山东淄博市临淄区2025一2026学年度第一学期期末考试九年级数学试题（五四学制）

2025一2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写 在答题卡和试卷规定位置。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 如 p 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题 目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带 纸、修正带修改。 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记： 樊 5.评分以答题卡上的答案为依据。不按以上要求作答的答案无效。 一、 选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4 分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分。) 1.一2026的绝对值的倒数是 仰 A.2026 B.-2026 C. D. 1 2026 2026 2.斗拱是中国古典建筑中极具特色的结构构件，它不仅在建筑力学上发挥着重要作用， 还在建筑艺术上展现了独特的魅力。在斗拱的众多构件中，“三才升”是一个重要的组 成部分，如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图是 蟹 将 、正面 主视图 拓 (第2题图) 3. 分解因式a3-4a的结果是 (第5题图) 荞 A.a(a2+4) B.a(a-4) C.a(a2-1） D.a(a+2)(a-2) 留 4.在Rt△ABC中，∠C=90,若△ABC的三边都缩小到原来的二，则sinA的值 A. 缩小到 B.放大3倍 C.不变 D.无法确定 5.如图，已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴为直线x=一1， 则该抛物线与 x轴的另一交点坐标是 初四数学第1页（共8页） A.(-3,0) B.(-2,0) C.x=-3 D.·-2 6.关于反比例函数y=6的图象和性质，下列说法正确的是 A.图象经过点(3，一2) B.图象关于原点中心对称 C.图象位于二、四象限 D.y的值随x值的增大而减小 7.如图，反比例函数片=3的图象与一次函数，=+b的图象交于A,B两点，若片>2， 则x的取值范围是 B (第7题图) (第8题图) (第9题图) A.1<x<3 B.x<0或1<x<3 C.0<x<1 D.x>3或0<x<1 8.如图，PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，∠P=70°，则∠C为 A.55° B.70° C.110° D.140° 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接CD,取CD的中点为O, 以点O为圆心，OC的长为半径作⊙O,交AC于点E,若∠BAC=30°，AC=6,则图中 阴影部分的面积是 A.2元- 3W5 B.- C.元-33 D.2m-5 10.为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方。如图1， 点P是一个固定观测点，运动点2从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动。设 Ag为x(单位：km)(0≤x≤n),PQ为y(单位：km)。如图2，y关于x的函数图象与 y轴交于点C,最低点D(13,m),且经过E6,130)和F(n,225)两点.下列选项不正确 的是 225 E A、 130十- -B D m p 0613 图1 (第10题图) 图2 A.m=81B.n=24C.点C的纵坐标为250 D.点(16,90)在该函数图象上 初四数学第2页（共8页） 二、填空题（每小题4分，共20分) 11.函数y=√x+1中，自变量x的取值范围是 12.二次函数y=x2-4x-3的最小值为 13.如图，在每个小正方形边长为1的网格图中，弧AC经过格点A,B,C,则该弧所在 圆的半径是 B 图1 图2 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器放置在水平桌面上，该容器的水面高度 BM=7cm。将此正方体放在坡角为a的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视 图如图2所示，则tana= 15.如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别交AB, BC于点D,E。若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 三、解答题（第16,17,18,19题每题10分；第20,21题每题12分，第22,23题每题13 分；满分90分)解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分10分) (1)计算：2cos45°+V12-4sin60°+(-1)202 (2)解方程组 x+y=10① x-2y=4② 17.（本题满分10分) 国产AI大模型Deepseek的爆火引发了全球科技界的广泛关注。现有四场网络直播， 分别以“A.机器人技术”“B.计算机视觉”“C.自然语言处理”“D.专家系统”为主题（依 次记为A,B,C,D),对人工智能进行讲解，这四场直播同时开始。甲、乙两位同学准备 各自听一场网络直播，然后两人互相分享。若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入 直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解。 A机器人技术 B.计算机视觉 C自然语言处理 D专家系统 (1)求甲同学选择“A.机器人技术”直播的概率； (2)请用画树状图或列表法，求甲、乙两位同学都没有选择“D.专家系统”直播的 概率。 18.(本题满分10分) 问题情境：如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼考工记》记载：“故兵车之轮 六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型， 请完善下面的推理过程，判断车轮类型。 抽象图形：如图2，在车轮上取A,B两点，设AB所在圆的圆心为O,连接AB。 作弦AB的垂线OC,与弦AB交于点D: 测量数据：测得AB=90cm,CD=15cm, 计算AD的长度，AD= cm,并写出依据 建构模型：设半径为rcm,用含r的代数式表示OD= cm: 在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程： r2= 求解验证：解得r= cm; 通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮。 图1 图2 (第18题图) 初四数学第4页（共8页） 19(本题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，四边形A8CD是知形，4D:轴，(-3引，48=1， AD=2。 (1)直接写出B,C,D三点的坐标； (2)将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A,C恰好同时落在反比例函数 y=(x>0)的图象上，得到矩形ABCD,求矩形ABCD平移的距离m和反比例函数的 解析式。 y A D y D B c ⊙ 0 (第19题图) 20.（本题满分12分) 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶550m高的山峰，由山底 A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处。已知点A,B,D,E, F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘 登山缆车的时间忽略不计)。 (1)求登山缆车上升的高度DE; (2)若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底A处到达山J顶D 处大约需要多少分钟？（结果精确到01） (参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) D 309 A (第20题图) F 21.（本题满分12分) 为研究篮球运动员投篮技术特点，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 研究篮球运动员投篮技术特点 活动 1.确定研究对象。 准备 2准备皮尺等测量工具。 图1是运动员投篮示意图，信息如下： 1.运动员距离篮下4m处起跳投篮。 2篮球运行路线是抛物线。 采集 3.当篮球运动水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m, 数据 然后准确落入篮圈。 4.篮圈中心到地面3.05m,该运动员身高1.8m,球在 头顶上方0.25m处出手。 图1 小组成员经过讨论，建立如图2所示的平面直角 y B 坐标系。点A为出手点，点B为最高点，点C为篮圈 设计 中心。过点A作水平地面的垂线，垂足为点O,以点 方案 O为坐标原点，AO所在直线为y轴，水平地面为x 轴，建立平面直角坐标系。此时，可以确定点B坐标 0 为(2.5,3.5)，点C的坐标为(4,3.05)。 图2 根据以上信息，解决 通过建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式， 下列问题： 确定 进一步解决实际问题。因为B是最高点，说明点B是 (1)求抛物线的表达 思路 抛物线的顶点，所以设抛物线的顶点式较为简单，设 式； 抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k。 (2)球出手时，运动 员跳离地面的高度。 初四数学第6页（共8页） 22.(本题满分13分) 在平面直角坐标系中，二次函数y=xx一a(x一a)x一b)+xx一b)的图象经过点A(x1, 1),B(x2,2)。 (1)当a=0,b=1时，求此函数的表达式及函数图象的对称轴； (2)试判断二次函数图象与x轴的交点个数； (3)若a=b≠0，当x1=2a,1<x2<3时，总有y1<y2,求a的取值范围。 23.(本题满分13分) 已知，AB是半径为6的圆O上的弦，P为圆上的动点，连接PA,PB,过点A作直线 与PB的延长线交于点C。请围绕以下三种情况，对圆中的动点问题进行探究。 (1)特殊位置探究： 如图1，若∠P=∠BAC,且PA经过圆心O。求证：AC是⊙O的切线： (2)一般位置探究： 如图2，点P在圆上运动，∠P=∠BAC,但PA不经过圆心O。 ①求证：AC是⊙O的切线： 2 ②若AB=4,tanC=】 求PA的长； 2 (3)最值问题探究： 如图3，点P在圆上运动，若AB=6,PA⊥AC,△ABC的面积是否存在最大值？若存 在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由。 A A 0 0· B C B P BC C 图1 图2 图3 (第23题图) 2025一2026学年度第一学期期末考试 初四数学试题参考答案 友情提示：解题方法只要正确，可参照得分， 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的 选项填在下面的表中.每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记 0分.) 题号 2 3 4 5 6 7 8 0 10 答案 c A D c A B D A C B 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.x≥-1： 12.-7; 13.5: 14. 15.4. 三、解答题（第16,17,18,19题每题10分；第20,21题每题12分，第22,23题每题13 分；满分90分)解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分10分) 解：(1)解：2cos45°+V12-4sim60+(-1)226 =2x5+2W54 +1..3分 2 2 =√5+25-25+1 =V2+1: .5分 (2)解： x+y=10① x-2y=4② ①-②，得3y=6,解得y=2: 8分 把y=2代入①，得x+2=10,解得x=8: “方程组的解为x=8 ..10分 y=2 17.（本题满分10分) 解：(1).共有4个主题， P(甲同学选择“A机器人技术”直播)=： ..4分 4 (2)列表如下： 初四数学答案第1页（共7页) 乙/甲 A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) .8分 共有12种等可能结果，其中甲乙都没有选择“D.专家系统”的共有6种结果。 ∴P(甲、乙都没有选择“D.专家系统”)=6=1 -122 ...…10分 18.(本题满分10分) 解：数据测量：45： .2分 垂径定理（垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧) .4分 建立模型：(r-15): ..6分 452+(-15)2 .8分 求解验证：75 .10分 19.(本题满分10分) 解：(1)四边形ABCD是矩形， .AB=CD=1,BC=AD=2,............ :A引D红辅。 可(》 .5分 (2),将矩形ABCD向右平移m个单位， 4(-3+m3c1+m2 .1 :点A,C"在反比例函数y=《(x>0)的图象上， 六3-3+m-1+m, 解得：1=4，.....8分 Aa,将4"代入x>0,得到？ 21 初四数学答案第2页（共7页）