精品解析：黑龙江省“六校联盟”2025-2026学年高三上学期1月联合适应性测试数学试题

2026年黑龙江省“六校联盟”高三联合适应性测试 数学学科试题 2026.01.19—2026.01.20 说明：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 一根质地均匀的金属棒长10尺，从粗端到细端，各尺的重量依次成等差数列.已知最粗3尺总重9斤，最细3尺总重2斤，这根金属棒的总重量为（ ）斤. A. B. C. D. 55 5. 已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 144 B. 288 C. 432 D. 576 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 现有平面向量，，，在平面直角坐标系内，一质点从坐标原点出发，以如下规则移动：每次移动距离为一个单位长度，每次按向量方向移动的概率为，按向量方向移动的概率为，按向量方向移动的概率为，从第二次起，每次移动的起点为前次移动的终点.则经过4次移动后，记质点与原点的距离为2的概率为，质点与原点的距离为的概率为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 10. 已知椭圆（）上任意一点到右焦点的距离为（其中为椭圆的离心率）.若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 越大，的面积越大 B. 的最小值为 C. 若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为 D. 的横坐标分别为，若，则 11. 如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为，则线段的长度为 B. 点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C. 点满足，则的最大值为 D. 定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列中，，，则______. 13. 已知函数在区间上有三个零点，（），则的值为______. 14. 四个半径都是的铁球两两相切，在切点处焊接在一起，将其放入上下底面半径分别为，（）的圆台形容器内（容器壁厚度忽略不计），使两个球与上底面和侧面相切，其余两个球与下底面相切，若圆台母线与下底面成角正切值的范围为，则的最小值为______. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 16. 四棱锥中，平面，，是边长为的等边三角形，与交于点，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 2025年12月7日，在2025年国际乒联混合团体世界杯决赛中，中国队以8∶1战胜日本队，获得三连冠.乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某高校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了1000名学生，统计得到如下列联表. 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 350 520 女生 230 480 总计 600 （1）补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断是否喜欢乒乓球运动与性别有关？ （2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取12人参加乒乓球运动集训，再从这12人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量为这3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：，其中. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程： （2）当时，， ①求的取值范围； ②若，，试比较与的大小. 19. 已知抛物线：，设轴上一点，过点的直线与抛物线交于两点，，直线与抛物线交于另一点，直线与抛物线交于另一点. （1）证明：，，均为定值； （2）设直线与交点为. （ⅰ）求点的横坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年黑龙江省“六校联盟”高三联合适应性测试 数学学科试题 2026.01.19—2026.01.20 说明：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数乘除法、复数模的知识点求解即可． 【详解】由，可得， 所以． 故选：B． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式分别求得集合，然后由集合交集的定义求得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，即或，所以. 故选：A. 3. 已知向量，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D. 4. 一根质地均匀的金属棒长10尺，从粗端到细端，各尺的重量依次成等差数列.已知最粗3尺总重9斤，最细3尺总重2斤，这根金属棒的总重量为（ ）斤. A. B. C. D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设出等差数列，再求出等差数列的基本量，再运用等差数列的前项和公式，即可得解. 【详解】各尺的重量依次成等差数列，记等差数列为，，， 其前项和为，公差为（）， 由已知可得，整理得， 解得，所以. 故选：A. 5. 已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法1：根据两圆相切列出等式，设，进而求出结果；方法2：根据两圆相切列出等式，所以点在圆上，根据直线与圆的位置关系结合图形，求出最大值即可. 【详解】方法1：圆：，则，半径， 圆：，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 所以可设，（）， 则， 因为，所以. 方法2：因为，所以点在圆上， 设，则点在直线上， 所以直线与圆有公共点，如下图所示： 所以圆的圆心到直线距离小于等于半径， 即，解得， 故的最大值为，即最大值为. 故选：C. 6. 给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ） A. 144 B. 288 C. 432 D. 576 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据，，，，，，按顺序涂色，逐步分析各个步骤的可能数，最后根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：先对函数求导两次，根据极值点个数和函数的单调性求出结果即可；方法2：先对函数求导 一次，然后将函数有两个极值点转化为在上有两个不相等的根，然后变形化简构造新函数，求导判断单调性，结合图形求出结果即可. 【详解】方法1：函数的定义域为， 求导得，由函数有两个极值点， 得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，， 由，得时；，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当时，， 当时，， 因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 方法2：函数的定义域为， 求导得， 由函数有两个极值点， 得函数在上有两个变号零点， 即在上有两个不相等的根，即有两个不相等的根， 当不是方程的根，所以上述方程等价于有两个不相等的根， 等价于函数的图象与函数有两个不同的交点， 设，定义域为， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ，，而当从大于的方向趋近于时，， 当时，，大致图象如下 数形结合可知，当且仅当时，函数的图象与函数有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8. 现有平面向量，，，在平面直角坐标系内，一质点从坐标原点出发，以如下规则移动：每次移动距离为一个单位长度，每次按向量方向移动的概率为，按向量方向移动的概率为，按向量方向移动的概率为，从第二次起，每次移动的起点为前次移动的终点.则经过4次移动后，记质点与原点的距离为2的概率为，质点与原点的距离为的概率为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】易知平面向量均为单位向量，且两两夹角均为，结合经过4次移动的方向与模长的关系即可得结果. 【详解】依题意可知，且，因此三个向量两两夹角均为， 易知， 所以若经过4次移动后质点最终与原点距离为2的情况中不可能有移动了三种方向的组合，也不会只沿一个方向移动， 因此移动四次质点最终与原点距离为2的情况为任选两个方向各移动2个单位， 即按照的方向移动即可； 所以. 同理质点最终与原点距离为的情况为：向一个方向移动3个单位，另一个方向移动一个单位， 即按照的方向移动即可； 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】结合余弦型函数的周期、对称中心、单调区间、对称轴依次分析选项即可. 【详解】对于A：的最小正周期，故A错误； 对于B：令，，得，， 即的图象关于（）对称，当时，得对称中心为，故B正确； 对于C：令，，解得，， 取得，即在上单调递减，故C错误； 对于D：令，，解得，， 即的图象关于对称， 当时，得对称轴为， 即的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆（）上任意一点到右焦点的距离为（其中为椭圆的离心率）.若分别是椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 越大，的面积越大 B. 的最小值为 C. 若点的横坐标为，则的角平分线与轴交点横坐标为 D. 的横坐标分别为，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由焦点三角形的面积，判断A选项；取特殊直线，判断B选项；由角平分线的性质结合题目定义求得的角平分线与轴交点横坐标，判断C选项；由题目定义表示出并建立不等式，即可验证D选项. 【详解】由题意可知，∴，∴，∴. 对于A，焦点三角形的面积，当越大时，的面积越大，A选项正确； 对于B，时，，此时，故B错误 对于C，，， 设的角平分线与轴交点横坐标， 由角平分线性质知， ， ， ，故C正确 对于D，， 即，得，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为，则线段的长度为 B. 点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C. 点满足，则的最大值为 D. 定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，分别为轴，轴正向的单位向量，对于A，将表示为，，再直接求平方即可；对于B，将表示为，，平方后研究OM的长度，分析其取值范围，再结合圆的面积公式即可判断；对于C，将表示为，，再直接求平方，后续法一：将平方式转化为齐次式，令，将表达式转化为t的函数求最值即可，法二：令，，结合三角函数求表达式最值即可，法三：令（为凑形式所设参数），其中，再通过基本不等式对放缩，并得到的第二个等式，联立求解出并结合放缩结果即可得到表达式最值；对于D，设点，根据所给的两个等式可以得到，，，最后结合斜坐标系的特性求解即可． 【详解】设，分别为轴，轴正向的单位向量，， 对于A，，，故A正确； 对于B，，， ，，故B错误； 对于C，法一：，令， ， 法二：令，， ， 法三： ， 令，则， 结合，解得，所以，故C正确； 对于D，设点， ， 当且仅当，时取等号， 由得，可得， 则其轨迹如图所示，为， 由于，且，易得为等边三角形， ，故轨迹长度为2，故D正确． 故选：ACD． 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正项等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出等比数列的公比，再结合，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由得，，将代入， 得，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在区间上有三个零点，（），则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求得函数在上的对称轴，即可求得函数的单调区间，由题意可知三个零点存在于三个不同的单调区间，由三角函数的对称轴求得结果. 【详解】由得，， 所以函数在的对称轴为和， 函数时周期为的正弦函数， 由正弦函数单调性可知，在单调递增，单调递减，递增， 要想函数存在三个零点，则在三个区间内各有一个零点， 即关于对称轴对称，关于对称轴对称， 所以. 故答案为：. 14. 四个半径都是的铁球两两相切，在切点处焊接在一起，将其放入上下底面半径分别为，（）的圆台形容器内（容器壁厚度忽略不计），使两个球与上底面和侧面相切，其余两个球与下底面相切，若圆台母线与下底面成角正切值的范围为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】方法1，利用圆台轴截面，利用球与底面相切和球与侧面相切建立关系式，得到圆台上下底半径和母线与下底面夹角的关系，然后得到下底半径的关系式，通过换元后函数的单调性，求得最值； 方法2，建立平面直角坐标系，得到点坐标及圆方程，设母线所在直线方程，利用侧面与球相切建立方程，结合上下底半径，构造目标函数，利用函数单调性求得最值. 【详解】方法1：由已知，设母线与下底面成角为，， 上下底面圆圆心分别为，，与上底面、侧面相切的两个球的球心分别为，， 球与上底面切点为，与侧面切点为，根据截面图， 可得，等腰梯形中，，， 在四边形中，，所以， 所以，， 所以， 圆台的高为， ，所以， 所以 记，，所以， ，， 所以函数在单调递减， 所以当时，. 方法2：如图所示，等腰梯形为圆台形容器与上底面相切的两个铁球球心、所在的轴截面，中点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则圆：，设直线的方程为，， 则，即， 由直线与圆相切可知， ，， 设，则，，即， 则设（），，函数在上单调递减， 又，，故知， 又因为，，可知， 即直线的方程为，设 则由，即， 设（），则， 因为时，，所以函数在上单调递减， 所以时，. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，通过辅助角公式即可求得； （2）由余弦定理求得，然后求得，即可求得的周长. 【小问1详解】 由已知，可得， 根据正弦定理可知，，. 由，则，故，所以. ，所以，故； 【小问2详解】 因为，，由余弦定理得， 所以， 故，解得， 故的周长为. 16. 四棱锥中，平面，，是边长为的等边三角形，与交于点，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线的性质全等三角形证明，然后通过线面垂直的性质得到线面垂直； （2）方法一，由（1）得到空间中三条两两垂直直线，建立空间直角坐标系，然后得到点坐标及向量坐标，通过向量的数量积求得平面和平面的一个法向量，再由向量的数量积求得面面角的余弦值. 方法二，在中利用余弦定理求得，结合求得中，由线面垂直得到面面垂直，然后找到面面角的平面角，由相似求得，即可求得平面角的正切值，然后得到面面角的余弦值. 【小问1详解】 由已知，分别为，的中点， 所以为的中位线，所以 因为是等边三角形，所以 又，所以， 所以， 又，，所以， 所以，为中点， 所以，所以. 又平面，平面， 所以，所以. 又，，面，所以平面； 【小问2详解】 方法一，在，过点作，则面， 易知，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，. 设平面的法向量为 则，得， 令，则，，， 设平面与平面夹角为，则 . 所以平面与平面夹角的余弦值为. 方法二，延长与交于点， 中，，， 由余弦定理得，， 所以， 又是等边三角形，所以， 所以， 所以是直角三角形，，， 所以， 又平面，平面， 所以平面平面， 在中，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接 因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以 所以是平面与平面夹角， 在中，，， ，，所以 又，所以，所以 在中，，， 所以，所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 2025年12月7日，在2025年国际乒联混合团体世界杯决赛中，中国队以8∶1战胜日本队，获得三连冠.乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某高校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了1000名学生，统计得到如下列联表. 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 350 520 女生 230 480 总计 600 （1）补全上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断是否喜欢乒乓球运动与性别有关？ （2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取12人参加乒乓球运动集训，再从这12人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量为这3人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：，其中. 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表，作零假设，由公式求得，由附表得出结论； （2）由分层抽样求得男生、女生分别抽取人数，即可得到随机变量的可取值，通过古典概型求得分布列及数学期望. 【小问1详解】 列联表： 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 350 170 520 女生 250 230 480 总计 600 400 1000 零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无差异， 根据表中数据， 计算得到， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关； 【小问2详解】 调查结果为喜欢乒乓球运动的学生中，男生350人，女生250人， 男生人数与女生的人数之比为7∶5， 因此：所抽取的12人中，男生抽取人数：（人）， 女生抽取人数：（人）. 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3 则，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程： （2）当时，， ①求的取值范围； ②若，，试比较与的大小. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）代入得，求导数，即可求得，即通过点斜式写出切线方程. （2）①解法1：求导数，设函数，求导数，讨论当，，时，通过导数，求得函数的单调性，即可求得的取值范围. 解法2：由导数得到函数单调性证明当时，，讨论，，，时，再对进行变形放缩，将问题转化为研究新函数的符号，通过二次求导分析的单调性，从而得到的取值范围. ②解法1：取代入不等式，令得到指数型不等式，将所有不等式累乘后，可发现中间项相互抵消，最终得到​，得证. 解法2：构造对数型函数证明，令得到对数型不等式，累加后得到，结合，即可推出. 【小问1详解】 当时，，则， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ①解法1：， 设，则， 若，当时，由，，可知， 所以在上单调递增， 又，故当时， 即，在上单调递增， 又，故当时，故此时不符题意； 若，∴，则， 当时，， 可知，所以在上单调递增， 又，故当时， 即，在上单调递增， 又，故当时，故此时不符题意； 若，，当时，，， 从而，故在上单调递减， 又，所以当时，， 即，故在上单调递减， 又，所以当时，，满足题意 综上所述，所求的取值范围是. 解法2：先证明当时，，当且仅当时等号成立 由（）可知. 当时，，函数在单调递增， 又，故.当且仅当时等号成立 若，当时， 由，故此时不符合题意； 若，，， ， 故此时不符合题意； 若，， . 设，则，且， 则， 设，， 当时，，即，函数在上单调递增， 又，所以当时，， 所以时，，即，故此时不符合题意， 若，当时，， ， 设， 则，，令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以当时，，在上单调递减， 又，所以当时，， 从而可知若，，此时满足题意 综上所述，所求的取值范围是. ②解法1：由（2）知当，时， 取，则，总有恒成立， 即恒成立，故当时，. 分别令为，，，…，， 从而有，， ，…，，. 累乘得， ∵，即，∴. 解法2：构造（）， 则， 故在上单调递增，从而，即成立. 从而可得， ，，…，，， 累加得 ，即，， ∵，即，∴ 19. 已知抛物线：，设轴上一点，过点的直线与抛物线交于两点，，直线与抛物线交于另一点，直线与抛物线交于另一点. （1）证明：，，均为定值； （2）设直线与交点为. （ⅰ）求点的横坐标； （ⅱ）设的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）联立直线和抛物线，韦达定理求，，. （2）（ⅰ）联立直线和抛物线，应用韦达定理，求出和的直线方程，联立直线方程求点的横坐标. （ⅱ）将和分别切割成两个三角形，然后求面积，最后用（ⅰ）中的韦达定理求最小值. 【小问1详解】 （1）设直线的方程为， 由，可得，所以. 设直线的方程为，由，可得， 所以， 同理.所以 因此，，均为定值； 【小问2详解】 （2）（ⅰ）由（1）知直线的斜率为， 直线的方程为 化简得，同理直线的方程为. ，. 化简得，得， 所以点的横坐标为. （ⅱ）设与轴交于点，，解得. 则. 过点作垂直于轴的直线交于点，则 将代入方程， 即，可得， 代入方程，点的横坐标， . . 当且仅当时取等号. 由（1）得，，，或，时取最小值. 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $