2026年九年级数学中考一轮复习《一元一次方程》寒假自主学习同步练习题

2026年春九年级数学中考一轮复习《一元一次方程》寒假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若减去3的差的是2的相反数，则的值为（   ） A． B．5 C． D．11 4．定义一种新运算“☆”：，若，则x的值为（   ） A．3 B． C．0 D． 5．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．2014 B． C．2024 D． 6．小丹在某月的月历中圈出了三个日期a，b，c，并求出它们的和为45，则这三个日期在月历中的分布不可能是（　　） A． B． C． D． 7．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题 8．如果方程是关于的一元一次方程，那么的值是 ． 9．若是关于的方程的解，则的值是 ． 10．已知关于的方程，无论取何值，方程恒成立，则的个位数字是 ． 11．已知关于的方程与的解相同，则代数式的值为 ． 12．甲、乙两车同时从相距的、两地相向而行，甲车每小时行，经过2小时两车之间的距离为乙车行驶路程的，则乙车每小时行 ． 13．如图，点A、O、B在一条直线上，，平分，现将以每秒的速度绕点O顺时针旋转一周，保持不动．当时，的运动时间为 ． 14．洛书，源起华夏，是承载着古老智慧的数学结晶（图1），其数字排列构成一个三阶幻方（图2）．观察图1，图2，根据三阶幻方的特征，推导图3中的值为 ． 三、解答题 15．（1） （2） 16．对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：___________，___________，___________； (2)若，求的值． 17．【定义】 若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②两个方程中为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值； (3)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求m、n的值． 18．如图，E为线段上靠近点A的三等分点，B，D为线段上的两点，且满足． (1)若，求线段的长； (2)若图中所有线段的长度之和是线段长度的5倍，，求线段的长； (3)若，，动点P从A点、动点Q从B点同时出发，分别以，的速度沿直线向右运动，当时，求动点P运动的时间． 19．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益，增设制衣项目，已知每人每天能织布，或利用所织布制衣4件，制衣一件用布，将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人只能做一项工作，且不计其他因素，设安排名工人制衣． (1)一天中制衣所获利润_________元（用含的代数式表示）； (2)一天中销售剩余布所获利润_________元（用含的代数式表示）； (3)一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11800元？ (4)一年按300天计算，一年中这个工厂所获利润最大值为多少元？（用科学记数法表示） 20．八年级二班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手组装飞机模型，每名学生一节课能组装机身个或机翼个． (1)八年级二班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责组装机身，男生负责组装机翼，每个机身匹配个机翼，那么这一节课组装出的机身和机翼不能完全配套，最后决定让名男生去支援女生，使这一节课组装出的机身和机翼刚好配套，求派去支援女生的男生人数等于多少？ 参考答案 1．B 【分析】本题考查的是等式的基本性质，根据等式的基本性质，等式两边同时乘或除以同一个非零数，等式仍然成立，分别检查每个选项的变形是否符合该性质． 【详解】解：A、若，则，但选项给出，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，但选项给出，故本选项不符合题意； D、若，则，但选项给出，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】此题主要考查了解一元一次方程时去分母的方法，解题关键是找出所有分母的最小公倍数．由于方程中两个分母的最小公倍数是，所以方程两边同时乘以即可去掉分母，但不要漏乘． 【详解】解；方程两边同乘，得：， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了一元一次方程和相反数的相关知识，需要牢记相反数的定义，并能熟练运用相关知识，列出方程计算即可． 【详解】解：∵减去3的差的是2的相反数， ∴ ， 解得， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了新运算的定义及解一元一次方程，根据新运算的定义，将已知等式转化为一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 整理得， ∴， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及换元法的应用，熟练掌握换元法将新方程转化为已知形式的方程是解题的关键．通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知关于x的方程相同的形式，利用已知解求解． 【详解】设，则方程化为， ∵已知方程的解为， ∴， 即， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据a，b，c位置间的关系，可用含a的代数式表示出b，c的值，结合，可列出关于a的一元一次方程，解之可得出a的值，取a值不为整数的选项即可． 【详解】解：A．∵，，， ∴， 解得：，选项A不符合题意； B．∵，，， ∴， 解得：，选项B不符合题意； C．∵，，， ∴， 解得：，选项C符合题意； D．∵，，， ∴， 解得：，选项D不符合题意． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据竹竿总数不变，每人6竿多14竿时竹竿总数为，每人8竿少2竿时竹竿总数为，两者相等列方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设牧童有x人， ∵每人6竿多14竿， ∴竹竿总数为； ∵每人8竿少2竿， ∴竹竿总数为， ∴， 故选：A． 8． 【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程需满足未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．根据这两个条件列出关于的等式与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴即且； 由，得，解得或； 由，得； 综上，的值为2． 故答案为：2． 9． 2027 【分析】本题考查了方程的解，以及求代数式的值． 将代入方程求得，进而计算的值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， ∴． ∴． 故答案为2027． 10．9 【分析】本题考查了一元一次方程的解，数字类规律探索等知识点，解题的关键是找到幂的个位数字的规律． 由方程恒成立条件，得系数相等和常数项相等，求出m和n的值，再计算，然后求其2026次幂的个位数字，通过3的幂的个位循环周期确定． 【详解】解：由题意得， ， ∵方程恒成立， ∴，， 解得，， ∴， ∵，个位为3； ，个位为9； ，个位为7； ，个位为1； ，个位为3； ∴每四个一循环， ∴，对应个位数字为9． 故答案为：9． 11． 【分析】本题考查根据方程的解求参数，代数式求值．熟练掌握解一元一次方程的步骤，以及方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 先解第一个方程得到的值，由于两个方程的解相同，将该解代入第二个方程求出，再计算代数式的值即可． 【详解】解：解方程，得 ， ∵两方程解相同， ∴满足方程， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 12．70或130 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解， 【详解】设乙车每小时行，经过2小时，甲车行驶， 乙车行驶，两车之间的距离为； 情况一：两车未相遇，有，解得； 情况二：两车相遇后相距，有，解得． 故答案为：70或130． 13．5秒或41秒 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，设经过秒，，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，， ∴， ∵平分， ∴， 设经过秒，，则：或， 解得或； 故答案为：5秒或41秒． 14． 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的加法等知识，根据条件发现规律是解题关键．先观察出幻方的规律是幻方的每一行，每一列，每一条对角线的三个数字之和相等，据此即可求解． 【详解】解：通过观察可得幻方的每一行，每一列，每一条对角线的三个数字之和相等． 如图， 由题意得， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15．（1）；（2） 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是关键． 16．(1)4；1； (2)的值为或． 【分析】本题考查代数式求值，绝对值方程的求解，化简绝对值，解题的关键是理解题意正确列式． （1）根据的定义求解即可； （2）分两种情形构建方程求解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：4，1，； （2）解：， 当时，即， ， 解得：， 当，则， ， 解得：（不符合题意） 综上，的值为或． 17．(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了解一元一次方程及新定义问题的理解与运用． （1）先解出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）先解出x的值，再根据“友好方程”的定义得，进而求得b的值； （3）先将解代入方程中得到新的式子求出m的值，再根据“友好方程”的定义即可求得n的值． 【详解】（1）解：①，解得：，而，①是“友好方程”； ②，解得：，而，②不是“友好方程”， 故答案为：①． （2）解：一元一次方程的解为， 由题意得，，解得． （3）解：将解代入方程中，得到：， ∵， ∴， ∵是“友好方程”， ∴， 将代入得：， 解得． 18．(1) (2) (3)存在，动点P运动的时间为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题，线段的和差倍分，利用一元一次方程的方法求解是解题的关键． （1）根据三等分点的定义求出的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）先求出所有线段的和为，结合已知可得出，设，则，，根据三等分点的定义求出，则可得方程，解方程即可求解； （3）分三种情况：①在左边时，；②在右边，在左边时，；③在右边时且在右边时，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵E为线段上靠近点A的三等分点，， ∴， ∴， （2）解：∵以A为端点的线段有，，，；以E为端点的线段有，，；以B为端点的线段有，，以D为端点的线段有， ∴所有线段的和为 ， ， ∵所有线段的长度之和是线段长度的5倍， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 又， ∴， ∵E为线段上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵，，E为线段上靠近点A的三等分点， ∴，， ∴，， ①在左边时，， ，， ∴， 解得； ②在右边，在左边时，， ，， ∴， 解得（舍去）； ③在右边时且在右边时，， ，， ∴， 解得， 综上，存在某个时刻使得成立，此时动点P运动的时间为或． 19．(1) (2) (3)100 (4) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，关键是一元一次方程的解法． （1）根据设安排名工人制衣，用“”求解； （2）用“”列式求解； （3）用“”列出方程，解方程求解； （4）列方程求出制衣人数，然后根据制衣利润求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 故答案为：； （2）解：由题意得：元， 故答案为：； （3）解：由题意得 ， 解得， 答：一天当中安排100名工人制衣时，所获利润为11800元； （4）解：要使利润最大，则当天所织布全部用来制成成衣， 此时可列方程为， 解得． 因此（元）． 答：一年中这个工厂所获利润最大值为元． 20．(1)男生人，女生人 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． (1)设八年级二班有女生人，则有男生人，根据八年级二班共有学生人，列方程求解； (2)根据每个机身匹配个机翼，列方程求解． 【详解】（1）解：设八年级二班有女生人，则有男生人， 根据题意得：， 解方程得：， ， 答：八年级二班有男生人，女生人； （2）解：根据题意得：组装机翼的有人，组装机身的有人， 列方程得：， 解方程得：． 答：派去支援女生的男生人数为人． 学科网（北京）股份有限公司 $