江苏省南京市中华中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

南京市中华中学2025一2026学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟满分：150分 命题：夏小强 审核：吕娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.过点(1，一3)且与直线x一2y+1=0垂直的直线方程是() A.2x+y+1=0 B.x+2y+5=0 C.x-2y-7=0 D.2x-2y-5=0 2.已知数列{an}是等差数列，a2=5,a4=7,则a7=() A.9 B.10 C.11 D.12 3.函数x)=x3-12x+1的极小值为() A.-17 B.17 C.-15 D.15 4.若函数fx)=six+2xf"(0),则f"(0)=() A.-3 B.3 C.-1 D.1 5.若等比数列{an}的各项均为i止数，且asa6十a4a=18,则log3a1十log3a2十…十log3a10=() A.12 B.10 D.2log35 6双曲线C号-卡=16>0,6>0的焦距是4，其浙近线与圆G+2P+=1相切.则双 曲线C的方程为() A等y=1 n 7已知F是稀圆C学+片-1la>b>0的左焦点，直线y=≠0交辅圆C于仙N两点， ,y2 若1FM=3FW, 2π 且∠MFN=2, 则椭圆C的离心率为() A.返 B.4 c.5 迈 4 4 D. 8设x)是定义在R上的奇函数，2)=0，当x>0时，有x)一x)<0恒成立，则不等式 fx)>0的解集为() A.(-2,0)U(0,2) B.（-2,0)U(0,+∞) C.（-0,-2)U(2,+∞) D.（-0,-2)U(0,2) 试卷第1页/共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. )已知曲线C的方程为)产+片-1心∈，下列结论正确的有() A.当k=5时，曲线C是半径为2的圆 B.当k=0时，曲线C为双曲线，其浙近线方程为y=士字 C.存在实数k,使得曲线C为离心率为V2的双曲线 D.“>1“是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆“的必要不充分条件· I0.已知Sn为数列{}的前n项和，下列结论正确的有() A.若a1=2,an+1=an十n十1，则a20=21】 B.若a1=1,an+1=2an十1，则an=2n-1 C.若S=3+ ,则数列{an}是等比数列 D.若为等差数列，则数列月也为等差数列 1.己知函数网=+3x+1 er ，其中x∈R,则() A.不等式x)≥-e2对x∈R恒成立 B.若直线y=k与函数y=x)的图象有两个不同的公共点，则k的取值范围是（一2,0] C.方程x)=0有4个实根 D.若关于x的不等式x)<ax恰有1个负整数解，则实数a的取值范围为[e, ) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若曲线C:x)=alnx十x3+b在点x=1处的切线方程是2x一y一2=0，则a十b= 13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点A2,1),点P是抛物线上一个动点，则PF可十PA 的最小值为 14.已知数列a,}满足a1十2am十…+2ma,=-2,数列2的前n项和为S,若对任意 anan+l n∈N,(一1)”1<Sn恒成立，则实数λ的取值范围为 试卷第2页/共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.(本题13分) 在平面直角坐标系xoy中，已知点A(1,0),B(7,0),C(0,1),圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程： (2)若过点D(1,3)的直线1被圆M截得的弦长为8，求直线1的方程. 16.(本题15分) 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，月S=14,S6=126. (I)求{an}的通项公式： (2)保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak+1之间插入k个1，使它们与数列{an}中的项组成一 个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T4s. 17.(本题15分) 已知抛物线Cy2=4x的焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线1,2分别与抛物线交于点 A,B和D,E,其中点A,D在第一象限. (1)若直线11的倾斜角为60°，求线段AB的长： (2)求四边形ADBE的面积的最小值. 试卷第3页/共4页 18.(本题17分) 已知椭圆C的焦点为F(一V5,0),F3,0),左、右顶点分别为A,B,点P为椭圆C上 异于A,B的动点，△PFF2的周长为4十23 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线PB交直线x=4于点T,连接AT交椭圆C于点Q,直线AP,AQ的斜率分别为kP, kAQ- ()求证：kMP·kAO为定值： ()证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标， 19.(本题17分) 已知函数fx)=lnx+a(1一x),a∈R (1)讨论x)的单调性： (2)若x)有极值，且fx)的最大值大于a2+a-2,求a的取值范围： (O)若x)≤xe一2ax+a一1恒成立，求a的取值范围. 南京市中华中学2025一2026学年第一学期期末考试 高二数学 考试时间：120分钟满分：150分 命题：夏小强 审核：吕娜 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1过点(1，一3)且与直线×-2y+1=0垂直的直线方程是() A.2x+y+1=0 B.x+2y+5=0 C.x-2y7=0 D.2x-2y5=0 【答案】A 2.已知数列{an是等差数列，a=5,a=7,则a=() A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B 3.函数0=X-12x+1的极小值为) A.-17 B.17 C.-15 D.15 【答案】C 4.若函数无0=sinx+2xf(0),则f(0)=(） A.-3 B.3 C.-1 D.1 【答案】C 5.若等比数列{a}的各项均为正数，且aa十aa=18,则loga+loga+…+log1ao=() A.12 B.10 C.5 D.2l0gs5 【答案】B 6双线G苓-台-1a>6~0赠他师是本.其渐近钱与周C+2+y=1相切.则双 曲线C的方程为) A等= B.-=1 D苦y= 【答案】A 解析：由题意可得2c4,得c=2. 因为双曲线C苔若=1a>0.b>0的渐近线6士0与圆Cx+2r+y=1相切，所 试卷第1页/共2页 以2温=1，得=36，又d=4=+B,解得6=1，a产5，所以双曲线C的方程为 V眉+B 等= 7.已知F是椭圆C子+方=1(a>b>0)的左焦点，直线一ok0)交椭圆C于MN两点， 若FM=3FN, 且∠MFN 31 则椭圆C的离心率为) A. B. 遁 4 c. 4 D. 4 【答案】D 【解答过程】设B是椭圆C的右焦点，连接MB,NE, 由对称性可知OM=ON,1OF=OF, 则FMEN为平行四边形，则M5=FW,FMR=,即FM=3M, 因为FM1+MR=4ME=2a,则w=a,FM=a, 在△FMF中，由余弦定理可得FFP=MFP+FM-2ME3IFM川·cos∠FMF3, 即4ca-a2+a2-2×axax 解得后=品所以圆C的离心率为==层=号 8.设0是定义在R上的奇函数，2)=0，当x⊙0时，有(9一()<0恒成立，则不等式 )>0的解集为州) A.(-2,0)U(0,2) B.(-2,0)U(0,+0) C.(-0,-2)U(2,+) D.(-0,-2)U0,2) 【答案】D 试卷第2页/共2页 凶 【详解】设函数g对=x,可知g的定义域为{xx≠0；， 灯-刘 求导得或9=X 因为当>0时，有M为一灯<0恒成立，则(9<0， 所以g9在(0，+∞)上单调递减， 且2)=0，可知g2)=0. 当x◇2时，g9<g2)=0:当0<x2时，90>g2)=0: 又因为)是定义在R上的奇函数， -双一边刘 则g一0=-x=一x=X=g9,所以g9是偶函数， 可得：当x<-2时，0<0,9>0： 当-2<x<0时，g9>0,0<0: 当0<x×2时，g0>0,9>0: 当2时，g9<0,0<0, 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0 分. 9.已知曲线C的方程为，-K十亡1(k∈R),下列结论正确的有() A.当k=5时，曲线C是半径为2的圆 B.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为=±与x C.存在实数k使得曲线C为离心率为V2的双曲线 D.“⊙1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】A,当k=5时，曲线方程为X+了=4，所以是半径为2的圆，故正确： B.当k=0时，曲线方程为9一V=1,所以是双曲线，且其渐近线方程为y=±3x,故正确： C.若曲线C为离心率为V2的双曲线，则9一k+k-1=0,方程无解，故错误： D.当k=10时，~1，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故不充分，当曲线C为焦点在x (k-1>0 轴上的椭圆时，则9一k心k-1,解得1<k<5,故必要，故正确： 故选：ABD 试卷第3页1共12页 10.已知S为数列{a的前n项和，下列结论正确的有() A.若a=2,an+1=a+n叶1，则a=211 B.若a=1,a1=2a+1,则a=2°-1 C.若S,=3+与则数列{a是等比数列 D.若a为等整数列，则数列月也为等整数列 【答案】ABD 【解析】对于选项A,由a,=an+n+l,得a,-a,=n+1, 则a=(a。-a)+(a。-a)+(a。-a,)+…+(a-a)+a -20+19+18++2+2=19x20+2+2=211,故A项正确： 2 对于选项B,由a1=2a,+1,得(a,+)=2(a,+), 所以(a+!为等比数列，首项为a+1=2,公比为2， 所以a+1=2×21=2°，所以an=2”-1,故B项正确： 对于选项C,因为S,=3”} 17 当n=1时，a=3+-=。 221 当n22时，a=S-S,=3”-31=2×31 将n=1代入a=2x3,得a=2# 7 所以an= ,所以数列a}不是等比数列，故C项错误. 2x3n.n22 对于选项D,设等差数列的公差为d 由等差数列前n项和公式可得呈.间+？。 2 d n n 2 所以S-三.只n+-gng与n无关 n= n+1n2 2 2 所以数列昌为等差数列，故D项正确 n 故选：ABD 试卷第4页/共12页 1已知商数树4出，种R败) A.不等式)≥一日对VxeR恒成立 B.若直线y=k与函数y=)的图象有两个不同的公共点，则k的取值范围是（一，0） C,方程()=0有4个实根 D.若关于的不等式的<ax怡有1个负整数解，则实数a的取值范围为8易 【答案】ACD X+x-2x+2x1) 【详解】对于选项A,代为=一一= 当X2或X心1时，(<0：所以0在（一，一2）.(1，十)止单调递减， 当一21时，f()>0所以0在（一2,1）止单调递增， 所以0在x=一2出取得极小值，无-2)=一日， 在x=1处取得极大值，1)=e 而>1时，恒有)>0成立， 所以9的最小值是一，即2一日，恒成立，故A正确： 对于B选项，若函数无)与直线y=k有且只有两个交点， 由A选项分析，函数灼的大致图象如下， 由图知，当-d<0或k=e时， 函数0与直线y=k有且只有两个交点，故B错误： -35 对于C选项，由9=0，得X+3x+1=0,解得=2 -3+⑤ -3-5 -3出5 令0=2，和0=2兰，而-<2平<0， -3+5 -3+5 由图象知，对=一2兰和刘=2兰分别有两解 综上，方程)=0共有4个根，C正确： 试卷第3页1共12页 -3+5 对于D选项，直线y=ax过原点，且{-1)=一日{-2)=一日， {-1)-0 1-2)-0E 记%=-1-0=6k=-2-0=2, 易判断，k<飞， 不等式9<ax恰有1个负整数解， 即曲线对在y=议的图象下方对应的x值恰有1个负整数， 由图可得k≤a<k,即e匹a<2,故D正确， -2-1 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若曲线C0=nx+X+b在点x=1处的切线方程是2xy2=0,则a十b= 【答案】一2 13.已知抛物线y=4x的焦点为F,定点A2,1),点P是抛物线上一个动点，则P明+A 的最小值为 【答案】3 14.已知数列{a满足a十2a+…十2a,=n2数列{ 的前n项和为s若对任意n an an ∈N,(一IP1<S恒成立，则实数a的取值范围为 【答案1（一名动 【解答过程】若n=1,则a:=2: 若n≥2，则a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)2m-1 试卷第6页/共12页