1.4公因数、公倍数（同步练习）-2025-2026学年五年级下册数学西南大学版

1.4公因数、公倍数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．相邻的两个自然数（0除外），它们的最小公倍数是（    ），最大公因数是（    ）。 A．较大数；1 B．较小数；它们的积 C．它们的积；1 D．1；它们的积 2．甲、乙两数中一个能被另一个整除，其中甲数是奇数，乙数是偶数，则甲、乙两数的最小公倍数是（　　） A．甲数 B．乙数 C．甲数×乙数 D．甲数+乙数 3．一个数的最大因数是48，它的最小倍数是（　　）。 A．24 B．48 C．1 D．0 4．A÷B=20(A，B为非0自然数)，A，B的最大公因数是（ ） A．A B．B C．20 D．无法确定 5．32以内3和5的公倍数有（   ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在a与b两个整数中，a的所有质因数2、3、5、7、11，b的所有质因数是2、3、13，那么a与b的最大公因数是（   ）。 A．210 B．6 C．55 D．42 7．五（2）班的同学去植树，每行植的棵数一样多，每行植8棵或10棵树苗，最后都剩下5棵，他们至少带了（    ）棵树苗。 A．85 B．40 C．45 D．80 8．如果abc均为非零自然数，且a÷c＝b，a、c的最大公因数，最小公倍数分别是（　　） A．b，a B．b，ab C．c，a D．c，b 二、填空题 9．有四个不同的自然数，它们的和是1991．如果要求这四个数的最大公约数尽可能的大，这四个数中最大的那个数是　 　． 10．直接写出各组数的最小公倍数． 4和9　 　； 14和21　 　； 3和27　 　；7和12　 　． 11．一块长方形铁皮长60厘米，宽48厘米．要把它剪成同样大小的等腰直角三角形，而且没有剩余，最少可以剪成　 　个这样的三角形． 12．在每个分数后的括号中写出分子和分母的最大公因数． 　 　 　 　 　 　． 13．数A=3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，A、B、C三个数的最大公因数是 ，最小公倍数是 ． 14．甲、乙两数的最大公约数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，乙数是　 　． 15．42和70的最大公约数为　 　． 三、判断题 16．两个连续偶数的最大公因数是2。( ) 17．两个数的最大公因数一定小于这两个数，两个数的最小公倍数一定大于这两个数。( ) 18．两个偶数的最大公因数是2。( ) 19．20和36的最小公倍数是72．( ) 四、解答题 20．三个同班同学商议暑期去图书馆借书，小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我家路远，每10天才能去一次，但我每一次可多借几本．”如果3人7月5日同时去图书馆借书，那么至少再过几天，他们三人中有两人会在图书馆相遇？ 21．有一张长方形的纸，长60cm，宽40cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？ 22．按要求做：     （1）用短除式把210分解质因数．     （2）用短除式求28和42的最大公约数和最小公倍数． 23．五（1）班有36人，五（2）班有32人．现在分别要把两个班的学生平均分成若干个小组．要使两个班的各个小组人数相等，每组最多多少人？ 24．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数． 9和15    7和9    11和33    12和28． 《1.4公因数、公倍数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B B B B C C 1．C 【分析】两个数的最小公倍数：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；两个数的最大公因数：两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数成倍数关系：最小公倍数是较大的那个数，最大公因数是较小的那个数；如果两个数成互质数：最小公倍数是两个数的乘积；最大公因数是1；相邻的两个自然数（0除外）是互质数，最小公倍数是它们的积，最大公因数是1，据此解答。 【详解】根据分析可知，相邻的两个自然数（0除外），它们的最小公倍数是它们的积，最大公因数是1。 故答案为：C 2．B 【详解】由“甲、乙两数中一个能被另一个整除”，说明甲、乙两数有因数和倍数关系，再根据“甲数是奇数，乙数是偶数”，可知乙数是被除数，甲数是除数；再根据两个数为倍数关系时，则最小公倍数为较大的数得解． 故选B． 3．B 【分析】根据“一个数最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身”可知：这个数是48，这个数的最小倍数是48；由此解答即可。 【详解】因为一个数最最大的因数是它本身，所以得出这个数是48； 又因为一个数的最小倍数是它本身，所以得出这个数的最小倍数是48； 故选B． 【点睛】解答此题应明确：一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。 4．B 【分析】一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数. 【详解】A÷B=20，A是B的倍数，那么A、B的最大公因数是B. 故答案为B 5．B 【分析】3和5的最小公倍数是3和5的积，最小公倍数是15，然后判断公倍数都有哪些即可。 【详解】32以内3和5的公倍数有15、30，共2个。 故答案为：B 6．B 【分析】两个数公有的最大的因数叫作它们的最大公因数。求两个数的最大公因数时，可以先找到两个数公有的质因数，然后把它们公有的质因数相乘即可求出两个数的最大公因数。据此解答。 【详解】由题意得，a的所有质因数是2、3、5、7、11，b的所有质因数是2、3、13，a和b公有的质因数是2、3。2×3＝6，所以a与b的最大公因数是6。 故答案为：B 7．C 【分析】每行植8棵或10棵树苗，最后都剩下5棵，说明树苗棵树比8和10的公倍数多5棵，求出8和10的最小公倍数，加上5棵，就是至少带的树苗棵数。 【详解】8＝2×2×2 10＝2×5 2×2×2×5＝40（棵） 40＋5＝45（棵） 他们至少带了45棵树苗。 故答案为：C 【点睛】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 8．C 【分析】a÷b＝c（abc均为非零自然数），a和c成倍数关系，两个数成倍数关系，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数。 【详解】因为a÷c＝b（abc均为非零自然数），a和c成倍数关系，两个数成倍数关系， 所以a、c的最大公因数是c，最小公倍数是a， 故选择为：C 【点睛】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数. 9．905 【详解】试题分析：将1991进行分解，1991=11×181 1、先得出这四个数的最大公约数是181．为什么呢？假如还有更大的公约数k，那么必有 1991=ak+bk+ck+dk=（a+b+c+d）k （k＞181，a，b，c，d为正整数且都不等），由于1991=11×181，k＞181，可以得到a+b+c+d＜11，但在小于11的正整数中，除了1以外，没有数能整除1991．所以这四个数的最大公约数是181． 2、把11分解成4个不相等的正整数的和，要使其中一个达到最大，则其它三个要尽可能的小．必须这样分： 11=1+2+3+5 则1991=181+2×181+3×181+5×181 其中最大数就是5×181=905，由此可以解决． 解：1991=11×181 11=1+2+3+5 则1991=（1+2+3+5）×181=181+2×181+3×181+5×181 所以这四个数中最大的数是5×181=905 故答案为905 点评：此题考查了求几个数的最大公因数的方法在实际问题中的灵活应用，分析问题时要从多个方面考虑以便得出正确的解题思路． 10．36、42、27、84 【详解】试题分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题． 解：因为4和9是互质数；所以4和9的最小公倍数为：2×2×3×3=36； 14=2×7， 21=3×7， 所以14和21的最小公倍数为2×3×7=42； 因为27是3的倍数，所以3和27的最小公倍数是27； 因为7和12是互质数，所以7和12的最小公倍数是7×12=84， 故答案为36、42、27、84． 点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 11．40 【详解】试题分析：要把长60厘米，宽48厘米的长方形铁皮剪成同样大小的等腰直角三角形，而且没有剩余的最少数，首先剪成正方形，正方形沿对角线剪开，即可得到两个等腰直角三角形；要求最少剪成多少正方形，没有剩余则求出60和48的最大公因数就是正方形的边长，然后求出可以剪成正方形的个数，即可得解． 解：60=3×2×2×5， 48=2×2×2×2×3， 60和48的最大公因数是3×2×2=12；            60÷12=5，48÷12=4， 剪成正方形的个数5×4=20（个）， 20×2=40（个）； 答：最少可以剪成 40个这样的三角形． 故答案为40． 点评：灵活应用最大公因数来解决实际问题，是解决此题的关键． 12．7；12；6 【详解】试题分析：求分子和分母的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，通常可先把每个分数中的分子、分母分解质因数，再把它们公有的质因数相乘，有倍数关系的两个数的最大公因数是两个数中较小的那个数，如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，由此解决问题即可． 解：（1）14是7的倍数，所以7就是14和7的最大公因数； （2）36是12的倍数，所以12就是36和12的最大公因数； （3）30=2×3×5， 42=2×3×7， 所以30和42的最大公因数是：2×3=6； 故答案为7；12；6． 点评：此题主要考查求两个数的最大公约数的方法的灵活应用，两个数的最大公约数也就是这两个数字的公有质因数的连乘积；这里要注意当两个数是倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数；当两个数是互质数，它们的最大公因数是1；数字大的可以用短除解答． 13． 15 180   【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；对于三个数：三个数公有质因数的乘积是最大公因数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．此题主要考查求三个数的最大公因数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公因数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数． 【详解】数A=3×3×5，数B=2×2×3×5，数C=2×3×3×5，   所以A、B、C三个数的最大公因数是：3×5=15， 最小公倍数是：3×5×2×3×2=180； 故答案为15，180． 14．15 【详解】试题分析：用最小公倍数30除以甲数6，得到乙数的独有质因数5，然后最大公约数3乘独有质因数5，即可得解． 解：30÷6=5， 3×5=15； 答：乙数是15； 故答案为15． 点评：此题是求两个数的最大公因数和最小公倍数的逆运算，求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积；所以已知最大公因数和最小公倍数和其中一个数，求另一个数，首先用最小公倍数除以已知数得到另一个数的独有质因数，然后乘最大公因数，即可得到另一个数． 15．14 【详解】试题分析：先把42和70分解质因数，再根据“求两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积”进行解答即可． 解：42=2×3×7， 70=2×5×7， 所以42和70的最大公约数是：2×7=14； 故答案为14． 点评：此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除解答． 16．√ 【详解】求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的乘积，因为两个偶数至少有2这个公有质因数，即两数相差2，它们的最大公因数是2。 故答案为：√ 17．× 【解析】略 18．× 【解析】略 19．错误   【分析】解答本题的关键是明确对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数. 【详解】20＝2×2×5，36＝2×2×3×3，2×2×3×3×5＝180，所以20和36的最小公倍数是180，所以原题的这种说法是错误的. 故答案为错误 20．12天 【详解】试题分析：由题意可知：要求至少再过几天，他们三人中有两人会在图书馆相遇，先分别求出4和6，4和10，6和10的最小公倍数，然后比较即可得出． 解：4=2×2，6=2×3，10=2×5， 所以4和6的最小公倍数是2×2×3=12； 4和10的最小公倍数是2×2×5=20； 6和10的最小公倍数是2×3×5=30； 因为12＜20＜30； 所以至少要经过12天，他们三人中有两人会在图书馆相遇； 答：至少要经过12天，他们三人中有两人会在图书馆相遇． 点评：此题主要考查求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 21．20厘米 【分析】根据“剪成若干同样大小的正方形”、“没有剩余”等信息可知，就是求60和40的最大公因数，据此解答即可。 【详解】60＝2×2×3×5； 40＝2×2×2×5； 60和40的最大公因数是2×2×5＝20；　 答：剪出的正方形的边长最大是20厘米。 【点睛】能够根据同样大小、没有剩余等信息确定就是求两个数的最大公因数是解答本题的关键。 22．（1）210=2×3×5×7；（2）14，84 【分析】（1）把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．据此解答；（2）先把28和42分解质因数，再根据求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【详解】（1） 210=2×3×5×7 （2） 28和42的最大公约数是2×7=14； 最小公倍数2×7×2×3=84． 23．4人 【分析】根据已知，要使两个班的各个小组人数相等，每组最多多少人，也就是求36和32的最大公因数。 【详解】36＝2×2×3×3 32＝2×2×2×2×2 36和32的最大公因数是2×2＝4 答：每组最多4人。 24．3，45；1，63；11，33；4，84 【详解】试题分析：（1）（4）对于一般的9和15，12和28来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； （2）7和9是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积； （3）因为33÷11=3，即33和11成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；由此解答． 解：（1）9=3×3， 15=3×5， 所以9和15的最大公因数是3， 9和15的最小公倍数是3×3×5=45； （2）7和9是互质数， 所以7和9的最大公因数是1， 7和9最小公倍数是：7×9=63； （3）因为33÷11=3，即33和11成倍数关系， 所以33和11的最大公因数是11，最小公倍数是33； （4）12=2×2×3， 28=2×2×7， 所以12和28的最大公因数是2×2=4， 12和28的最小公倍数是2×2×3×7=84． 点评：此题主要考查了求两个数的最大公因数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；对于两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积． 学科网（北京）股份有限公司 $