第1章 二次函数【章末复习】 课件 --2025-2026学年湘教版九年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了二次函数的概念、图象与性质、表达式确定、与一元二次方程的联系及应用，通过从基础形式y=ax²到平移变换后的y=a(x-h)²+k再到一般式的逻辑脉络，构建完整知识网络，体现知识点间内在联系。 其亮点在于分层设计练习，从教材基础题到中考综合题，如通过小球运动问题培养数学建模，平移变换训练推理意识，帮助学生发展抽象能力和应用意识，教师可借此精准复习，提升学生知识巩固效果。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 章末复习 第1章 二次函数 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月30日 2026年1月30日星期五9时29分31秒 2026年1月30日星期五9时29分32秒 知识结构 二次函数 二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用 y = ax2（a>0）的图象与性质 沿 x 轴翻折 y = -ax2（a>0）的图象与性质 y = ax2（a>0）的图象与性质 当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位 y = a（x - h）2（a>0）的图象与性质 y = ax2（a>0）的图象与性质 当h ＞ 0时， 向右平移 h 个单位 y = a（x - h）2（a>0）的图象与性质 当k ＞ 0时， 向上平移 k 个单位 y = a（x - h）2（a>0）的图象与性质 y = a（x - h）2 + k（a>0）的图象与性质 当k < 0时， 向下平移 |k| 个单位 y = a（x - h）2（a>0）的图象与性质 y = a（x - h）2 + k（a>0）的图象与性质 写成一般形式 y = ax2 + bx + c 的图象与性质 1.如图，一张正方形纸板的边长为 4，将它剪去 4 个全等的直角三角形，设这 4 个直角三角形短直角边的长度为 x，四边形ABCD 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数表达式. y= 2(x-2)2 + 8 （ 0 < x ≤ 2 ） 【教材P37页】 （ 0 < x ≤ 2 ） 随堂练习 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标 和开口方向. 【教材P37页】 随堂练习 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标 和开口方向. 【教材P37页】 随堂练习 2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标 和开口方向. 【教材P37页】 随堂练习 3. 填空： （1）抛物线 y ＝ 3x2 先向左平移 2 个单位，得到抛物线_____________； 接着向上平移 1 个单位，得到抛物线__________________． （2）抛物线 沿着 x 轴翻折并“复制”出来，得到抛物线_______； 接着向右平移 5 个单位， 得到抛物线_______________； 接着向下平移 2 个单位， 得到抛物线__________________ ． y ＝ 3(x+2)2 y ＝ 3(x+2)2+1 【教材P37页】 随堂练习 4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为 , 且过点 ． 求这个二次函数的表达式及它与 y 轴的交点坐标． 解 设二次函数的表达式为 将点 代入，得 所以，二次函数表达式 与 y 轴交点 【教材P37页】 随堂练习 5. 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值． 解 最大值 最小值 -3 【教材P37页】 随堂练习 6. 已知二次函数的图象与 x 轴交于点（2，0） , （-1，0）， 与 y 轴 交于点（0，-1）. 求这个二次函数的表达式及顶点坐标. 解 设二次函数表达式为 将点（0，-1）代入，得 顶点坐标 【教材P37页】 随堂练习 7. 用图象法求一元二次方程 x2＋ 4x － 3 ＝ 0 的根的 近似值（精确到 0.1）． y = x2＋ 4x － 3 x1 ≈ -4.6 x2 ≈ 0.6 【教材P37页】 随堂练习 8. 将一个小球以 20m/s 的初速度从地面垂直抛向空中，经过时间 t （s），小球的高度 h（m）为 h ＝ 20t － 5t2 . （1）经过多长时间，小球达到最高点？此时小球离地面多高？ （2）经过多长时间，小球落到地上？ 点击播放 【教材P38页】 随堂练习 8. 将一个小球以 20m/s 的初速度从地面垂直抛向空中，经过时间 t （s），小球的高度 h（m）为 h ＝ 20t － 5t2 . （1）经过多长时间，小球达到最高点？此时小球离地面多高？ （2）经过多长时间，小球落到地上？ 解 (1) h ＝ 20t － 5t2 = -5(t-2)2 + 20 当t=2时，h最大，最大值为20 答：经过2s，小球达到最高点，离地面 20 。 【教材P38页】 (2) h = -5(t-2)2 + 20 令h=0，解得 t=4或t=0(舍去) 答：经过4s，小球落到地上。 随堂练习 【教材P38页】 解 （1） y = 100 - 2x（20 ≤ x < 50） （2） S = x（100 - 2x）= -2(x-25)2 + 1250 S 最大值 = 1250 随堂练习 解 （1） m = , k = （2） x = 1或 4 交点坐标 (1, 0), (4, 0) 【教材P38页】 随堂练习 （3） 当 x < 1 或 x > 4 时, y > 0; 当 x = 1 或 x = 4 时，y = 0； 当 1< x < 4 时, y < 0. 【教材P38页】 随堂练习 解 b2-4ac > 0 , 有两个不同的交点 ； b2-4ac = 0 , 有两个重合的交点 ； b2-4ac < 0 , 没有交点 ； 【教材P38页】 随堂练习 （1） b2-4ac =9-4×2×1=1 > 0 与x轴有两个不同的交点； （2） b2-4ac=16-4×4×1 = 0 与x轴有两个重合的交点； （3） b2-4ac=4-4×(-1)×(-4) =-12 < 0 与x轴没有交点； 【教材P38页】 随堂练习 【教材P38页】 解 A点坐标（0,2），代入表达式 随堂练习 【教材P38页】 （2）当 x = 9 时， y = 2.45>2.43, 因此球能越过球网； 当 x =18时，y= >0, 因此球会出界 随堂练习 【教材P39页】 解（1）五边形的面积 = 矩形面积 - 三角形面积 S = t2 - 6t + 72 ，0 < t ≤ 6； （2）S = t2 - 6t + 72 = (t - 3)2 + 63 当 t = 3时，S最小，最小值为 63 随堂练习 解 根据题意可得 【教材P39页】 随堂练习 【教材P39页】 随堂练习 解 （1） （2）设 I 型投入 x 元，则 Ⅱ 型投入 (10-x) 万元，补贴金额为 y 万元，因此 当 x = 7 时，y = 5.8，即最大补贴金额为 5.8 万元. 随堂练习 返回 B 中考考法 30 2．已知二次函数y＝(k－1)xk2－3k＋4＋2x－1，当x＝0.5时，y的值为________． 返回 中考考法 31 3．[2025上海普陀区月考]在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx，这个图形可能是(　　) 返回 D 中考考法 32 4． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是(2，1)，且图象与y轴交于点(0，9)．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象以x轴为对称轴进行折叠，则折叠后得到的函数表达式为(　　) A．y＝2(x－2)2＋1 B．y＝－2(x－2)2－1 C．y＝－2(x＋2)2－1 D．y＝－2(x＋2)2＋1 B 返回 中考考法 33 5．在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是二次函数y＝－x2＋4x－1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1________y2(填“＞”或“＜”)；若对于m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2＜m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是______________． ＞ 中考考法 34 【点拨】∵y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝2.∵0＜x1＜1，x2＞4，∴|x1－2|<|x2－2|.∴y1>y2.∵m＜x1＜m＋1，m＋1＜x2<m＋2，m＋2＜x3＜m＋3，∴x1<x2<x3.∵存在y1<y3<y2，∴x1<2，x3＞2，且A(x1，y1)离对称轴最远，B(x2，y2)离对称轴最近．∴2－x1>x3－2>|x2－2|.∴x1＋x3＜4，且x2＋x3＞4. 中考考法 返回 中考考法 6．[2025福建]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t)． 中考考法 37 中考考法 38 中考考法 39 中考考法 中考考法 41 中考考法 返回 中考考法 7．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为(　　) A．x＞－1 B．x＜3 C．－1＜x＜3 D．x＜－3或x＞1 C 返回 中考考法 44 中考考法 45 中考考法 中考考法 返回 【答案】 B 中考考法 9．利用长为12 m的墙和40 m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6 m，有下列结论： ①垂直于墙的一边长可以为15 m； ②矩形苗圃园的最小面积是102 m2，最大面积是200 m2； ③垂直于墙的一边长有两个不同的值满足矩形苗圃园面积为128 m2. 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 中考考法 49 【点拨】设垂直于墙的一边的长度为x m，则平行于墙的一边的长度为(40－2x) m，由题意知6≤40－2x≤12，解得14≤x≤17，∴垂直于墙的一边长可以为15 m，故①正确；设矩形苗圃园的面积为y m2，则y＝x(40－2x)＝－2x2＋ 40x＝－2(x－10)2＋200.∵－2＜0，∴当x＞10时，y随x的增大而减小，∴当x＝14时，y取得最大值，最大值为168，当x＝17时，y取得最小值，最小值为102，即矩形苗圃园的最小面积是102 m2，最大面积是168 m2，故②错误； 中考考法 50 当矩形苗圃园的面积为128 m2时，由题意得x(40－ 2x)＝128，解得x1＝16，x2＝4.∵14≤x≤17，∴x＝16，∴当垂直于墙的一边长为16 m时，满足矩形苗圃园面积为128 m2，故③错误．故选B. 返回 【答案】 B 中考考法 51 10. 每年5月的第三个星期日为全国助残日．某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． 中考考法 52 (1)求y与x的函数表达式，每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 中考考法 53 中考考法 (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 返回 中考考法 55 1．[2025保定月考]下列函数： ①y＝(m－1)2x2；②y＝1－x2；③y＝(x－2)2－x2； ④y＝x2＋；⑤y＝(x－1)(x＋5)． 其中，一定为二次函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 －＜m＜1 ∵2m＋2<x1＋x3<2m＋4，2m＋3＜x2＋x3＜2m＋5， ∴2m＋2<4，且2m＋5>4，解得－<m <1. (1)求的值； 【解】因为二次函数y＝ax2＋bx－2的图象的对称轴为直线x＝－，点A(1，t)，B(2，t)在该函数的图象上， 所以－＝.所以＝－3. (2)已知二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－a2. ①求该二次函数的表达式； 【解】由(1)可得b＝－3a， 所以该函数的表达式为y＝ax2－3ax－2. 所以函数图象的顶点坐标为. 因为函数的最大值为1－a2， 所以a<0，且－a－2＝1－a2， 解得a＝－1或a＝4(舍去)． 所以该二次函数的表达式为y＝－x2＋3x－2. ②若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：＝. 【证明】因为点M(x1，m)在函数y＝－x2＋3x－2的图象上，所以m＝－x12＋3x1－2.由①知，点M(x1，m)，N(x2，m)关于直线x＝对称，不妨设x1<x2， 则x2－＝－x1，即x1＋x2＝3. 所以－＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝0. 所以＝. 8．已知方程ax2＋bx＋c＝0有两实根x1＝－1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有(　　) ①2a＋b＝0； ②抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为； ③a＜0； ④若m(am＋b)＜4a＋2b，则0＜m＜1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点拨】∵ax2＋bx＋c＝0有两实根x1＝－1，x2＝3， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝＝1.∴－＝1.∴易得2a＋b＝0，故①正确． 易得抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(1，a＋b＋c)．∵2a＋b＝0，a－b＋c＝0，∴3a＋c＝0，即a＝－.∴b＝－2a＝c.∴a＋b＋c＝c.∴抛物线的顶点坐标为，故②正确．∵3a＋c＝0，∴c＝－3a.又∵b＝－2a，abc＞0，∴abc＝a·(－2a)·(－3a)＝6a3＞0.∴a＞0，故③错误． ∵m(am＋b)<4a＋2b，∴am2＋bm＋c<4a＋2b＋c.∴对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值．∵a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1，∴抛物线上的点离对称轴x＝1越近函数值越小．∴|m－1|<2－1.∴－1<m－1<1.∴0<m<2，故④错误．综上，正确的有①②，共2个． 【解】由题意，得y＝(200－x)＝ －x2＋20x＋12 000. ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴200－x≥180.∴x≤20. ∵y＝－x2＋20x＋12 000＝－(x－25)2＋12 250， ∴当x＜25时，y随x的增大而增大． ∴当x＝20时，每天的销售利润最大，最大利润为－×(20－25)2＋12 250＝12 240(元)．答：每辆轮椅降价 20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元． 【解】当y＝12 160时，－x2＋20x＋12 000＝12 160， 解得x1＝10，x2＝40(不合题意，舍去)， ∴60＋×4＝64(辆)．答：这天售出了64辆轮椅． $