精品解析：广西壮族自治区崇左市2026届高三上学期1月期末数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 4i 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第80百分位数比中位数多（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，则的最大值为（ ） A. 13 B. 8 C. 5 D. 10 6. 已知定义在上的函数满足，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，：，：，则（ ） A. 与的实轴长相等 B. 与的焦点相同 C. 与的离心率相等 D. 与的焦距相等 10. 在正三棱锥中，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 当时，二面角的正切值为2 D. 当时，正三棱锥外接球的表面积为 11. 已知函数（），则（ ） A. B. 的零点个数为1 C. 在上存在零点 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，，分别为线段，的中点，则在该正方体的12条棱中，与平行的棱共有______条. 13. 若函数的图象关于点（）对称，则______. 14. 某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小张参加射击训练，他每次射击的命中率为，共射击4次，这4次射击命中的次数为，设他每次射击是否命中相互独立. 0 1 2 3 4 0 1 2 4 8 （1）求的概率； （2）求的方差； （3）若命中次数与其对应的积分如下表所示，求的均值. 16. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）证明：仅有两个极值点. 18. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面. （2）设，三棱锥的体积为. （i）求的单调区间； （ii）当取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明：的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的虚部为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 4i 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的除法化简复数，即可得. 【详解】，即虚部为4. 故选：B 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据直线与直线的垂直列等式即可． 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故选：C． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出各个集合，再利用集合并集与补集的混合运算求解即可. 【详解】令，解得，则， 可得， 因为，所以，故B正确. 故选：B 4. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第80百分位数比中位数多（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出该组数据的第80百分位数与中位数，比较即可. 【详解】将数据从小到大排列：2，2，3，4，4，5，5，6，8. 中位数为4. 因为，所以第80百分位数为排序后第8个数，为6. 所以这组数据的第80百分位数比中位数多. 故选：C. 5. 设向量，，则的最大值为（ ） A. 13 B. 8 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积坐标表示结合三角恒等变换即可求出答案. 【详解】 ，其中， 当时，取得最大值8. 故选：B. 6. 已知定义在上的函数满足，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到函数的周期，结合周期函数求值即可. 【详解】由得，， 所以， 所以，因此函数的周期为6. 所以. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用余弦定理及已知得，进而有，再应用基本不等式和三角形面积公式求面积的最大值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为. 故选：A 8. 已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，：，：，则（ ） A. 与的实轴长相等 B. 与的焦点相同 C. 与的离心率相等 D. 与的焦距相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各双曲线方程写出对应双曲线的参数，进而依次判断各项的正误. 【详解】对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为，实轴长为，焦点为，离心率为，焦距为， 所以与的实轴长、离心率相等，与的焦点不同，与的焦距相等. 故选：ACD 10. 在正三棱锥中，，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 当时，二面角的正切值为2 D. 当时，正三棱锥外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】设点在底面的射影为点，连接AH，PH，进而得，结合求线段长度的范围判断A、B，取AB的中点，连接CN，PN，利用二面角的定义确定其平面角，求出相关线段长度，结合直观想象及球体的表面积公式判断C、D. 【详解】如下图，设点在底面的射影为点，则点为正三角形ABC的中心，连接AH，PH， 则，，A错误，B正确， 取AB的中点，连接CN，PN，则，， 所以是二面角的平面角，， 当时，，则，C正确. 设正三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线PH上， 当时，，则，解得， 所以球的表面积为，D错误. 故选：BC 11. 已知函数（），则（ ） A. B. 的零点个数为1 C. 在上存在零点 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】将自变量代入及对数的运算性质判断A，利用导数研究函数的零点和区间单调性判断B、C、D. 【详解】A：由，错， B：令，则， 所以，则，且， 令，且，所以与的零点相同， 所以， 所以在上单调递增，而， 所以在上存在零点，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而，，，故在上存在一个零点， 则在上存在唯一零点，即在上零点个数为1，对， C：由B分析知，在上存在一个零点，对， D：由题意，令且， 所以，即在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 所以在上单调递减，对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，，分别为线段，的中点，则在该正方体的12条棱中，与平行的棱共有______条. 【答案】4 【解析】 【分析】根据中位线的性质及正方体的性质判断即可. 【详解】 因为，分别为线段，的中点，所以. 正方体中，， 所以与平行的棱共有4条. 故答案为：4. 13. 若函数的图象关于点（）对称，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由正切函数的性质，应用整体法求对称中心，结合已知求参数值. 【详解】令，则，故的对称中心为， 所以，可得时有. 故答案为： 14. 某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______. 【答案】 【解析】 【分析】将人数安排分为，两种，结合排列组合和计数原理求出. 【详解】人数安排可以是，， 若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择2人坐该车，然后再从剩余的人中选取4人坐其中一辆，共有种； 若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择4人坐该车，然后再从剩余的人中选取3人坐其中一辆，共有种； 则共有种安排方式. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小张参加射击训练，他每次射击的命中率为，共射击4次，这4次射击命中的次数为，设他每次射击是否命中相互独立. 0 1 2 3 4 0 1 2 4 8 （1）求的概率； （2）求的方差； （3）若命中次数与其对应的积分如下表所示，求的均值. 【答案】（1）； （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，应用二项分布的概率求法求概率； （2）由二项分布的方差公式求方差； （3）由二项分布的概率公式求出对应积分的概率，再由期望公式求的均值. 【小问1详解】 由题设，则； 【小问2详解】 由（1）知，； 【小问3详解】 由（1），， ， ， ， ， 所以. 16. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 【解析】 【分析】(1)由 计算公比； (2)根据等差中项性质计算； (3)由是以为首项，为公比的等比数列计算，再计算出的表达式，通过比较证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以． 又，所以． 【小问2详解】 因为，，成等差数列，所以， 所以． 因为，，所以，解得． 【小问3详解】 略 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）证明：仅有两个极值点. 【答案】（1） 为奇函数，理由如下： 由题设的定义域为R，且， 所以为奇函数； （2）； （3） 由（2），令，可得，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以仅有两个极值点，分别为，得证. 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判断证明即可； （2）求导得，再计算，，最后写出切线方程； （3）令，求出，最后分析导函数正负和单调性即可得到极值点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，则，而， 所以曲线在点处的切线方程，即； 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面. （2）设，三棱锥的体积为. （i）求的单调区间； （ii）当取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，且，面， 所以面， 因为面，所以平面平面. （2）（i）单调递增区间为，单调递减区间为（ii） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，说明面面垂直即可； （2）（i）根据三棱锥的体积公式，求出体积表达式，进而求出函数单调区间，再根据单调区间判断函数最大值，进而求出几何体的棱长；（ii）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面法向量，根据线面角的向量方法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由可知，当时，， 因为，所以， 可知， 因为，所以， 可知， 则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （ii）由（i）可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 即函数在时取得极大值，也是最大值， 则， 以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 设面的法向量为， 可知，即， 令，解得，可得面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明：的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 【答案】（1） （2）证明：（i）设，，，则， 由题意知，，， 经过， 两点，且这两个点的纵坐标相同， 由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标． 又 的焦点均在轴上，在轴上，即． 设的长半轴长为，则． 设的左焦点为，则， 则的周长． ，且， ，故的周长为定值． （ⅱ）设的焦距为，离心率为 ，则． 由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点， 则． 由在轴正半轴上可知，则， ． 设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程， 并结合，得， 整理得，代入与，化简得，解得． 点在第一象限且为的右顶点，，即． 由知，，则． 要证，只需证，即证，即证， 的离心率大于，得证． 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线方程，结合已知几何性质求出点 ，再利用两点间距离公式计算求解； （2）利用抛物线的焦点弦公式结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而证明的周长为定值；利用椭圆的离心率公式结合点在上且位于第一象限构造不等式，进而证明结论． 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的方程为，故，准线的方程为 ，则， ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $