精品解析：广东鹤山市第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷

2025-2026学年广东省江门市鹤山一中高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的运算求解. 【详解】由题意，，于是. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】应用不等式求解结合充分必要条件的定义即可求解． 【详解】或， 因为或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 若幂函数在上是单调递增的，则（ ） A. B. C. 在上是单调递增函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】先根据幂函数性质得到，，代入计算得到AB错误；根据的单调性和奇偶性得到C正确，D错误. 【详解】由题意得且，解得或（舍去）， 故， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确； D选项，，故不是偶函数，D错误. 故选：C 4. 用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二分法可知，连续函数在区间上满足，则函数在区间上存在零点. 【详解】令，则， ， ， ， ， 故选：B. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性及中间值比较出大小. 【详解】函数在R上单调递增，故， 在R上单调递减，， 在上单调递减，， 故. 故选：C. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断A，再由函数零点及函数值变化趋势判断BCD. 【详解】由，可知，函数为奇函数， 故图象关于原点对称，故A错误； 当时，由可得，故D错误； 当时，增长比增长快，所以C正确B错误. 故选：C 8. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 已知角的终边经过点，且，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 【答案】AB 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义判断A；根据扇形面积公式判断B；根据三角函数的定义判断C；求出的范围即可判断D. 【详解】对于A，由，即与终边相同，为第二象限角，故A正确； 对于B，设扇形的半径为r，则，解得， 则该扇形面积为，故B正确； 对于C，角的终边经过点， 则，解得，故C错误； 对于D，角为锐角，则，所以， 所以角为锐角或者直角或者钝角，故D错误. 故选：AB 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 11. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 已知函数的定义域是，则的定义域是 B. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 C. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是 D. 若函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法判断选项A；利用分离参数，结合函数的单调性判断选项B；利用函数的值域为R，所以可以取遍一切正数，列出不等式组，判断选项C；判断函数的对称性，结合函数奇偶性的性质判断选项D. 【详解】解：对于选项A，由题意可知，， 所以， 所以的定义域是，选项A正确； 对于选项B，因为当时，不等式恒成立， 所以， 因为，所以单调递减， 所以，所以，所以，选项B错误； 对于选项C，函数的值域为R， 所以可以取遍一切正数， 符合， 且， 所以，选项C正确； 对于选项D，设， 则， 所以函数是奇函数，图象关于原点对称， 所以函数的图象关于对称， 因为函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m， 所以，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 若，，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据和讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】，，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为：. 14. 若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个正数，都有，则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，再根据可得在上为单调递减函数，再结合条件可得即可求得结果. 【详解】设，； 由题意可知，则， 可得为定义在上的偶函数， 不妨设，有； 必有，即； 可得在上为单调递减函数， 又，所以； 不等式即为，即； 则必有且， 因此不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用表达式构造函数并判断出在上为单调递减函数，再结合奇偶性解不等式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各题. （1）化简求值：； （2）已知为第三象限角，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数以及指数的运算，特殊角的三角函数值即可计算得解； （2）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为为第三象限角，， 所以，则， 可得 16. 已知，． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若，解不等式． 【答案】（1）； （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集以及根与系数关系即可求；. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【小问1详解】 由题意不等式的解集为或， 所以，解得. 【小问2详解】 由题意，可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 18. 已知函数的图象经过两点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】(1)将两点的坐标代入解析式，可得关于的方程组，解出的值，即可求出的解析式； (2)利用函数的单调性定义进行证明即可； (3)先求出的值域，将对任意，总存在，使得成立转化为任意，在上的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 函数的图象经过两点， ， ，解得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 由（2）可得在上单调递增， 所以的值域为． 因为对使得成立， 所以只需在上恒成立． 当时，， 设，则在上是减函数， 所以，所以． 当时，， 设，则在上为减函数， 所以， 所以，此不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 【答案】（1）函数为有界函数，理由：解法一：若是奇函数，则， 则， 所以恒成立， 所以是奇函数时，， 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． 解法二：因为为奇函数，可得，则有，解得． 此时， 由，知，于是，则， 故时，， 所以，函数为有界函数． （2）． 【解析】 【分析】（1）解法一：由是奇函数，得，然后化简可求出的值，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数，解法二：由为奇函数，可得，解得，对函数变形后，利用指数的函数单调性判断函数为有界函数； （2）由题意可得在上恒成立，则恒成立，转化为不等式组在上恒成立，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数在上是以为上界的函数，则有在上恒成立． 故恒成立，即恒成立， 所以，即， 由题可知，不等式组在上恒成立． 因为在上单调递减，其最大值为； 又在上单调递减，其最小值为． 所以，即， 故的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本小题通过设置函数奇偶性与新信息探索性问题相关的综合创新情境，主要考查函数的奇偶性，单调性等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，推理论证能力，考查数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养，解题关键是对有界函数定义的正确理解，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省江门市鹤山一中高一（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若幂函数在上是单调递增的，则（ ） A. B. C. 在上是单调递增函数 D. 是偶函数 4. 用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 已知角的终边经过点，且，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 下列几个说法，其中正确的有（ ） A. 已知函数的定义域是，则的定义域是 B. 当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 C. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是 D. 若函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 若，，，则的取值范围是______ 14. 若是定义在上的奇函数，且.若对任意的两个正数，都有，则的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各题. （1）化简求值：； （2）已知为第三象限角，，求的值. 16. 已知，． （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）若，解不等式． 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数的图象经过两点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）已知函数，函数且．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 定义在上的函数，若对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数． （1）若是奇函数，判断函数是否为有界函数，并说明理由； （2）若在上是以为上界的函数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $