精品解析：广东省广州市南沙区广州外国语学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年第一学期期末检测卷 八年级数学 用时120分钟 分值：150分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 如图，中，，是的平分线，，垂足为．若，，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 4. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知，垂直平分，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，．若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④平分；其中正确的为（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 10. 如图，在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，与相交于点，连接，延长至，使，若的面积为16，则面积是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：_____． 12. 在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则_____． 13. 若，则_____； 14. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____． 15. 如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 16. 如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是_____． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 18. 证明题：如图，已知为线段的中点，，，求证：． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 20. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 21. 已知中，，斜边为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，， （1）求证：． （2）若，求的值． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 23. 小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品进价比种文创产品进价每件多3元，用140元购进种文创产品的件数与用80元购进种文创产品的件数相同． （1）求，两种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进种文创产品多少件？ 24. 如图，为等腰三角形，，点从点出发沿方向在线段上以的速度运动，点从点出发沿方向在线段上以的速度运动．、两点同时出发，运动时间为．当点到达点后，、两点停止运动． （1）如图1，若，速度，连接、相交于点．在点到达点前，直接写出的度数_____； （2）如图2，若，速度，，连接、，相交于点．当时，求的值； （3）如图3，若，速度，，连接、，当取得最小值时，求的值 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求点的坐标； （2）如图2，记交轴于点，交轴于点，连接． ①求证：； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末检测卷 八年级数学 用时120分钟 分值：150分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 如图，，如果，，，那么的长是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等解答． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 3. 如图，中，，是的平分线，，垂足为．若，，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质得出，易证，得到，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 4. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，将用科学记数法表示为， 故选：B． 5. 如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 如图，证明，得到，利用平角的定义：，即可得到． 【详解】解：如图，由方格可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6. 如图，在中，已知，垂直平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，．若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先证明，再根据“角角边”证明，可得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步可变形为，据此求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 9. 如图，在和中，，，，，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④平分；其中正确的为（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线和垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据题意得到，易证，从而得到，再根据全等三角形的性质可得，可推出，平分；，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ∴平分；④正确； ∴，即，③正确， 故选：D． 10. 如图，在等边三角形中，点，分别是，上的点，且，与相交于点，连接，延长至，使，若的面积为16，则面积是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．先根据定理证出，从而可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据定理证出，从而可得，根据平行线的判定可得，从而可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， 又， ， ， ， （同底等高）． 故选：A． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，如果点和关于轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 若，则_____； 【答案】 15 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：15． 14. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式，先化简分式方程，求解得到关于的表达式，然后根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（其中），得， 整理得， 当，即时，方程无解，即此时原方程无解，不符合题意； 当，即时 解得， ∵原方程的解为正数，即， ， 解得， ∵，即， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得，时，两点停止运动，利用全等三角形的判定定理得出只存在，则，再分两种情况分别表示出的代数式，列出方程求解，即可求得t值． 【详解】解：点N从B到C的时间：，点N出发4秒后，点M开始运动，则点M到点C的时间为：，则时，两点停止运动， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等， ∴只存在， ∴， 当时，点从点出发向点运动，点在点不动，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点从点出发向点运动，点从点出发向点运动，此时，， ∴，， ∴， 解得： 根据题意，得，， ∴，， ∴， 解得． 综上可知，则当或秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 16. 如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 首先证明点E在射线上运动，，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，然后证明，即可得出答案， 【详解】解：如图，连接， ∵，是等边三角形， ∴，，, ∴， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动（）． ∵周长，且是定值， ∴周长最小，即最小， 作点A关于直线的对称点M，连接，连接交于，此时最小． ∴，， 根据对称得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 化简得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 18. 证明题：如图，已知为线段的中点，，，求证：． 【答案】 证明：∵B为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可利用证明，则由全等三角形的性质可证明． 【详解】略 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小（不写作法）． 【答案】（1） 如图，即为所求， 则的坐标为； （2）5 （3） 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意， ； 【小问3详解】 略 20. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求平方根的方法解方程，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，根据分式有意义的条件得到a的取值范围，再解方程确定a的值，最后代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， 解方程得， ∵是方程的解， ∴， ∴原式． 21. 已知中，，斜边为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，， （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， ∵为的平分线上的点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，勾股定理，直角三角形的性质，通过全等得到等腰三角形是解题的关键． （1）如图，连接、，由角平分线性质可得，可证，得，由为的中点，三线合一即可得出； （2）由直角三角形的性质可求，利用勾股定理求出，进而求出，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1） 如图，点为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，由于，所以，再根据等腰三角形的性质得到，所以为等腰直角三角形，从而得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 23. 小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品进价比种文创产品进价每件多3元，用140元购进种文创产品的件数与用80元购进种文创产品的件数相同． （1）求，两种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进种文创产品多少件？ 【答案】（1）A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元 （2）小张最多可购进A种文创产品50件 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元，根据用140元购进种文创产品的件数与用80元购进种文创产品的件数相同建立方程求解即可； （2）设小张购进种文创产品m件，则购进B种文创产品件，根据总费用不超过550元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种文创产品每件的进价为x元，则B种文创产品每件的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元； 【小问2详解】 解：设小张购进种文创产品m件，则购进B种文创产品件， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为50， 答：小张最多可购进种文创产品50件． 24. 如图，为等腰三角形，，点从点出发沿方向在线段上以的速度运动，点从点出发沿方向在线段上以的速度运动．、两点同时出发，运动时间为．当点到达点后，、两点停止运动． （1）如图1，若，速度，连接、相交于点．在点到达点前，直接写出的度数_____； （2）如图2，若，速度，，连接、，相交于点．当时，求的值； （3）如图3，若，速度，，连接、，当取得最小值时，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理，全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）证明是等边三角形，得到，再证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案； （2）证明是等边三角形，得到，再证明，得到，根据题意可得，据此建立方程求解即可； （3）过点C作，且，连接，证明，得到，则当A、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，证明，得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作，且，连接， 当，时，， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴此时， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求点的坐标； （2）如图2，记交轴于点，交轴于点，连接． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1） （2） ①证明：过点作轴于，如图： 则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②证明：如图，过点作于，交轴于， ∵，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，灵活选用全等三角形的判定方法是解此题的关键． （1）过点作轴于，由同角的余角相等得出，证明，得出，，即可得解； （2）①过点作轴于，则，由题意可得，再证明即可得证；②过点作于，交轴于，由等腰三角形的性质可得，平分，从而得出，证明，得出，再证明，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $