2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学期末 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|-3<x<2},B={x|x²≤4},,则A∩B= A.{x|-2≤x<2} B.{x|0<x<2} C.{x|-2<x<2} D.{x|-2≤x≤2} 2.已知向量=(1,-3),=(6,m),且⊥,则m= A.-18 B.-2 C.2 D.18 3.已知函数. ,则曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 A. y=1 B. y=x+1 C. y=-x+1 D. y=2x+1 4.有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有 A.120种 B.72种 C.36种 D.180种 5.已知 F₁，F₂ 是椭圆C的两个焦点，满足 的点M 总在椭圆C 内部，则椭圆C离心率的取值范围是 A.(0,1) 6.设数列{an}的前n项和为Sn, a₁=1,.且 则 的最小值为 A.7 B.8 C.14 7.已知圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则实数r的取值范围是 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 8.已知函数. 恰有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是 A.(-∞,-e) B.(-∞,-e] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为互斥事件但不是对立事件 B.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小 C.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 D.从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从二项分布 10.已知数列{an}的前n项和为 Sn，则下列说法正确的有 A.若{ an }是等比数列, 则 B.记等差数列{ an },{ bn }的前n项和分别为Sₙ,Tₙ,若 则 C.若{ an }是等差数列, 则 D.若 则=99 11.已知 F₁,F₂分别为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上任意一点(不在x轴上)，△PF1F2外接圆的圆心为 H，半径为R， 内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，O为坐标原点，则 A.最大时， 的最小值为2 C.椭圆C的离心率等于 D. R·r的取值范围为 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 的展开式中，x⁷ 项的系数为15，则实数a= .(用数字填写答案) 13.函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 . 14.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 .记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为 ,则P₂ 的值为 、该顾客第 次摸球抽中奖品的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列 的前n项和为 且 (1)求数列 的通项公式( (2)设数列 满足为 ，数列 的前n项和,求. 16.(本小题满分15 分) 如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证: (2)若平面EBD 与平面BDF 夹角的余弦值为 求线段CF的长. 17.(本小题满分15分) 据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为 若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为 ,n,其中0<n<1. (1)若 分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入甲大学的面试环节，求n的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若a=1, (i)求函数 f(x)的单调区间; (ii)证明:函数 在区间(-1,0)上有且只有一个零点. (2)若 对任意 恒成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点为 F(1,0),直线l过点P(4,0)且与抛物线C交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程. (2)如图,分别以AP,BP 为直径作圆 (i)求圆 的面积之和的最小值； (ii)当l变化时,求圆 的公切线的所有交点的运动轨迹的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学期末参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号1234567 8 答案ACDB CBB A 1.A【解析】因为B=(xx2≤4}=(x|-2≤x≤2)，A=(x-3<x<2),故A∩B=(x|-2≤x<2}.故选A 2.C【解析】因为向量a=(1,-3),b=(6,m),且a⊥b,所以a·b=6-3m=0,解得m=2.故选C. 3.D【解析】因为f(x)=e+1,f(0)=e°+0=1，f'(0)=e十1=2，所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为 y=2(x-0)+1=2x+1.故选D. 4.B【解析】AA=6X12=72.故选B. 5.C【解析】设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c, 因为∠FMF,=受，所以点M的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆. 又点M总在椭圆C内部，所以该圆内含于椭圆，即c<b,所以c2<b2=a2-2,则2c2<a2, 所以(-<分，所以0<<号，即箱圆C高心率的取值范国是(0，号》故选C 6.B【解析】由a1=计土。，可得号带-升，故数列会}为常数列， 因此有号=号=1，得a=,放3，-aa1, 2 则2S+12-n(n+1)+1=n+12+1,m∈N. a n 设fa)=x计吕>0，合x-是，期得x=25, 由对句函数的单调性，易知f)=计品在区间(0,2，)上单羽递减，在区间(2，厅，十∞)上单调道增， 故f(=n十显可能在n=3或n=4处取得最小值 n 由f3)=3+号=7，f0=4+号=7，得f)=+号的最小值为7，所以2S+12的最小值为8.故造B A an 7.B【解析】由题意，在圆E:x2+(y十2)2=(r>0)中，圆心E(0,-2),半径为， 图心E(0,-2)到直线y=3z十2的距离为d=0X3-（一2)X1+2=2, W(W3)2+(-1)2 因为圆E到直线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有2个，故由图可知， 当r=1时，圆x2+(y十2)2=产(r>0)上有且仅有一个点（点A)到直线y=3x十2的距离为1； 当r=3时，圆x2+(y十2)2=(r>0)上有且仅有三个点（点B,C,D)到直线y=V5x十2的距离为1； 当实数r的取值范围为(1,3)时，圆x2+(y十2)2=2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=√3x十2的距离为1. 故选B. 高二数学参考答案(T)一1 &.A【解析】由题可得f(x)=ae(x+1)-1+=(x+1)(ae-), 令f()=0,得x+1=0或ae-是=0，即x=-1或a=C(x<0), 设函数g(x)=xe(x<0),则g'(x)=(x十1)e, 当x<一1时，g(x)<0,则g(x)在区间（一∞，一1）上单调逆减； 当一1<x<0时，g(x)>0,则g(x)在区间（一1,0）上单调递增， 故g(x)=g(-1)=-日， 因为x<0,所以g)<0,则g-e,即≤-e 因为f(x)有3个不同的极值点， 所以2=-1不是关于x的方程a=亡(a<0)的解，所以a<-e故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BC BCD ABD 9.BC【解析】由题可知，事件“至少击中两次”与事件“至多击中一次”互为对立事件，A错误；B正确；记3名男同 学为A,B,C,2名女同学为a,b,则从中任选2名同学的情况有(A,B),(A,C,(A,a),(A,b),(B,C),(B,a), (B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a), (C,6),a,b),共7种，故所求概率为品，C正确；由题可知，女演员的人数X展从超几何分布，D错误.故选BC. 10.BCD【解析】对于A,因为{an}是等比数列，所以S2,S一S2,S6一S4成等比数列， 所以(S4一S2)2=S2(S6一S),即(8-2)2=2X(S6一8)，解得S6=26,故A错误； 对于B,因为等差数列(a),《亿，)的前n项和分别为S,T,且是=3n Tn 2n+5' 15(a+a1s） 所2-会=会装器=50十67是-议部=号故B正确 2 2 对于C,设等差数列(an}的公差为d, 周为a=-2021,所以0-音-10802-82者-829=d=2, 2×10 2X8 2 所以Sa1=2021×(-2021)+2021X2020×2=一2021，故C正确； 2 对于D,因为an=√Sn+√Sm-1(n≥2)，所以Sn-S-1=√Sn+√Sm-1(n>2),所以√Sn-√Sm-1=l, 又a1=1,所以{√Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以√Sn=1十(n-1)×1=n, 所以Sn=n2,所以a50=S50一S4g=502一492=99，故D正确. 故选BCD. 11.ABD【解析】对于A,设P(x,y),则一2<x<2,一√3≤y≤3，且y≠0， 所以Sa,R=合1FP2·l=cly=y, 当点P为短轴的端点时，S△℉，B,取得最大，且最大值为√3， xSAm,F=SAm+SAW,r+SAU:P-2(IFF:I+IPFl+IPF:I)r=(2a+2c)r=3r, 高二数学参背答案(T)一2 所以当Sa网片最大时，3r,即=9，放A正确 对于B,过，点H作HG⊥PF,垂足为点G, 又，点H为△PFF2外接圆的圆心，即为△PFF2三条边的中垂线的交点，则点G为PF的中点， PH.PO-PH.(PF+PF)=(PH.PF,+PH.PF), 又pi.P时-（心+G·P丽=P心.P时=P,同理Pi.p=P醇， 所以P啦pò-+P)-1晾+1p丽1≥（匠士正-号=2， 2 当且仅当|PF|=|PF21=a时等号成立，即P直.PO的最小值为2，故B正确； 对于C,由△PFF2内切圆的圆心为I,则IF1,IF2分别是∠PFF2,∠PF2F的平分线， 则由角牛会定理可得册--中盼-跟+-会--名故C错溪： 对于D,设∠FPF2=0,|PF1|=a1,PF2|=a2, 由正弦定理可得2R=国E=2 m8-品g即R=品9品0 262 6 cos9=a好十a3-（2c)2_a干a2）'-2a1a2-4c=402d12,即a1a2cos9+1cos01 2a1a2 2a1a2 2a1a2 因为Sam6=a1asih0=3sn9 1 cos 0+1 3sin号os=3tan号， eoe号 由选项A可知，S△m,片=3r,所以3tan号=3r,即r产am号，所以R·r tan 2 1 sin6 2cos2- 又因为当点P在短轴的端点时，0最大，此时PF=|PF,=|FF=2,0=否， 所以E(0,晋]，即号∈(0，吾]，所以c0s号∈[号，1)， 故R·r= (引DE晚 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.立 【解析】(x十a)10的通项为T+1=Cx0-*a*,令10-k=7,所以k=3,所以x?项的系数为Coa3=15,所1 a=日，所以a=员 13.(2,十∞)【解析】函数f(x)定义城为(0，十∞)，f(x)=一x十-1=二+z-1, 因为函数f八)在区间[2,3]上存在单调递增区间， 所以(x)=二+虹=>0在区间[合，3]上有解， 即一2+红一1>0在区间[合，3]上有解， 即>x+2在区间[受3]上能成立，故>(+) 又y=x十1≥2，当且仅当x=1时取等号，所以>2，故实数k的取值范国是(2，十∞). 高二数学参考答案(T)一3 14吕2（第一空2分，第二空3分） 【解析】记试顾客第（∈N~)水挑球抽中奖品为事件A,依题意，P,=号， R,=PA)=P(A)P(AIA1)+PA,)P(AIA,)=号X号+(1-号)×号-2 因为PA.lA-)=3,PA.A-)=,P,=PA,, 所以P(A)=P(A-1)P(A.An-1)+P(A-1)P(AnA-1), 所以P=}P1+2(1-P-)=-合P+, 所以P.一马=-(P1-马》n≥2，a∈N, 又因国为R=号，则B-号=-7≠0， 所以数列2，一号}是首项为一号，公比为一日的等比数列， 故卫.=马-7×(-)。 当m为寺数时，P,=号-7X<号<是， 当n为偶数时，B,=号十7X,则卫随着n的增大而减小，所以P,<P:=器 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)因为Sn=n2,① 当n≥2时，S。-1=(n-1)2,②… …1分 由①-②得到an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,…3分 又n=1时，a1=S1=1,满足an=2n-1,… …5分 所以an=2n-1.…6分 (2)由(1)知6，=21十a+1=22m+1-1+2(n十1)-1=22+1+2n+1,… …8分 所以T.=23+2X1+1+25+2×2+1+…+22m+1+2n+1 =23+25+…+22+1+2(1十2+…十n)十n… …10分 =81-42+2×1+m2+mn 1-4 2 =22 g++2m-号 … 13分 16.【解析】(1)由题意，以A为原点，AB,AD,AE的方向为x轴，y轴，x抽的正方向建立空间直角坐标系（如图）， …1分 B 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2)，…2分 设CF=h(h>0),则F(1,2,h),… …3分 由题意可知，平面ADE的法向量为m=(们，0,0)，…4分 因为Bf=(0,2,h),…5分 所以BF。m=0,所以BF⊥m,…6分 又BF中平面ADE,所以BF∥平面ADE. …7分 高二数学参考答策(T)一4 (2)由题可得BD=(-1,1,0),B克=(-1,0,2)，… …8分 BD·=-1十h=0, 设平面BDE的法向量为1=(x1,h,3),则 B2.m=-x1十231=0， 令3=1，则x1=2,=2,可得h=(2,2,1), ……10分 设平面BDF的法向量为n2=(x2,y2,22),则 2·Bò=-x2十h=0, 2·Bi=2y2+hz2=0, 令y2=h,则z2=一2，x2=h,可得2=(h,h,一2)， …12分 由题意可得引0s(m4,2)=%=2分2=5…13分 整理可得7限-8h=0,解得h=号或h=0(含去)，… …14分 所以线段CF的长为号。 …15分 17.【解析】(1)设“该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀”为事件A, 则P)=C×号×（号）°=号： …2分 “该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目代秀”为事件B, 则PB)=×号×号+×号×号+×号×-品 …4分 (2)该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X,…5分 依题意，X~B(3,号），则E(X)=3X号-=1，… …6分 该考生报考乙大学达到优秀科目的个数设为Y,随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.…7分 P=0)=骨x号1-w=l号2，PY-10=君×号1-w+号×号1-w+8×号-182 30 P0Y=2)=名×号+×号+×号1--2，PY=3)=×号a-船-…1分 30 随机变量Y的分布列为 0 1 2 3 13+2m 2+11m 30 30 岳 E00=0×1号+1×284+2x204+3x0-1730, …13分 30 30 30 因为孩考生更有希望选入甲大学的面浅，则E0<B(0,南2170<1，解得0<<号 30 所以n的取值范围为(0,8》。 …15分 18.【解析(1)(1)函数f(x)的定义域为(-1，十∞)， …1分 当a=1时，fx)=ln(x+1)-司x, 剥了)=克名=个f>0,得-1K<1:令f<0,得>1，…4分 所以函数f(x)的单调递增区间为（一1,1），单调递减区间为(1，十o∞).…5分 )因为h(z)=子与-2=sinz,z∈(-1,0》，……6分 1 令g(x)=h'()=1--1-sinx,x∈(-1,0)，则g(x)=二x十1D2-osx,……7分 高二数学参考答案(T)一5 当x∈(-1,0)时cosx>0,所以g(x)<0,所以g(x)即h'(x)在区间(-1,0)上单调逆减， 又(0)=合>0，所以(x)>0,所以h(x)在区间(-1,0)上单调递增，…8分 又a(0)=1,h(e-1）=cos(ef-1-1-2<0,9分 所以h(x)在区间(-1,0)上有且只有一个零，点，…10分 (2)由f(x)≤2e一cosx一1对任意x∈[0，π]恒成立， 即f(x)-2e十cosx十1≤0对任意x∈[0，π]恒成立， 令g(x)=f(x)-2e+co8x+1=aln(x十1)-7x十cosx-2e+1,x∈[0，]，则p(0)=0, 所以p)=z异号-sinx一2g,个m(a)=p✉=z异音-s血x-2心， 则ma)-a千-osz-2e=-[1)+c0*+2g], a 当a≤0时，对任意x∈[0，π]，-2e≤-2，sinx∈[0,1]，则p'(x)<0, 所以p(x)在[0，π]上单调递减，所以p(x)≤(0)=0，满足题意； … …14分 当a>0时，m'(x)<0在区间[0，π]上恒成立，所以p(x)在区间[0，π]上单羽递诚， 又90=a-哥p园-吊-2e-2, ①当p'(0)<0,即0<a≤号时，p(a)≤0恒成立， 所以p(x)在区间[0，π]上单调递减，所以p(x)≤p(0)=0,满足题意； ②当p'o)>0且p(m)<0,即号<a<(2e+号)(x+1)时， 由零点存在性定理知，3x0∈[0，π]，使得0(x)=0. 当x∈[0，xo)时，p'(x)>0,所以p(x)在[0，x0]上单调递增，所以(x)>p(0)=0,不满足题意； ③当g(x≥0，即≥(2e+号)(x+1)时， 对任意x∈[0，π]，p(x)≥0，p(x)单调递增，所以(x)>p(0)=0,不满足题意. 综上，实数a的取值范国为(-，] …17分 19.〖解折11)由题意知，号=1，所以=2， 所以抛物线C的方程为y2=4红.… 4分 (2)(1)由题意知，图C,C2的面积之和S=于(|AP2+BP2), 设直线L的方程为x=my十4，A(x1,y1),B(x2,y2), 联立x=y十4， 整理得y2一4my-16=0, Γy2=4x, 所以y十y2=4m,hy2=一16， 又点P(4,0), 所以|AP|2+|BP|2=(x1一4)2+y好+(x2-4)2+y3 =(m1+4一4)2+y7+(my2十4-4)2+y3 =(m2+1)(y+y), y听+y吃=(y1十y2)2-2y1y2=(4m)2-2X(-16)=16m2+32,…8分 令n=m2,则n≥0，则S=4π(m2+1)(m2+2)=4π(n十1)(n+2)=4π(n2+3n十2)， 这是个图象开口向上的二次函数，在n≥0时单调递增， 所以n=0时，Smin=8元. …10分 高二数学参考答策(T)一6 （)由题意知，圆C,C2外切，有一条内公切线l和两条外公切线2，a: 当m=0时，直线1的方程为x=4, 此时圆C1,C2的圆心横坐标均为4，半径均为2， 三条公切线分别为☑：y=0,l2:x=2,l3:x=6, 公切线的交点有两个：(2,0)，(6,0)； 当m≠0时，内公切线为过点P且与直线l垂直的直线，直线山的方程为x=一1 y+4 设直线l2,l交于点Q,由对称性可知，点Q在直线AB上， 31十4 圆C,C的半径之比为2=-边=IQC 2-05+4-22 片2=-为-1@c4-a x2+4-2xQ 2 又货会所以气-器 记4一2xo=t,上式化简得2x1x2十(t-4)(1十x2)一8t=0, 又2==16，西十4=m(0十2)+8=4m2+8, 16 代入，整理得4m2(t一4)=0， 因为m≠0，所以t=4,即xQ=0, 故点Q在直线x=0上运动，又点Q不可能为原点， 所以点Q的轨迹方程为x=0(y≠0).…13分 如图，设直线l与2的交点为M,直线4与的交点为N,直线山与y轴交于点R, 下面探究点M和N的轨迹. 易知MC1⊥MC2, 故IMP2=|PG IIPC=-IAPIIBPI=-子1+mI·V1+1=4(1+m2), 7C 由直线么的方程为x=一品十4，可得R0,4m, 所以|PR|2=|OP|2+1OR|2=16(1+m2), 所以|MP|=2|PR,即M为PR的中点， 所以点M的轨迹方程为x=2。… ……16分 由对称性可得NP=|MP|=lPR, 所以，点N的轨迹方程为x=6. 综上，圆C,C2的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线， 方程分别为x=0(y≠0)，x=2,x=6。…17分 高二数学参考答案(T)一7