衡阳市第八中学2026届高三高考适应性考试（一）数学试卷

《2026届衡阳市八中高三高考适应性考试数学试卷（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B 义 ABD ACD 题号 11 答案 BC 1.D 【分析】化简集合N,结合交集的定义求结论 【详解】因为M-{1,0,12,3},又N={x1<k≤2}，所以MnN={2}, 故选：D. 2.C 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，可解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题p:a>0,a+>2,的否定为：3a>0,a+≤2 故选：C 3.B 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果， 【详解】根据题意可得命中次数X服从二项分布，即X~B(6,P): 即可得均值为E(X)=6p=2.4,解得p=0.4: 所以X的方差为D(X)=6×0.4×(（1-0.4)=1.44. 故选：B 4.C 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解 【详解】1与4相邻，共有A?=2种排法， 两个2之间插入1个数， 共有A=2种排法，再把组合好的数全排列，共有A=6种排法， 则总共有2×2×6=24种密码. 故选：C 5.A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可， 【详解】当=0时，不等式-5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R,不符合题意： 答案第1页，共13页 当m≠0，由不等式的解集为R, 则m<0,且方程mx2-5x+m=0时，△=(-5)2-42≤0， 解得ns 2 即m的取值范围为(-o, 故选：A. 6.B 【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型f(x)=0g。x-1计算得出a=21再应用等比数列的求和公式计算可 得 【详解】：f(x)+f(y)=f(y)-1,可令f(x)=log。x-1,又f(2)=0,则l0g2-1=0, ..a=2,..f(x)=log,x-1.f(a )log,a-1=n,..a =2, 2-1-2）-22-4<202522<2029 ∴Sn 1-2 20=1024,21=2048,.(+2)mx=10,nx=8. 故选：B. 7.C 【分析】先根据指数式和对数式互换得出log。=3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由b3=m可得：log6m=3. log (ab)=log,a+log,b 10g a log,b logam log m 23 6 故选：C 8.A PF =3c+a 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 (IPEl=%-a=2A' 根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在 双曲线上构造齐次方程计算即可. 样解)根据题意可设风0，双曲线的半焦距为c,P5,),则p二 答案第2页，共13页 过耳作x轴的垂线1，过P作1的垂线，垂足为A,显然直线AF为抛物线的准线， 则PA=PF, PR-PF,2a PF =3c+a 由双曲线的定义及已知条件可知 P+Pr引e'则 PR=3c-a=PA' 由勾股定理可知AF=y好=PF-PA=12ac, 易知=4c玉，=3a,即5公=9a12ac a bi-a 整理得2c2-3ac-2d=0=(2c+a)(c-2a,.c=2a,即离心率为2. 故选： 9.ABD 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A,利用线面平行的判定定理即可判断B,利用平 面的性质判断C,作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A,如图所示， D A B A B 取4C的中点0，莲接OE,0C,因为0E/BC,1BC,oi}AC,CF-BC, 2 所以四边形OEFC为平行四边形，所以EF/1OC, 故∠COC,或其补角即为异面直线EF与AC所成角， 设正方体ABCD-ABCD的棱长为a, 在Rta0CC中，0C,=5。 )&CC=a,Oc=a，所以sn∠COG=9 CC6 OC 3 答案第3页，共13页 即异面直线EF与AC所成角的正弦值为 3 ,故A正确： 对于B,由选项A可知，EF/1OC,OCc平面AACC,EF丈平面AACC, 所以EF∥平面AACC,故B正确： 对于C,如图所示， D A B 连接EH,因为AC/EH,ACI/AC,所以AC/EH,所以A,C,E,H四点共面， 所以直线AE与直线CH共面，故C错误： 对于D,如图所示， D B 夕 取AB的中点K,连接XE,KC,连接C,E,CG, 因为KE/1BB/1CC,E=CC,所以四边形CEKC为平行四边形， 所以CE/CK,CE=CK,同理AG//CK,AG=CK,所以C,E/GA,CE=GA, 所以四边形CBAG为平行四边形， 则过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-ABCD所得的截面为四边形C,EAG, 又AE=AG la"+ 5 2 -a, 所以四边形CEAG为菱形，故D正确， 故选：ABD 10.ACD 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质计算判断AD;利用正态密度函数的意义、性质判断BC作答. 【详解】对于A,设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X,则X~N(500,52),其中u=500,o=5, 答案第4页，共13页 则P(X<485=P(X<4-3o)=1-0,97-0.015=0.15%,A正确： 2 对于B,随机变量x服从正态密度函数p(x)= 1-x-1000y e20,有u=1000,o=10,因此生产线乙的食盐质量 10w2 x~N1000,102),B错误： 对于C,因为--100≤0，当且仅当x=100时取等号，因此当x=100时，0=10/2元 1 ,C正确： 200 对于D,P(X>515)=P(x>u+30)=1-097=0.0015=015%,说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低， 2 则随机抽取两包质量均大于51g,说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确. 故选：ACD 11.BC 【分析】根据图象可得出f(x)<0以及f(x)>0的解集，根据图象的上升下降可得f'(x)>0以及'(x)<0的解集. 由此可判断A、D项；由图象分析可知a<0,1和3是函数f(x)的两个极值点，所以有f'()=0以及∫'(3)=0，代 入可判断B项，联立即可得到a,b,c的关系，代入导函数整理可得到f'(x)=3a(x-2)-3a,即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数f(x)在(1,3)上单调递增，所以f'(x)>0的解集是(1,3)，故A项错误： 对于B项，因为f(x)=3ax2+2bx+c.又由图象知，函数f(x)在x=1处取得极小值， 所以有f'(1)=3a+2b+c=0,故B项正确： 对于C项，由图象知，当x∈(1,3)时，∫(x)单调递增，则f"(x)>0;当x∈(-o,1)时，f(x)单调递减，则f'(x)<0; 当x∈(3，+o)时，f(x)单调递减，则'(x)<0.所以'(x)<0的解集为(-o,1)U(3,+m),f'(x)>0的解集为(1,3)： 又f'(x)=3ax2+2br+c为二次函数，根据二次函数的图象可知a<0.因为函数f(x)在x=1以及x=3处取得极值， 所以有 8-80。商 b=-6a c=9a 所以f'(x)=3m2+2bx+c=3ax2-12m+9a=3aK-2)-3a, 因为a<0,所以x=2时，f(x)取得最大值，故C项正确： 对于D项，由f(x)f(x)>0可得 f(x)>0f(x)<0 间0或)<0由图象知 f(x)>0 当x∈(-o,-1)U(2,5)时，f(x)>0.又f'(x)>0的解集为(1,3).所以由 可得x∈(2,3)： f'(x)>0 答案第5页，共13页 由图象知，当x∈(-1,2)U(5,+o)时，f(x)<0.又f"(x)<0的解集为(-o,1)U(3,+w). f(x)<0 所以由f()< 可得x∈(-1,1)U(5,+∞).所以，f(x)f(x)>0的解集是(-1,1)U(2,3)U(5,+o),故D项错误. 故选：BC 12.0 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数f(x)= log,x,x>0 3,x≤0'且1>0， 所以f(1)=1og21=0, 故答案为：0 13.5 【分析】利用等差中项的性质建立方程，结合等比数列的性质化简方程，求解参数即可 【详解】因为5a,4的等差中项为3a2,所以54+4=6a4, 则5a+4q=6aq,由等比数列性质得a≠0， 得到q2-6q+5=0,解得q=5或=1， 由于an为递增数列，故q=5符合题意. 故答案为：5 4c的 【分折】构造函数)-心)+言，根据已知判断函数()的奇偶性和单调性，再将目标不等式转化为 g(1-a)2g(d,利用单调性和奇偶性可解. 【详解】记g)-=f+言，则g69=了9+ 白(t名+e小呵得音0+ 所以g(x)为偶函数 记M)-。,则=2 因为当x<2时，h'()<0,当x>2时，(x)>0 所以，当x=2时，)有最小值)=启 义因为在Q+网上了)>是，即了)吉>0 答案第6页，共13页 所以g)=f0)+。f吉>0 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 自/n0f@cae20可得0-a+是f网+号 即g1-a)2g(a 所0以-4小4.即a-a>,解得a号 赦答案为：m,宁 15.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据题意完成2×2列联表，根据表中数据，计算卡方值，即可求解； (2)根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可利用超几 何分布的概率公式求解 【详解】(1)由题意可得： 周平均锻炼时长 年龄 合计 少于4h 不少于4h 50以下 40 60 100 50及以上 25 75 100 合计 65 135 200 零假设：周平均锻炼时长是否与年龄无关， 由2×2列联表中的数据，可得=20040x75-25x605128, 100×100×65×135 又x2≈5.128>3.841，根据=0.05的独立性检验，我们推断假设不成立， 即周平均锻炼时长与年龄有关 (2)抽取的5人中，离平均锭燧时长少于4小时的有5x物-2人 =3认， 不少于4小时的有5x60 所以X所有可能的取值为1,2,3， x答言p小答小 C10 所以随机变量X的分布列为： 答案第7页，共13页 X 1 2 J3 3 3 1 10 5 10 随机变量X的数学期望E(x)=1x,3+2 3x19 3 10 105 16.a号 236 2 【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简计算即可： (2)利用等腰三角形的性质及勾股定理、三角形的面积公式计算即可， 【详解】(1)由正弦定理知sin Bcos A+3 sin Bsin A-sinA-sinC=0, 又C=π-（A+B),A、B、C∈(0，)， 所以sinA≠0，sin B cos A+√3 sin BsinA-sinA-sitA+月=(， 3 sin B sinA-sin A-sin A cosB=0, 所以V5sinB-cosB=1=2simB-, 、6/: 6 (2) B MNC 由AC=√7=AM,所以知△ACM为等腰三角形， 取CM中点N,连接AN,则AN⊥CM, 不妨设CM=BM=2x,则MN=NC=x,BN=3x,AN=3VEr, 由勾股定理知+6-（矿x方 即BC=4=2W-35,所以VABC的面积为S=BCAN=3 2 2 17.(1)a=2-1 0-1<mc9 【分析】(1)利用a.,S,的关系式求解即可； 答案第8页，共13页 2n-1 2n 2n-12n (2)由题意有∑b<m<∑c,利用分组求和法和裂项相消法分别求出∑b,∑C,再根据数列的单调性分别求出 1=1 =1 =1=1 即可得解。 【详解】(1)由Sa=2a-1, 当n=1时，4=S1=2a-1,所以a1=1, 当n≥2时，an=Sn-Sm1=2a-2a1,所以an=2a-1, 所以数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a4n=21 (2)由(1)得8=12=2-1. 1-2 则b=(-1yS。=(-1y(2”-1)=(-++(-2)”, 收觉0-4++，42-2】2产1年1. 1-(-2) 3 3 2n-1 6一4出随的增大而减小少 3 所411 3 2 11 (a1-1(a2-)(2-1(2-12-12-1' 11) 1 因2c随的增大而增大， 1=1 所以当n=1时 6 7 因为对任意的nEN,都有觉6<m<2c, =1 所以-1<m< 6 18.( +=1 43 (2)证明见解析 o酷 【分析】(1)利用椭圆的定义得到α，c的关系式，再根据椭圆的标准方程即可求解： 答案第9页，共13页 (2)设出点A,B的坐标，结合椭圆方程得到坐标之间的关系式，利用点差法结合斜率公式即可得证： (3)将直线OA与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到OA的表达式，结合直线AB的方程得到AB的表达式， 由三角形面积公式结合换元法可得面积的最大值， 【详解】(1)因为△AFE的周长为6，所以A+AF+耳=2a+2c=6, 后号所以a=2,c1 故b2=a2-c2=3, 所以椭圆B的标准方程为士+二=1. 43 (2)由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设A(:,片)，B(xy2)(:≠±x2), 则©年+菩-1.兰+号1 2 43 所以苦，+g,上=0，即s-)(x++4-W(%+=0, 43 4 3 得)+)。3 (x2-x)化2+x)41 因为所=+当，飞=当当 水+x2 X2-X1 所以妹=寻 2k4 又无3，所以成=1，为定值. (3)由(2)知从=-1，所以OA⊥AB, 由题可得直线OA的方程为y=x, 将y=与+上-1联立，消去y并整理得（4+3)x=12, 43 商以-写 则OA=1+k2.k=M+k2 1225M+k2 V4k2+3V4k2+3 因为怎=京所以直线出的方程为一气=-，甲y-+男+产 k 又y=点，所以直线8的方程为=之++》， 1 与女+上=1联立， 43 消去芳整理得3+到-4+-120 答案第10页，共13页2026届衡阳市八中高三年级高考适应性考试（一） 数学试卷 时量：120分钟 命题人：彭韬 审题人：高三数学组 一、单选题 1.若集合M={∈Z2<x≤3}，N={<s2},则MnN=() A.{-1,0,2} B.{0,1,2} C.{0,2 D.{2} 2.已知命题p:a>0,a+>2,则命题p的否定是(). a 1 1 A.3a>0,a+二>2 B.a≤0，a+>2 a a C.3a>0,a+1s2 D.as0,a+1s2 a 3.甲同学每次投篮命中的概率为P,在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为() A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.96 4.小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数 字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为() A.48 B.32 C.24 D.16 5.若关于x的不等式x2-5x+m≤0的解集为R,则实数m的取值范围是() (引 B.(m,3 c.o 6.定义在(0，+o)的增函数f(x)满足：f(x)+f(y)=f(y)-1,且f(2)=0,f(a)=n(n∈N).已知数列{a}的 前n项和为Sn,则使得S,<2025成立的n的最大值是() A.7 B.8 C.9 D.10 7.若log.m=2,b3=m,则logm(ab)=(） 1 A.6 B C.6 D.5 6 ⑧，双曲线a>0.6>0)的左、石焦点分别为不，乃，以右焦点马为焦点的抛物线y2m(p>0与双曲线 交于第一象限的点P,若P+P=3耳引，则双曲线的离心率=() A.2 B.5 c.V2+1 D.5+1 2 2 二、多选题 9.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,B,C的中点，则下列结论 正确的是() D C B A.异面直线F与AC所成角的正弦值为V6 B.EF∥平面A4CC C.直线AE与CH是异面直线 D.过A,E,G三点的平面截正方体ABCD-AB,CD所得的截面形状为菱形 10.假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布 N(500,52)(单位：g),生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg,随机变量x服从正态密度函数 (x)=1 (x-1000)2 e 2o一，其中x∈R,则()附：随机变量5-N(u,o2),则 10W2元 P(l-6<5<u+o)=0.683,P(u-2o<5<4+2o)=0.954,P(-3o<5<+3o)=0.997 A.正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为015% B.生产线乙的食盐质量x~N(1000,1002) 1 C.曲线p(x)的峰值为 10W2π D.生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g,于是判断出该生产线出现异常，则 该判断是合理的， 11.函数f(x)=a+bx2+cx+d(a≠0)的图象如图所示，设f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列结论正确的是() 2 A.f'(x)>0的解集是(2,5) B.3a+2b+c=0 C.x=2时，f'(x)取得最大值 D.f(x)f'(x)>0的解集是(-o,-1U1,2)U(3,5) 三、填空题 12.已知函数f(x)= flog,x,x>0 3,x≤0'则f)= 13.已知等比数列{a}为递增数列，且54，a4的等差中项为3a,,则公比9为 4.定义在R上的可导函数f)满足f)()++e0,且在0+)上有f)>。成立若实数a满足 f1-a)-f(a)+ea1-ae-aea≥0，则a的取值范围是 四、解答题 15.某兴趣小组为了解某市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表. 周平均锻炼时长 年龄 合计 少于4h 不少于4h 50以下 100 50及以上 75 100 合计 65 200 (1)补全列联表，试根据=0.05的X独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关： (2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4h,用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人 中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4h的人数为X,求X的分布列和数学期望， a 0.1 0.05 0.01 0.005 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 附：尤= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. 16.已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，且bcosA+V3 bsinA-a-c=0. (1)求B; (2)若b=√万，M是BC中点，AM=√万，求VABC的面积. 17.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足S,=2a.-1. (1)求{a}的通项公式： (②设久=(-少8，(Qn一习若对任意的neN,都有立<m<立6，求实数m的取值范国. 2n-1 1=1 18已如躺国8若+茶-a>b~9的左、有焦点分别为只，月，离心率为片，点B在储国g上，△A5的园 长为6，C为AB的中点，0为坐标原点，直线O1,0C,AB的斜率分别为k:,k,且方了· .k4 (1)求椭圆E的标准方程： (2)证明：欣，为定值： (3)求△OAB面积的最大值. 19.已知函数fy= 2-ac'tx. (I)讨论f(x)的极值点个数： (2)若f(x)有两个极值点x,x2,直线y=c+b过点(，f(5),(:2,f(x2) (i)证明：k>fn （2 1 (ii)证明： b<z-a