2026年九年级数学中考一轮复习《方程与不等式》寒假自主达标测试题

2026年春九年级数学中考一轮复习《方程与不等式》寒假自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 2．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 3．已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 4．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设第一天学习的知识量为100，每天“遗忘”的百分比是，根据“两天不练丢一半，即连续两天不练习，所学习的知识就会变为原来的一半”，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 6．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 7．如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 8．小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．如图，数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为： ． 10．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角为 度． 11．已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 12．如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 13．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 14．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 15．已知，是二次方程的两个根，则的值为 ． 16．某服装车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应该怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套?设有x人做上衣，根据题意，可列方程为 ． 三、解答题（满分72分） 17．解方程和不等式： (1)． (2)； (3)． (4)． (5)． (6)解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18．已知关于x的分式方程 (1)若时，求分式方程的解． (2)若分式方程无解，求k的值． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为 、 ，且 ，求m 的值 20．镇安某特产店计划购进镇安核桃和木耳，以满足顾客多样化的需求． (1)若购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元．求购进镇安核桃、木耳每盒（袋）各需多少元？ (2)若该特产店本次购进木耳的袋数比购进镇安核桃的盒数的2倍还少5袋，购进两种特产的总金额不超过510 元，则该特产店本次最多购进镇安核桃多少盒？ 21．某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 22．项目化学习 项目背景：学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），请你和数学小组一起参与实验田的设计． 数据测量：该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米．设实验田的长为米． 问题解决： (1)的长为_____米（用含的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 23．某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． (1)每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ (3)店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 参考答案 1．解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 3．解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 4．解：， 解得：， ， 方程与是“美好方程”， ∴方程的解是， 可化为：， ， ， 故选：B． 5．解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 6．解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式． 7．B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．根据图示可得：长方形的左右的边可以表示为或25，故，长方形的上下边可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 【详解】解：根据图示可得：，即 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“路程、速度、时间的关系（时间路程速度）”并统一单位是解题的关键．先表示出路线一、路线二的行驶时间，再根据“路线一用时路线二用时分钟（换算为小时）”列方程． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 10．30 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角度的计算，理解题意是解题关键． 设这个角为 度，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为 度，则余角为 度，补角为 度， 根据题意，得：， 解得：， 故答案为 30． 11．4 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握定义是解题的关键．将二元一次方程的解代入方程，得到，然后通过代数变形，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：4． 12． 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 13．且 【分析】本题考查了解分式方程． 先通过分母变形化简分式方程，再求解得到x关于m的表达式，根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围 【详解】解：原方程可化为， 即， 两边同乘得， 整理得， 解得： 可知且， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴， ∵分子为负， ∴分母，即； 由得，解得， 综上且． 故答案为：且． 14． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 15．解：，是方程的根， 根据根与系数的关系，有，， 由原方程得，， ， ， 原式． 故答案为． 16．解：设安排人生产上衣，人生产裤子， 根据题意，得：， 故答案为：． 17．（1）解： ， ， ， ， ． （2）解： 移项得 配方得 即 开方得 所以 （3）解： 移项得 提取公因式得 所以 或 因此 （4）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． （5） 方程①化简为， 将和组成方程组得， ， ， 解出， 将代入得， 解出， 方程组的解为． （6）解： 解不等式，， ； 解不等式，， ； 此不等式组的解集为， 整数解为：，0，1，2，3，4， 整数解的和：． 18．（1）解：当时， 检验：当时，分母 ； （2） ， 当整式方程无解时，，， 当时，则， ， ， 综上，或． 19．（1）解：由 得 ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即 解得 20．（1）解：设购进镇安核桃每盒需x元，木耳每袋需y元， 根据题意得：， 解得：， 答：镇安核桃每盒8元，木耳每袋10元． （2）解：设该特产店本次购进镇安核桃a盒，则购进木耳袋，且为正整数，且 ∴， 根据题意得， 解得：， ∴的最大值为， 答：该特产店本次最多购进镇安核桃20盒． 21．（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 22．（1）解：由题意得：（米）． 故答案为：． （2）解：由题意得：， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 则的值为10． （3）解：假设该实验田的面积能为240平方米， 则， 整理得， ∵，方程没有实数根， ∴假设不成立． 答：该实验田的面积不能为240平方米． 23．解：（1）设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． （2）解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． （3）解：不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了． 学科网（北京）股份有限公司 $