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）矩形对角线的长是4 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答； （2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵a，b是矩形两条对角线的长， ∴， ∵该一元二次方程的两根为a，b， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得， ∴这个一元二次方程为， ∴， 解得． ∴这个矩形对角线的长是4． 17. 为了增强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．欢欢通过学习，决定使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），根据平面镜成像原理作出了如图所示光路图，视力表（）的上下边A、B反射发出的光线经平面镜（）反射后射入人眼C处，是关于平面镜所成的像． （1）根据平面镜成像原理：为了达到测试距离的要求，欢欢应站在距离平面镜________m的C处； （2）如果视力表（）的长为，请计算图示中平面镜（）的长度． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据平行线证三角形相似． （1）由题意可知：平面镜与之间的距离为3米，达到测试距离的要求，即可得答案； （2）先证，结合相似三角形对应边上的高的比等于相似比，可得，计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：平面镜与之间的距离为3米，达到测试距离的要求， 所以C到的距离为（米）； 【小问2详解】 解：如下图，过点C作，垂足为D，并延长交于E， ， ， ， 又，，， ， ， 平面镜长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 2024年10月，萍乡市荣获“中国辣都”称号后，辣味食品产业迅速发展．已知2023年某辣味食品企业年产值为5亿元，得益于品牌效应，该企业的年产值连续两年保持相同的增长率，预计2025年年产值将达到7.2亿元． （1）求该企业年产值的年平均增长率； （2）2024年10月，该企业的线上辣味食品销售额为3200万元，按计划第四季度（月）的线上总销售额需达到12200万元，求11、12两个月销售额的月均增长率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是根据“增长后的量增长前的量（增长率）”建立方程，并结合实际意义舍去负根． （1）设年平均增长率为，根据年和年的年产值，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性； （2）设月均增长率为，根据月销售额及第四季度总销售额，列出关于的一元二次方程，求解并验证合理性． 【小问1详解】 解：设该企业年产值的年平均增长率为， 由题意得， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：该企业年产值的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设、两个月销售额的月均增长率为， 由题意得， 整理得：，解得：(不符合题意，舍去)，． 答：、两个月销售额的月均增长率为． 19. 如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了测量路灯的的高度，小明从灯杆底部点沿人行道垂直方向拉一卷尺到处，在，之间水平放置一平面镜；移动镜子的位置，当镜子在点时，小明能在镜中看到灯的点；当镜子在点，小明能在镜中看到灯的点；其视线如图所示；，，三点共线，且，．已知小明的眼睛离地面的高度，，，，． （1）求线段和灯杆的高度； （2）求长． 【答案】（1），； （2）路灯的长约为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到，； （）过作于，则，，证明，求得，进而求得即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 根据反射可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：路灯的长约为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出是的中位线，则，则，根据四边形是菱形，得出，则，即可证明四边形是平行四边形． （2）取的中点H，连接，根据，得出，根据四边形是菱形，得出，证明是等边三角形，得出，在中，勾股定理求出．根据四边形是平行四边形，得出，，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 在中，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中， 根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定解题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点．若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、反比例函数解析式的求法，关键是利用平行四边形的面积确定点的坐标，再结合反比例函数的性质和三角形面积公式求解． （1）利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，结合面积公式求出点的坐标，进而代入反比例函数求值； （2）先计算的面积，再利用中点坐标公式和点在反比例函数中求出点的坐标，最后根据三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，在轴上， ∴， ∵点坐标为， ∴平行四边形的底边上的高为3． ∵已知平行四边形面积为， ∴，解得． ∴， ∴点坐标为． ∵点在反比例函数上， 将代入得，解得． ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：，点到轴的距离为3， ∴． ∵设点，，，是的中点， ∴ ∴点的纵坐标是， ∴将，代入得， ∴，，解得， ∴． 设，则，的边边上的高为， ∴． 解得或． ∴点的坐标为或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某数学兴趣小组在课余时间开展综合与实践探究活动：如图1，已知四边形为正方形，点E为边的中点，以为边构造正方形，连接． 特例感知： （1）直接写出与之间的数量关系． 操作发现： （2）将正方形绕着点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接． ①与之间的数量关系是否发生变化．若变化，请说明理由；若不变化，请就图2的情况给出证明． ②当，时，求四边形的面积． 类比探究： （3）将正方形绕点A逆时针旋转一定角度，以为斜边在的上方作等腰，连接．如图3，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①不会发生变化，，理由如下： 连接和， 四边形和为正方形，和为对角线 ， ，即 ． ， 即； ②8； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的三边关系， 对于（1），作，先说明四边形是正方形，再根据勾股定理得 ，则此题可解； 对于（2），①连接和，根据正方形性质得．可得，即可得出结论； ②作，根据正方形的性质得，，即可求出， ，，再根据相似三角形的性质得，最后根据 得出答案； 对于（3），连接，，，根据正方形的性质和等腰三角形的性质得，可得，然后根据三角形的三边关系得，再根据点H和的位置得出答案即可． 【详解】解：（1）； 如图所示，过点F作，交于点H， ∵四边形是正方形， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 根据勾股定理，得， 即， ∴； （2）①略 ②过点E作，垂足为M 依题意， 四边形和为正方形，和为对角线 ，， ，， 依题意，， ，， ， ， ，， ， ； （3）， 理由如下： 连接，，， 依题意，， 四边形和为正方形，和为对角线， ，，，，， ， 又为等腰直角三角形，为斜边， ，， ，即， ， ， ， 点H是在以点D为圆心，2为半径的圆周上， 在中，由三边关系可知， ． 当点H在的延长线上时，，当点H在线段上时，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $