专题2.2 一元一次不等式 （寒假预科讲义）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

一元一次不等式 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 一元一次不等式的概念 考点梳理 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 典例引领 考向01 一元一次不等式的定义 【例1】若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须大于或等于零列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 对点提升 【对点1】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 考点02 解一元一次不等式 考点梳理 解一元一次不等式的一般步骤是： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： ①边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； ②方向：大向右，小向左． 典例引领 考向01 求一元一次不等式的解集 【例1】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先判断系数的符号，由于，故系数为负数；不等式两边除以负数时，不等号方向改变；然后有理化分母得到解集，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 考向02 在数轴上表示不等式的解集 【例2】解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 (3)，表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及数轴上实心点与空心点的区别是解题的关键． （1）先去括号化简不等式，再通过移项、合并同类项将不等式化为标准形式，最后系数化为求出解集，并在数轴上用实心点表示包含等号的解集； （2）先去分母消去分数，再移项、合并同类项求出解集，数轴上用空心点表示不包含等号的解集； （3）先去分母，再移项、合并同类项，注意系数化为时，若系数为负数要改变不等号方向，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解：去括号得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得． 移项、合并同类项得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． （3）解：去分母，得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为1得． 不等式的解集在数轴上表示如图所示． 考向03 求一元一次不等式的整数解 【例3】不等式正整数解的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 解不等式求出 的范围，再找出正整数解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得： ， ， ∴正整数解为 ，共个． 故答案为：． 考向04 求一元一次不等式解的最值 【例4】如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 考向05 解|x|≥a型的不等式 【例5】有下列各数：①－3；②－2；③0；④5．其中能使不等式成立的为 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式等价于或是解题的关键． 解绝对值不等式，得到或，然后逐一验证各数是否满足条件． 【详解】解：由，得或，即或 ． ①，满足； ②，不满足； ③且，不满足； ④，满足． 故答案为：①④． 考向06 列一元一次不等式 【例6】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 对点提升 【对点1】请写出一个的值 ，使在实数范围内有意义． 【答案】5（大于或等于5的实数均可） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须非负，由此列出不等式求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴符合题意的x的值可以为5； 故答案为：5（大于或等于5的实数均可）． 【对点2】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意系数为负时不等号方向改变； （2）先去分母，再按上述步骤求解，同样注意不等号方向的变化． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【对点3】已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ． 【答案】1 【分析】先将已知的解代入不等式，得到一个关于的不等式，再解这个不等式，最后在解集中找到最小的整数解． 【详解】解:∵是不等式的一个解， ∴代入得：． 即， 移项得： ， ， 两边同时除以（不等号方向反转）： ， ∴． 故整数的最小整数解是． 故答案为:． 【对点4】已知．请确定的最大值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 【对点5】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 【对点6】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 考点03 一元一次不等式的应用 考点梳理 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 典例引领 考向01 用一元一次不等式解决实际问题 【例1】小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 【答案】(1)； (2)当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以；当时，选择甲商店；当时，选择乙商店 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据甲乙商店的优惠条件，分别列出函数关系式； （2）通过比较和的大小，确定在不同购买数量下选择的情况． 【详解】（1）解：甲商店：； 乙商店：时，； （2）解：由，得， 解得； 由，得， 解得； 由，得， 解得． ， 当时，甲、乙两家商店的费用相同，选择哪家商店都可以； 当时，选择甲商店； 当时，选择乙商店． 考向02 用一元一次不等式解决几何问题 【例2】甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 对点提升 【对点1】某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳．已知购进1个排球和3根跳绳共花费40元，购进3个排球和2根跳绳共花费85元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)现需购买这两类运动设备共150件，并且购买费用不超过1200元，最多购买多少个排球？ 【答案】(1)排球单价是25元，跳绳单价是5元 (2)最多购买22个排球 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购进的排球单价是x元，跳绳单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设购买排球a个，则购买跳绳根，根据购买费用不超过1200元列出不等式并解不等式，结合实际问题即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进的排球单价是x元，跳绳单价是y元， ∴， ∴， 答：购进的排球单价是25元，跳绳单价是5元； （2）解：设购买排球a个，则购买跳绳根， ， ∴， ∵a为整数，所以有最大值22． 答：最多购买22个排球． 【对点2】如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点坐标是． (1)求a，b的值； (2)过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 【答案】(1)， (2)①；②当时，；当时，；当时，． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式和方程，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入求解即可； （2）①首先求出，，然后根据列方程求解即可； ②首先表示出，然后分三种情况讨论，分别列出不等式和方程求解即可． 【详解】（1）将，代入得， ，解得； （2）①∵， ∴ 将代入得 ∴ 将代入得 ∴ ∵ ∴ ∴； ②将代入得， 解得 ∵，， ∴ ∴当时，由图象可得，； 当时，， ∴当时， ∴； ∴当时， ∴； ∴当时， ∴； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，解一元一次不等式， 设等腰三角形两腰长为a，底边长为b，根据三角形三边关系和边长是整数求出或4，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：设等腰三角形两腰长为a，底边长为b，a、b为正整数，且满足三角形三边关系， ∵周长等于10， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即． ∴， ∵a为整数， ∴或4， 当时，，三边为3、3、4，，满足三角形三边关系； 当时，，三边为4、4、2，，满足三角形三边关系． 综上所述，共有2个满足条件的等腰三角形． 故选：B． 2．设表示x、y两个数中的最大值，例如，则函数y＝max{，}可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式，分情况进行解答即可． 【详解】解：当，即时，原函数可化为； 当，即时，原函数可化为， ∴ 故选：B． 3．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，掌握一次函数图象与系数的关系是解题关键． 将一次函数变形，再根据一次函数图象与y轴的交点和增减性，得到，，解不等式求解即可． 【详解】解：， 一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ，， ，， 故选：D． 4．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得4分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式并求解． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为， 依题意得：， 解得：， 故至少需答对题， 故选：D． 5．甲、乙两人分别从相距的，两地沿着同一条公路相向而行，甲、乙同时出发，且甲的速度是乙速度的3倍，如果要保证二人在以内相遇，那么甲的速度满足的条件是（   ） A．小于等于 B．小于等于 C．大于等于 D．大于等于 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式在相遇问题中的应用，掌握相向而行时相对速度为速度之和，以及根据时间约束建立不等式的方法是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为，相对速度为，相遇时间，要求，解不等式得，故甲的速度． 【详解】解：∵甲、乙相向而行，相对速度为甲速+乙速， 设乙的速度为，则甲的速度为， ∴相对速度 相遇所需时间. 要求，即， ∴，解得 故甲的速度 ∴甲的速度大于等于． 故选：C． 6．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 7．小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 8．关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 首先从方程解出关于的表达式，根据为自然数（包括0）确定的范围和奇偶性；然后解不等式组，根据无解条件得到的范围；最后综合得出不符合条件的整数的值． 【详解】解：∵方程得， 且为自然数， ，且为偶数， ，且为奇数， 解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ， ，且为奇数， ， 验证：时；时；时，均为自然数， ∴符合条件的整数的值为， 故不符合条件的整数的值为， 故选：D． 9．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 10．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为：故选：A． 2、 填空题 11．已知一次函数（k为常数，），当时，．则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系．根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，结合条件当时，通过不等式求解k的取值范围． 【详解】解：当时，一次函数随x增大而增大， 当时，， ， ， 当时，，不满足题意， 故不成立； 当时，一次函数随x增大而减小．欲使时，需保证时，即， 解得． 又， k的取值范围是． 故答案为：． 12．根据下表中的信息解决问题：若该组数据的中位数不大于13，则a可以取到的最大正整数是 ． 数据 12 13 14 15 16 频数 6 4 5 a 1 【答案】3 【分析】本题考查中位数的应用，求一元一次不等式的解集 ，掌握知识点是解题的关键． 根据中位数的定义和条件，计算总数据个数和不超过13的数据个数，利用中位数不大于13的条件建立不等式求解即可． 【详解】解：设总数据个数为N，则，其中数据小于等于13的个数为10， 中位数不大于13，需分情况讨论： 当N为奇数时，中位数为第个数据，需满足，即， ∴，得， 当N为偶数时，中位数为第和个数据的平均值，需满足，即， ∴，得， a为正整数，结合上述条件，a可取值为1、2、3，其中最大正整数为3． 故答案为：3． 13．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再代入不等式，通过移项和有理化分母求解即可． 本题考查了算术平方根，解不等式，分母有理化，熟练掌握解不等式，分母有理化是解题的关键． 【详解】解：由题意，a是3的算术平方根， 故； 故变形得， 故， 移项得， 即， 由， 故 故解集为， 故答案为：． 14．对于一个三位正整数，若十位数字与个位数字之和减去百位数字的差为，则称这个三位数为“顺心数”，例如：，因为，所以是“顺心数”：若（，，，且、、均为整数），记．若是“顺心数”，且，则的值为 ；已知，是两个不同的“顺心数”（，，，，且、、、均为整数），且能被整除，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除的运算，不等式等知识，理解题意是解题的关键．根据“顺心数”得到关于、的二元一次方程组即可求出，由，是两个不同的“顺心数”，得到，再求出，根据题意可到能被整除，根据，得到，结合，，确定的值即可． 【详解】解：是“顺心数”， ，即， ，， ， ， 解得， ，是两个不同的“顺心数”， ，， ， ，， ， 能被整除， 能被11整除， ， ， ， ，， ，或，或，或，， 要使最大，则要最大，此时，， ， ， 的最大值为， 故答案为：，． 15．在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先比较点、的横坐标大小，再结合的条件，利用一次函数的增减性确定系数的符号，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴． 已知、在直线上，且，说明当增大时，减小． ∴． 解得：． 故答案为：． 3、 解答题 16．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； (2)若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 (2)甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【分析】本题主要考查一元一次方程，不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元，由此列方程求解即可； （2）设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套，由题意列不等式得到，设利润为，结合题意得到，由此一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元， ∴， 解得，， ∴， ∴甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元； （2）解：设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套， ∴， ∴， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，，此时， ∴甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 17．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元． (1)求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若商店以元每件出售甲商品，元每件出售乙商品，现购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲商品进价元/件，乙商品进价元/件 (2)甲商品进件，乙商品进件时利润最大，是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的最值问题，根据题意列出方程组与函数关系式，并结合不等式确定自变量的取值范围是解题的关键． （1）设甲种商品每件的进价为元/件，乙种商品每件的进价为元/件，根据“购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的进价； （2）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，设总利润为元，根据“总利润甲商品单个利润数量乙商品单个利润×数量”即可得出关于的一次函数关系式，根据“甲商品的数量不少于乙商品数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，根据一次函数的性质结合的取值范围即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲商品进价元/件，乙商品进价元/件， ， 解得， 答：甲商品进价元/件，乙商品进价元/件； （2）解：设购进甲商品件，则购进乙种商品件，设总利润为元，由题意得， ， ，解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，（元）， （件）， 答：甲商品进件，乙商品进件时利润最大，是元． 18．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共80万套，两种礼盒的成本和售价如表所示： 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 (1)该工厂计划筹集资金2150万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒a万套，增加生产乙种礼盒b万套（a，b都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元，设实际生产的两种礼盒的总成本为W万元，请写出W与a的函数关系式，并求出当a为多少时成本W有最小值，并求出成本W的最小值为多少万元？ 【答案】(1)甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套 (2)，当时，W最小值为2284万元 【分析】 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套，根据一共有80万套礼盒，生产资金为2150万元建立方程组求解即可； （2）根据种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元可推出a与b的关系，再列出W关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲礼盒生产x万套，乙礼盒生产y万套， 由题意得，， 解得， 答：甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， ∵a，b都为正整数， ∴， ∴，且a为偶数， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W有最小值，最小值为2284万元． 19．定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务： (1) ； (2)，则x的取值范围是 ； (3)已知y关于x的函数的部分图象如图， ①补全图象； ② ， ； ③若，则x的取值范围是 ； ④若时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)x (3)①见解析②1，③或；④ 【分析】本题考查新定义下的运算，负整数指数幂，一次函数图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，比较，可得到结果； （2）仿照示例，可得到，解不等式，可得到结果； （3）根据题意，求出k，b，画出分段函数的图象即可，再结合图象，得到函数的最值，得到结果． 【详解】（1）解： ，， ∵， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴x， 故答案为：x； （3）解：①∵， 结合图象可知，的图象过点， ∴， 解得， ∴， ∴， 图象如下： ②由①可知， 故答案为：； ③当时，即， 当时， ，即， ∴结合函数图象知，当，则x的取值范围是或， 故答案为：或； ④∵若当，即时，对应的函数图象的左支，解析式为， ∴y的最大值为，y的最小值为， 若y的最大值与最小值的差为， 则， 方程无解； 若当时，对应的函数图象的右支，解析式为， ∴y的最大值为m，y的最小值为， ∴， 方程无解； 当时，y的最小值为， 结合函数图象，y的最大值为或m， ∴或， 解得， 综上所述，． 20．“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】(1)设备处理能力为一天吨，设备一天吨； (2)一共有2种方案，方案：买设备台，设备台；方案②：买设备台，设备台； (3)采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次不等式 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 一元一次不等式的概念 考点梳理 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 典例引领 考向01 一元一次不等式的定义 【例1】若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是 ． 对点提升 【对点1】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 考点02 解一元一次不等式 考点梳理 解一元一次不等式的一般步骤是： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： ①边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； ②方向：大向右，小向左． 典例引领 考向01 求一元一次不等式的解集 【例1】不等式的解集是 ． 考向02 在数轴上表示不等式的解集 【例2】解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． (3)． 考向03 求一元一次不等式的整数解 【例3】不等式正整数解的个数是 ． 考向04 求一元一次不等式解的最值 【例4】如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是 ． 考向05 解|x|≥a型的不等式 【例5】有下列各数：①－3；②－2；③0；④5．其中能使不等式成立的为 （填序号）． 考向06 列一元一次不等式 【例6】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 对点提升 【对点1】请写出一个的值 ，使在实数范围内有意义． 【对点2】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【对点3】已知是不等式的一个解，则整数的最小值是 ． 【对点4】已知．请确定的最大值． 【对点5】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【对点6】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 考点03 一元一次不等式的应用 考点梳理 解有关应用题步骤如下： （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 典例引领 考向01 用一元一次不等式解决实际问题 【例1】小明准备购买迎新春贺卡送给同学，他可以在甲、乙两个商店买到同款贺卡，两个商店的标价均为每张5元．其中甲商店的优惠条件是：从第1张开始就按标价的八五折销售；乙商店的优惠条件是：购买10张以上，从第11张开始按标价的七折销售．设小明购买贺卡的数量为张（为正整数），在甲商店购买的总费用为元，在乙商店购买的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式，以及当时与之间的函数关系式； (2)若小明购买的贺卡数量大于10张，选择哪一家商店更划算？ 考向02 用一元一次不等式解决几何问题 【例2】甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 对点提升 【对点1】某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳．已知购进1个排球和3根跳绳共花费40元，购进3个排球和2根跳绳共花费85元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)现需购买这两类运动设备共150件，并且购买费用不超过1200元，最多购买多少个排球？ 【对点2】如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点坐标是． (1)求a，b的值； (2)过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D． ①当时，求m的值； ②讨论与的大小关系，直接写出你的结论． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．周长等于10且边长是整数的等腰三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．设表示x、y两个数中的最大值，例如，则函数y＝max{，}可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．为加强茶园员工的专业知识储备，保障顾客在观光时能得到更好的专业服务，该观光茶园针对员工开展了一次茶叶知识竞赛．本次竞赛设置了25道选择题，答对1道得4分，答错或不答扣1分．若员工甲在这次竞赛中的得分不低于90分，则他至少要答对的题数是（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 5．甲、乙两人分别从相距的，两地沿着同一条公路相向而行，甲、乙同时出发，且甲的速度是乙速度的3倍，如果要保证二人在以内相遇，那么甲的速度满足的条件是（   ） A．小于等于 B．小于等于 C．大于等于 D．大于等于 6．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 8．关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 9．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．已知一次函数（k为常数，），当时，．则k的取值范围是 ． 12．根据下表中的信息解决问题：若该组数据的中位数不大于13，则a可以取到的最大正整数是 ． 数据 12 13 14 15 16 频数 6 4 5 a 1 13．已知是3的算术平方根，那么不等式的解集是 ． 14．对于一个三位正整数，若十位数字与个位数字之和减去百位数字的差为，则称这个三位数为“顺心数”，例如：，因为，所以是“顺心数”：若（，，，且、、均为整数），记．若是“顺心数”，且，则的值为 ；已知，是两个不同的“顺心数”（，，，，且、、、均为整数），且能被整除，则的最大值为 ． 15．在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 3、 解答题 16．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； (2)若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 17．某商店计划购进甲、乙两种商品，已知购进件甲商品和件乙商品共需元，购进件甲商品和件乙商品共需元． (1)求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若商店以元每件出售甲商品，元每件出售乙商品，现购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 18．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共80万套，两种礼盒的成本和售价如表所示： 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 (1)该工厂计划筹集资金2150万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒a万套，增加生产乙种礼盒b万套（a，b都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为690万元，设实际生产的两种礼盒的总成本为W万元，请写出W与a的函数关系式，并求出当a为多少时成本W有最小值，并求出成本W的最小值为多少万元？ 19．定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务： (1) ； (2)，则x的取值范围是 ； (3)已知y关于x的函数的部分图象如图， ①补全图象； ② ， ； ③若，则x的取值范围是 ； ④若时，的最大值与最小值的差为，求的值． 20．“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $