8.2 特殊的平行四边形（1）----矩形（1）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

执教： 张二平 苏科版八年级数学下册 8.2 特殊的平行四边形（1） ----矩形（1） 学习目标 1、理解矩形的概念，掌握矩形的性质； 2、引导学生经历由平行四边形到矩形的探索过程，发展学生合情推理能力有条理地表达的能力； 3、在对矩形特殊性质探索过程中，引导学生理解特殊与一般的关系。 学习重点：探索矩形的性质及其性质的简单运用 学习难点：矩形与平行四边形之间的内在联系与区别 一、情境引入： 问题： 平行四边形 与矩形关系如何？ 当停车场的闸门由抬起变为平放状态时， 图中的平行四边形变成了我们熟悉的长方形。 如图有一个角是直角的平行四边形叫作矩形(rectangle)， 矩形也叫长方形。 什么是矩形？ 你认为矩形 有哪些性质呢？ 3 二、新知探索： 问题： 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外， 还具有哪些特殊性质? 如图，矩形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， 由平行四边形的性质，可得矩形ABCD的其他三个角都是90°。 连接AC,DB. 由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， 可得△ABC≌△DCB，所以 AC=DB. 4 讨论：矩形的对称性 矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴? 矩形是特殊的平行四边形，所以它是中心对称图形。 矩形的对称轴有两条，是通过每组对边中点的直线。 5 小结： 1、矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角，对角线相等。 几何语言：如图，如果四边形ABCD是矩形， 那么∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=BD。 2、矩形的对称性： 矩形是特殊的平行四边形， 它既是中心对称图形，矩形的对角线交点是对称中心； 又是轴对称图形，有2条对称轴， 它们是过每组对边中点的直线。 6 试一试： 1、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （填代号）。 　　①对边平行且相等； ②对角线互相平分； ③对角相等； 　　④对角线相等；　　 ⑤4个角都是90°； ⑥轴对称图形 2、矩形是轴对称图形，对称轴是 ； 　　又是中心对称图形，对称中心是 。 ④⑤⑥ 过每组对边中点的直线 矩形的对角线交点 3、如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O, 则图中等腰三角形的个数是 (　 　) A.8 B.6 C.4 D.2 C 7 二、例题讲解 例1、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点0， 且AB= AC。求证：△AOB是等边三角形。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD(矩形的性质定理)， ∴A0= AC,BO= BD， ∵AB= AC，∴A0=BO=AB， ∴△AOB是等边三角形。 例2、四边形ABCD为矩形,P为平面内任意一点，当点P在（1）矩形AD边上（如图1），（2）矩形内部（如图2），（3）矩形外部（如图3）， 试探究PA,PB,PC,PD之间有何数量关系，并说明理由。 解：它们之间的数量关系是PA2+PC2=PB2+PD2. 当点P在矩形AD边上（如图1） 设AB=CD=a,AP=b,DP=c,∠A=∠D=90°, ∵PA2+PC2=PA2+PD2+CD2= b2+c2+a2 PB2+PD2=PA2+AB2+PD2= b2+a2+c2 ∴PA2+PC2=PB2+PD2. 当点P在矩形内部（如图2） 过点P作AD的垂线交AD，BC分别于E，F。 ∴PE⊥AD，PF⊥BC。 设AE=BF=a,DE=FC=b,PE=c,PF=d. ∵PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2 =a2+c2+d2+c2 PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2 =a2+d2+b2+c2 ∴PA2+PC2=PB2+PD2. 当点P在矩形外部（如图3） 过点P作AD的垂线交AD，BC分别于E，F。 ∴PE⊥AD，PF⊥BC。 设AE=BF=a,DE=FC=b,PE=c,PF=d. ∵PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2 =a2+c2+d2+c2 PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2 =a2+d2+b2+c2 ∴PA2+PC2=PB2+PD2. 9 1、综合实践课上，萌萌画出△ABD,利用尺规作图找一点C， 使得四边ABCD为平行四边形.①~③是其作图过程.萌萌的作法中， 可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 （ ） A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 三、基础强化： C 2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD=4cm， 图中阴影部分的面积为6cm2，则对角线AC的长为 cm.  5 3、如图,在矩形ABCD中,已知AB=5,BC=12,P是BC 边上一动点(点P不与点B,C重合),连接AP,作点B 关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 。 4、如图，在矩形纸片ABCD中,AD=8.AB=10. M为BC上一点.连接DM，将△CDM沿DM翻至△EDM,EM 交AB 于点G.ED 交AB 于点, 当BG=EG时,CM的长是 。 8 8 a+2 8-a 10-a a a (a+2)2=82+(10-a)2 DF=10-(8-a)=a+2 a= 11 5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若AE平分∠BAD交BC于点E，且BE=BO，连接OE，求∠BOE的度数. 四、拓展提高： 已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD上一点， 连接BE,CE,OE,且BE=CE. (1)如图1,求证：△BEO≌△CEO； (2)如图2,设BE与AC相交于点F,CE与BD相交于点H,过点D作AC的平行线； 交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出 图2中与△AEF的面积相等的四个三角形(△AEF除外). (1)证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴ 0A=00=AC,0B=0D=BD,AC=BD. ∴OB=0C=0A=0D, ∵BE=CE，OE=OE ∴ △BEO≌△CEO(SSS); 13 (2)解：△DHE， △CHO,△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等。 理由：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠CDA=90°，AB//CD, AB=DC，BE=CE ∴Rt△BAE≌Rt△CDE(HL), ∠AEB=∠DEC, AE= DE，0A=OD ∴∠OEA=∠OED=90°∠BAD=∠OED=90°, ∠ADC=∠AEO=90° ∴AB//OE, DC//OE, ∴ △AEO的面积=△BEO的面积， △DEO的面积=△COE的面积， ∴△AEO的面积-△EFO的面积=△BEO的面积-△EFO的面积， ∴ △AEF的面积=△CHO的面积. 同理可得，△的面积=△BFO的面积. 易证△AEF≌△DEH, △AEF≌Rt△DEG. ∴△DHE， △CHO,△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等。 1、矩形的性质定理： 矩形的四个角都是直角，对角线相等。 几何语言：如图，如果四边形ABCD是矩形， 那么∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=BD。 2、矩形的对称性： 矩形是特殊的平行四边形， 它既是中心对称图形，矩形的对角线交点是对称中心； 又是轴对称图形，有2条对称轴， 它们是过每组对边中点的直线。 五、总结反思： 15 1、如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=10,点P在AD上， 点Q在BC上，且AP=CQ，连接CP,QD， 则PC+QD的最小值为 。 2、如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是等边三角形, F是GD的中点,P是矩形ABCD内部一点, 且△PBC是以BC为的等腰三角形，连接PD,CF， 则△PCD面积与△FCD面积的比值是 。 六、达标检测： 26 2 16 3、如图,线段AB的长为12,点D在AB上,△ACD是边长为5的等边三角形,过点D作与CD垂直的射线DP,过DP上一动点G(不与.点D重合)作矩形CDGH,记矩形CDGH的对角线交点为0,连接0B, 则线段B0的最小值为 。 6 4、如图,P是矩形ABCD的边AD上的一个动点, 过点P作PE⟂AC于E，AC,PF⟂BD于F, 若AB=6,BC=8,求PE+PF. 解:连接OP，矩形ABCD中， ∴∠ABC=90°, AC=BD，20A=AC,20D=BD. ∴0A=OD，∵AB=6,BC=8. ∴S矩形ABCD=AB.BC=48. AC2=AB2+BC2=100,AC=10∴0A=0D=5. S矩形ABCD=4S△AOD=48, ∴S△AOD=12. ∵S△AOD=S△AOP+S△DOP （PE+PF)×5=12 , ∴PE+PF=4.8. $