精品解析：四川省成都市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

高一期末试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与角终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数为奇函数”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 随着中国算力技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长．现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段指令需要进行次运算，那么处理这段指令所需时间约为（参考数据：，）（ ） A. 0.1099秒 B. 1.099秒 C. 10.99秒 D. 109.9秒 8. 为上的奇函数，，，有成立，令，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是偶函数 C. 函数的单调增区间为 D. 函数的值域为 10. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 11. 设函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. 函数的值域为 C. D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 14. 已知，当且仅当时取等号．若实数a，b，c满足条件：，则函数在区间上有两个不同的零点时，实数c的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知． （1）化简，并写出的单调递减区间； （2）若，求在区间上的值域． 17. 某商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示： x（万元） 2 3 5 y（万元） 1 2 3 （1）根据表中数据，你认为函数模型与哪个更合理？请说明理由，求出该函数模型的解析式并写出该函数恒过的定点； （2）若要使该店的纯利润不低于5万元，根据（1）中所选函数模型计算销售收入至少要达到多少万元． 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断并用定义法证明在R上的单调性； （3）若，使不等式成立，求实数k的取值范围． 19. 对于函数和，若在定义域范围内有，则称是和的复合函数． （1）若，，，，求函数的值域； （2）若，，且有两个不同的零点，求实数k的取值范围； （3）若，，，已知，，，，对于上的任意值，，…，，记，求M的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与角终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由终边相同的角运算求解即可. 【详解】与角终边相同的角为， 令，解得， 且，则的最小值为1， 所以与角终边相同的最小正角是，即为. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数定义域化简集合，再利用并集的定义求解即可. 【详解】依题意，，而，所以. 故选：D 3. 已知，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明A、B、D，由指数函数的单调性判断C. 【详解】若，则，，A、B错， 由在定义域上单调递增，且，则，C对， 若，则，D错. 故选：C 4. “”是“函数为奇函数”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】时，是奇函数；反之，若为奇函数，则； 即“”是“函数为奇函数”的充分非必要条件，故选. 考点：充要条件，函数的奇偶性. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性的定义确定函数的奇偶性，结合恒成立及排除法确定答案. 【详解】由解析式知，函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D. 故选：B 6. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知及同角三角函数的关系求正切值. 【详解】由，且是第二象限角，则，故. 故选：C 7. 随着中国算力技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长．现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段指令需要进行次运算，那么处理这段指令所需时间约为（参考数据：，）（ ） A. 0.1099秒 B. 1.099秒 C. 10.99秒 D. 109.9秒 【答案】B 【解析】 【分析】设所需时间为秒，则然后两边取对数化简计算即可 【详解】设所需时间为秒，则， 所以两边取对数得， 所以， 所以， 所以秒. 故选：B. 8. 为上的奇函数，，，有成立，令，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出的单调性，再由奇函数得出上的单调性，由指对幂比较自变量的大小，进而比较函数值的大小即可. 【详解】∵，，成立， ∴在上单调递增， 又∵是R上的奇函数， ∴在R上单调递增， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数是偶函数 C. 函数的单调增区间为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数所过的点求幂函数的解析式，进而判断其定义域、值域、奇偶性、单调性，即可得. 【详解】由题设，令，且，则， 所以的定义域为且单调递增，值域为，是非奇非偶函数. 所以正确的有ACD，而B错误. 故选：ACD 10. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正余弦及正切函数的周期性、区间单调性分析判断各项的正误. 【详解】由的最小正周期为，A不符， 由的最小正周期为，而在上单调递增， 所以在上单调递减，则在上单调递增，B符合， 由的最小正周期为，在上单调递增，C符合， 由的最小正周期为，D不符. 故选：BC 11. 设函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. 函数的值域为 C. D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法计算得可判断A；利用赋值计算可求得，进而求得的值域判断B；求得判断C；利用复合函数的单调性可判断函数在上的单调性. 【详解】对于A：令，，则， 即，解得，故A正确； 对于B：取得，，∴， 取，，则，∴， 令，则，∴，即， ∴，， ∵，∴在上单调递减并大于零， ∵是偶函数，∴函数的值域为，故B正确； 对于C：∵，∴，故C错误； 对于D：∵的定义域为， 因为在上单调递增，在定义域上单调递增，故在上单调递减，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】应用指数、对数的运算性质化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 13. 若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先解不等式，进而得，作出函数的图象，进而求解. 【详解】由，所以，所以或， 所以， 作出函数的图象： 由图可知：， 故答案为：. 14. 已知，当且仅当时取等号．若实数a，b，c满足条件：，则函数在区间上有两个不同的零点时，实数c的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及基本不等式得到、，问题化为时，函数有两个不同的零点，列不等式求参数范围. 【详解】由基本不等式得， 即，当且仅当，即时等号成立， 又，令，得， 当且仅当，即时取等号， 函数在区间上有两个不同的零点， 即时，函数有两个不同的零点， ∴，可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合补集的性质求，再计算交集即可； (2)由 得出，根据范围求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 所以或， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴ 解得，故实数m的取值范围为． 16. 已知． （1）化简，并写出的单调递减区间； （2）若，求在区间上的值域． 【答案】（1），单调递减区间为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，再结合余弦函数的性质确定递减区间； （2）由已知得，再由余弦型函数的性质求值域. 【小问1详解】 ，显然， ∴，，则， ∴的单调递减区间为，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∵，即， ∴，故的值域为. 17. 某商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2万元时，其纯利润y（单位：万元）随销售收入x（单位：万元）的变化情况如下表所示： x（万元） 2 3 5 y（万元） 1 2 3 （1）根据表中数据，你认为函数模型与哪个更合理？请说明理由，求出该函数模型的解析式并写出该函数恒过的定点； （2）若要使该店的纯利润不低于5万元，根据（1）中所选函数模型计算销售收入至少要达到多少万元． 【答案】（1）更合理，理由如下，恒过定点； 对于， 将、代入得，可得， 所以，显然时，满足， 对于， 将、代入得，可得， 所以，显然时，不满足， 故函数模型更合理，且函数恒过定点； （2）17万元. 【解析】 【分析】（1）将表格中的两个数据代入求对应模型的参数值，再验证第三个数据确定模型，进而得到定点坐标； （2）利用对数函数的性质解不等式求自变量范围，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵要使该店的纯利润不低于5万元， ∴， ∴，则， ∴，故销售收入至少要达到17万元. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断并用定义法证明在R上的单调性； （3）若，使不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） ∵，∴定义域为R，都有， ∵，∴， ∴函数是奇函数； （2） ∵，则在R上单调递增， 现证明如下：取，且， ， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 故在R上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义法判断函数的奇偶性； （2）直接用定义证明函数是单调递增的； （3）根据是奇函数和单调函数可将，使成立，转化为在上有解，令，可求出取值范围，分和两种情况讨论，令，求出其取值范围即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， 由（1）知为奇函数，∴， 由（2）知在R上单调递增，∴， 又∵使成立， 即使成立，令， ∵，∴，∴， 即使成立， ①当时，，不等式不成立； ②当，即时，有解， 令，∴， 当时，，； 当时， ，， 综上，的最小值为，∴， 故实数k的取值范围为． 19. 对于函数和，若在定义域范围内有，则称是和的复合函数． （1）若，，，，求函数的值域； （2）若，，且有两个不同的零点，求实数k的取值范围； （3）若，，，已知，，，，对于上的任意值，，…，，记，求M的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用换元法，结合二次函数的性质求区间值域； （2）令，，问题化为方程，仅有一个根或两个相等的实根，法一：应用二次函数的性质求参数范围，法二：参变分离并结合的单调性求参数范围； （3）根据已知及对数函数、二次函数的性质得的单调性，设，从而得到，即可得. 【小问1详解】 ∵，，， ∴，令，， 令，，则函数的值域为的值域， ∵，故的值域为； 【小问2详解】 ∵，，且有两个不同的零点， ∵当即时，，此时有一个零点， ∴当即时，有且仅有一个零点， 令，，方程，仅有一个根或两个相等的实根， 法一：①当时，，方程组无解， ②当时，，则， 法二：，令， ∵在上单调递减，则， ∴，故实数k的取值范围为； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴， 若函数向左平移个单位，则函数变为偶函数， ∴的图象关于对称， 当时，在上单调递增，在定义域上单调递增， 由复合函数同增异减知，在上单调递增，则在上单调递减， 设，，1，2，3，…，， 则，，且， ∴ ， 当且仅当或时， 有最大值， ∴M的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $