重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期1月期末学业水平检测数学试题

重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期1月期末学业水平检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数与其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. C. 在单调递增 D. 在单调递减 5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中的称为三角形数，该数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项之差或者高次差相等．我们把这类数列叫作高阶等差数列（三角形数是二阶等差数列）.现有一个高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第7项为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 6. 设点分别在双曲线的两条渐近线上，线段AB的中点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则数列为有穷数列 C. 数列可能为常数列 D. 若，则数列单调递增 10. 已知是椭圆上一点，是左右焦点，交椭圆于点交椭圆于点，则（ ） A. 的周长等于12 B. 可能是等边三角形 C. 若是椭圆的上顶点，则的面积为10 D. 若，则 11. 已知是曲线上一点，曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 且 C. 点可能在圆的内部 D. 若曲线与曲线恰有个交点，则实数的取值范围为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为__________. 13. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 14. 已知双曲线，过轴正半轴上一点作斜率为1的直线交于两点，线段的中垂线交于两点，交轴于点，线段的中垂线交于两点，交轴于点，这样可以得到一个点列，若线段的长度为324，则__________. 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 15. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，分别是棱的中点． （1）证明：面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知正项数列的前项和为，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，证明：数列的前2n项和. 18. 已知点是抛物线上的动点，是的焦点，当时，.过点作的切线l，l交轴于点，交轴于点，直线QF与相交于A，B两点（在线段QF上）． （1）求的方程； （2）若为的外心，求点的坐标； （3）求的面积的最小值. 19. 已知. （1）证明：有且只有一个极值点； （2）设是函数的极值点，是函数的极值点，当时，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期1月期末学业水平检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）. 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1） 因为，所以，因为是等边三角形，所以，又因为，， 所以，所以，同理可得， 建立以为原点，为轴正方向如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 显然为平面的一个法向量，因为且平面，所以面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 由（1）可知，， 所以 . 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【19题答案】 【答案】（1） 由函数，可得， 令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值， 又因为当时，，当时，， 所以有唯一的实数解，即有唯一的解， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以是的唯一的极小值点. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $