精品解析：云南省大理白族自治州2026届高三第二次复习统一检测数学试题

大理州2026届高中毕业生第二次复习统一检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以集合， 又因为，所以． 故选：B 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据复数的乘除法计算出z，再直接求模即可． 【详解】由，得，所以． 故选：D． 3. 二项式的展开式的第四项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 4. 等比数列中，，，则（ ） A. 88 B. C. 224 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到结果. 【详解】设等比数列的公比为， ， ， 两式作商可得， 则． 故选：C. 5. 已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式和将转化为只含的表达式，代入求解即可． 【详解】因为，所以． 故选：B． 6. 若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解. 【详解】函数， 由得，是函数图象的一条对称轴， 则，，解得，； 当时，， 由函数在有唯一零点，得，解得， 所以当时，取得最大值． 故选：A. 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】由随机变量，且，得， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3． 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故，所以， 解得，所以不等式的解集为． 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象变换求得，根据周期公式判断A，求出函数的零点判断B，利用整体法结合正弦函数的性质判断C，利用代入检验法判断D. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 10. 已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据互斥事件的定义判断；BD根据概率的乘法公式计算；C根据全概率公式计算. 【详解】由题可知，，，，， ，， 因为，不可能同时发生，故，是互斥事件，故A正确； ，故D错误； ， 则，故，不是独立事件，故B错误； ，故C正确． 故选：AC 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求的周长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求的最大值，从而可判断D的正误. 【详解】对于A：双曲线，，， 故渐近线方程为，即，双曲线，，， 故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，， 由双曲线的定义得，，∵，∴，， 故的周长为，B正确； 对于C：P在右支上，设，则，， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心E的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点，故， 则， 当M为线段PE的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，且，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到，再根据模长关系运算求解. 【详解】∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴． 故答案为：. 13. 庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 【答案】640 【解析】 【分析】过点F作平面ABCD，垂足为O，Q为BC的中点， 为平面BCF与底面所成的角，利用相关条件求出高，代入体积公式即可． 【详解】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积（）． 故答案为：640 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为恒成立，根据的单调性得出，再利用导函数求出的最小值即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 即恒成立， 令，因为在上单调递增，所以，故， 即在时恒成立即可， 设，，则，， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，则，所以， 又，所以a的取值范围为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求； （2）若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，利用辅助角公式化简，结合三角形内角范围即可求角； （2）根据，代入可得，接着用余弦定理可求，由勾股定理可知，再在中利用勾股定理即可求. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：，可得， 又，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，可得． 【小问2详解】 因为的面积为，，由（1）知， 所以，得， 所以，可得， 所以，所以． 在直角中，， 可得. 16. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． （1）求图中a的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，记选出的2人中成绩在内的人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）,76.2（分） （2）分布列见解析, 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有的小矩形面积之和为1求出的值，再利用组中值和频率求出平均数. （2）先根据频率计算出相应分数段的人数，确定随机变量的取值，然后利用组合数公式计算取不同值时的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求出期望. 【小问1详解】 因为频率分布直方图的所有小矩形面积之和为1，所以有： ，所以． 估计这50名学生的平均成绩为： （分）． 【小问2详解】 抽取的5名学生成绩在内的学生人数为3人，内的学生人数为2人，所以， ，，， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，为的中点． （1）证明：； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意得到平面．结合条件证得平面，进而得到证明结果； （2）利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 又，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 【小问2详解】 因为，，又为中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，所以平面，所以两两垂直． 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． （1）若线段MN中点的横坐标为2，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义及中点横坐标可求答案； （2）联立方程，利用判别式求出的范围，结合韦达定理可求答案. 【小问1详解】 抛物线的焦点，设，， 由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得 ，， 所以． 【小问2详解】 由直线l过点，设直线l的方程为， 由消去x并整理得， 由，得， 且，， 则， 所以的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围； （3）当时，证明：若，，则．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）求出，根据题干可知在恒小于等于零，观察的表达式，得出的分子必须恒小于等于零，求其单调性列不等式求解即可； （3）利用导数，研究在和上的最值，以此分别求出、的范围，证明题干结论即可． 【小问1详解】 由题设，则，故定义域为． 【小问2详解】 由，则有，， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故，解得． 【小问3详解】 当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， ①当，，当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以； ②当，，， 故，使， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以， 由①②得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州2026届高中毕业生第二次复习统一检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 二项式的展开式的第四项为（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列中，，，则（ ） A. 88 B. C. 224 D. 5. 已知是第三象限角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 10. 已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（ ） A. ，是互斥事件 B. ，是独立事件 C. D. 11. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若M为圆上一点，则的最大值为7 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，且，，则________． 13. 庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，． （1）求； （2）若，的面积为，点在边上且，求线段的长． 16. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． （1）求图中a的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，记选出的2人中成绩在内的人数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，为的中点． （1）证明：； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点． （1）若线段MN中点的横坐标为2，求的值； （2）求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围； （3）当时，证明：若，，则．（参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $