精品解析：上海市延安初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期末阶段性测试试卷

上海市延安初级中学2025学年第一学期 初二年级数学期末阶段性测试试卷 （测试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于圆周率说法错误是（ ） A. 它是无限不循环小数 B. 它可以用数轴上唯一的一个点来表示 C. 它的相反数小于 D. 它与任何无理数的和是无理数 4. 下列方程一定有实数根是（ ） A. B. C. D. 5. 小海和小华分别用计算器求与近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，是边上的中线，有如下两个命题： ①如果，那么与都是等腰三角形； ②如果与都是等腰三角形，那么． 下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 的平方根是______． 8. 比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 9. 化简：________． 10. 在实数范围内分解因式：______. 11. 在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是：______． 12. 已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 13. 如果，那么________． 14. 学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 15. 如图，在中，是边上的中线．点E在线段上，，如果，那么的度数为________． 16. 已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 17. 如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为________． 18. 如图，已知在中，，，，点在边上，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么的长为________． 三、解答题（共52分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知是关于x方程的两个不相等的实数根．且，求m的值． 22. 某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． （1）求原计划平均每个月完成的绿化面积； （2）填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 23. 如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 24. 我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”， （1）如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”； （2）请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”， 并画出这个拼图． 画图要求： ①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙． ②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数． 25. 已知在中，，是边上的中线．点P在射线上（点P不与点B重合），连接． （1）如图1，当点P在延长线上时，如果，求证：是直角三角形； （2）当时， ①如图2，如果点P是的内心，求的面积： ②填空：如果，，那么长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安初级中学2025学年第一学期 初二年级数学期末阶段性测试试卷 （测试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 铁路钢轨温度每变化，每一米钢轨就伸缩米．将这个数用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：将这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不同类二次根式，故A错误； B、与不是同类二次根式，故B错误； C、与不是同类二次根式，故C错误； D、，与是同类二次根式，故D正确． 故选：D． 3. 下列关于圆周率说法错误的是（ ） A. 它是无限不循环小数 B. 它可以用数轴上唯一的一个点来表示 C. 它的相反数小于 D. 它与任何无理数的和是无理数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，实数比较大小，是一个无限不循环的无理数，据此可判断A；根据实数与数轴一一对应可判断B；根据实数比较大小的方法可判断C；根据可判断D． 【详解】解：A、是无限不循环小数，原说法正确，不符合题意； B、可以用数轴上唯一的一个点来表示，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴，原说法正确，不符合题意； D、，而0是有理数，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 下列方程一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查常见方程有无实数根的判断，根据一元二次方程和分式方程的求解过程判断即可． 【详解】A、原方程为一元二次方程，根的判别式，原方程无实数根，该选项不符合题意； B、原方程为分式方程，变形为整式方程为，变形得，原方程无实数根，该选项不符合题意； C、原方程为分式方程，变形为整式方程为，但为原方程的增根，原方程无实数根，该选项不符合题意； D、原方程解得，为实数根，该选项符合题意． 故选：D 5. 小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，先理解题意，观察计算器，得，整理得，即． 【详解】解：观察计算器，得，， ∴， 则 ∴ 即， 故选：B 6. 已知在中，是边上的中线，有如下两个命题： ①如果，那么与都是等腰三角形； ②如果与都是等腰三角形，那么． 下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，等边对等角，直角三角形的性质，三角形内角和定理，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半可判断命题①；对于命题②可分三种情况：是底边（对应等腰三角形中），为腰，为底边和为腰，为腰，根据等腰三角形的性质讨论即可判断命题②． 【详解】解：①∵，是边上的中线， ∴， ∴与都是等腰三角形，故①是真命题； ②当是底边（在对应等腰三角形中）时，那么点A既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，而点D为的中点，故此种情况不成立； 当为腰，为底边（在对应等腰三角形中）时，则， 若，则， ∴，这与矛盾，故此种情况不成立； 若，则，此时是等边三角形， 则， ∴， ∴； 当为腰，为腰（在对应等腰三角形中），则， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，如果与都是等腰三角形，那么，故②是真命题； 故选：A． 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：的平方根为； 故答案为：． 8. 比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 9. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数为非负数，得，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 在实数范围内分解因式：______. 【答案】2（x-）（x-）． 【解析】 【分析】求出方程2x2-3x-1=0中的判别式的值，求出方程的两个解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）即可． 【详解】设2x2-3x-1=0， ∵△=（-3）2-4×2×（-1）=17， ∴x= ∴x1=，x2=， ∴2x2-3x-1=2（x-）（x-）． 故答案为2（x-）（x-）． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式和解一元二次方程，注意：若x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）． 11. 在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是：______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：， 当这个点在右边时，这个点对应的数为：， 综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或， 故答案为：或． 12. 已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的定义．根据关于x的方程有两个实数根，得，，且，再计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 故答案为：且． 13. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和代数式求值，先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数， ， ， 将代入中，得， ∴． 故答案为：． 14. 学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设游泳池的宽为x米，则长为米，根据面积公式列出方程，解方程得到宽和长，再计算周长，即可作答． 【详解】解：设游泳池的宽为x米，则长为米， 根据题意，得， 整理得． 得或（舍去）． ∴宽为15米，长为25米． ∴周长为（米）． 故答案为：80 15. 如图，在中，是边上的中线．点E在线段上，，如果，那么的度数为________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形内角和性质，先根据斜边上的中线等于斜边的一半，得，结合等边对等角，得，又因为，故，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴， 则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 16. 已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【答案】2020 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得的值，根据根与系数的关系可得的值，再把所求式子变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 17. 如图，在中，，，．平分，交于点D．点P在边上，连接，那么线段长度的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，解直角三角形及利用三角形面积求高．根据题意利用角平分线的定义及直角三角形得出，由垂线段最短得到时，的长度最小，过点D作，，证得和均为等腰直角三角形，设，利用三角形面积公式即可求得a值． 【详解】解：∵，平分， ∴， 又∵点P在边上， ∴当时，的长度最小， 如图，过点D作，， ∴和均为等腰直角三角形， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即，解得， ∴长度的最小值为2， 故答案为：2． 18. 如图，已知在中，，，，点在边上，将沿着翻折，点对应点是点，连接．如果，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和图形的折叠，延长交于点，可求得，进而可得，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵， ∴． ∴． 根据翻折的性质可知，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（共52分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行即可． 【详解】解：原式=2 =2 =2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是二次根式的性质及分母有理化． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验，舍去增根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ 解得，， 经检验：当时，则，故舍去； 当时，则， ∴方程的解为． 21. 已知是关于x的方程的两个不相等的实数根．且，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解法，解一元一次不等式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用根与系数的关系，得到关于的一元二次方程求解，再根据根的判别式，求得的范围，从而可确定的值． 【详解】解：∵ ∴ 依题意，得，， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴不符合条件， ∴， 22. 某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． （1）求原计划平均每个月完成的绿化面积； （2）填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 【答案】（1）10万亩 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩，则实际平均每个月完成的绿化面积为万亩，根据实际比计划提前1个月完成任务建立方程求解即可； （2）设每年完成绿化面积的增长率为r，则，，据此可得答案． 【小问1详解】 解：设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每个月完成绿化面积为10万亩； 【小问2详解】 解：设每年完成绿化面积的增长率为r， 则，， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 24. 我们把有一个内角等于的直角三角形叫做“型直角三角形”， （1）如图，已知，在中，，，，求证：是“型直角三角形”； （2）请你用三个不全等的“型直角三角形”拼成一个“型直角三角形”， 并画出这个拼图． 画图要求： ①只要给出一种画法．三个“型直角三角形”不能重叠、不能有缝隙． ②在图中标出每个“型直角三角形”的每个锐角的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，延长至，使，连接，则，由已知可得，所以，因为，可得，所以，则为等边三角形，故，则可得，即可证明是“型直角三角形”； （2）由“型直角三角形”的定义知，其为直角三角形，且两锐角分别为，根据定义画图即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ∴， ∴为直角三角形． 延长至，使，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴是“型直角三角形”； 【小问2详解】 解：如图，三个“型直角三角形”拼成“型直角三角形”． 25. 已知在中，，是边上的中线．点P在射线上（点P不与点B重合），连接． （1）如图1，当点P在延长线上时，如果，求证：是直角三角形； （2）当时， ①如图2，如果点P是的内心，求的面积： ②填空：如果，，那么的长为 ． 【答案】（1）证明见详解 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线及等腰三角形的性质得出相关角度的表达式，再由已知条件证得，即可得证； （2）①过点P作，由三角形中线可得，再由三角形内心的性质得出，利用勾股定理求得的长度，证明出，利用等腰直角三角形的性质得出，进而求得结果； ②分情况讨论：点P在线段上和点P在延长线上，作出对应的辅助线并利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，设的值，再表示出其它相关线段的表达式，利用相似三角形对应线段成比例得出未知数，进而得出结果． 【小问1详解】 证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【小问2详解】 解：①如图，过点P作， ∵，是边上的中线， ∴， 又∵点P在中线上，且是的内心， ∴点P到，，三边的距离相等， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴(直角三角形全等的判定定理)， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时， 如图，延长至点N，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴，； ②当点P在延长线上时， 如图，在上截取， 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中线定理，全等三角形的判定与性质，三角形内心的性质，等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $