8.3菱形寒假预习讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

8.3菱形寒假预习必备讲义（苏科版） ☞预习内容速览 1.课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3.聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳课前预习目标 1.熟记菱形的定义，能准确说出菱形的核心特征； 2.能按边、角、对角线、对称性四个维度，梳理菱形的性质，区分 “平行四边形； 3.运用菱形的边、对角线性质，解决简单的周长、边长、对角线长度计算问题； 4.能通过动手画图（如画互相垂直且平分的线段构造菱形），直观感知菱形的形成过程，建立几何图形与性质的关联。 ☘基础知识★梳理归纳 【知识点1菱形的定义】 ●定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（关键）） 【重点提示】：(1)是平行四边形；（2）一组邻边相等；（缺一不可）【知识点2菱形的性质】 ●菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质； ★菱形特有性质：（1）四条边都相等；（2）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 四边形ABCD,AB=BC=CD=AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形ABCD是菱形BD⊥AC ∠ABD=∠CBD,∠ACB=∠ACD,∠BAC=CAD,∠ADB=∠CDB,∠ 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【知识点3菱形的判定方法】 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 四条边相等的四边形是菱形。 【易错提醒】：仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须先证为平行四边形！几何表达：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 【知识点4菱形的面积公式】 菱形的面积=底×高（菱形是平行四边形）； 菱形的面积=对角线长的乘积的一半(菱形的对角线互相垂直) 【提示】对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【知识点5菱形与平行四边形、矩形的核心对比】（易混点梳理） 图形 共性（平行四边形） 特有特征（核心区分点） 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称 无特有特征，一般的四边形 0条 菱形 继承所有平行四边形共性 边：四条边相等；对角线：互相垂直且每一条对角线平分一组对角；角；对角相等，邻角互补 2条（对角线所在直线） 矩形 继承所有平行四边形共性 角：四个角都是直角；对角线：互相平分、相等 2条（对边中点连线） 【核心结论】菱形的特殊性在边和对角线，矩形的特殊性在角和对角线；三者均为中心对称图形，菱形和矩形为轴对称图形。 【知识点6菱形的高频易错点】 ★误认为 “对角线互相垂直的四边形是菱形”（遗漏前提：必须是平行四边形）； ★忽略菱形 “对角线平分一组对角” 的性质，在角度计算中出错； ★面积计算时，忘记对角线乘积的一半要除以 2，直接用对角线相乘。 ✔解题技巧 涉及菱形对角线的计算 / 证明，优先利用 “垂直平分” 构造直角三角形，结合勾股定理求解边长、对角线长度； 若菱形中有一个内角为60∘/120∘，连接短对角线可形成等边三角形，利用等边三角形性质简化计算； ✏聚焦题型★提升能力 【知识点1利用菱形的性质求角度】 【例1】．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 【变式2】．在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形中，是边上的中点，与对角线相交于点，如果，则一定有．为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空： 第一步：利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：利用三角形的全等证明她的猜想． 证明：四边形是菱形 ， ① ， ② ， 是中点， ， ③ ， 在和中， ， ， ， 【答案】图见解析，菱形的性质，，，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，过点作的垂线，垂足为，由菱形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，进一步得到，证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作的垂线，垂足为， 四边形是菱形， ，（菱形的性质）    ， ， 是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：菱形的性质，，，． 【知识点2利用菱形的性质求线段长】 【例2】．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的对角线相互平分且垂直是解题的关键． 根据菱形的对角线相互平分且垂直，可得，，，然后由勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，对角线相交于点，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】．如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的周长，由菱形可得，进而得到为等边三角形，得到，即可求出菱形的周长，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在菱形中，,， ∴是等边三角形， ∵， ∴, ∴菱形的周长为， 故答案为：12． 【变式2】．如图，点O是矩形的对角线的交点，菱形的周长为8，求矩形的面积． 【答案】矩形的面积为． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，由菱形的性质求，由矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ∵ 菱形的周长为8，   ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ， ∴ 矩形的面积为：． 【知识点3利用菱形的性质求面积】 【例3】．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 【变式1】．图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由菱形的性质可知是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ∴是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 【变式2】．已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 【答案】，；面积为 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分和面积的求解方法是解题的关键． 先判断出是等边三角形，再根据菱形的对角线互相垂直平分和等边三角形的性质求出，再由勾股定理可得的长，然后根据菱形的对角线互相平分求出，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的边长为， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【知识点4利用菱形的性质证明】 【例4】．如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，即可得出结论． 【详解】解：A、由菱形的对角相等可得，选项说法正确，不符合题意； B、由菱形的邻角互补可得，选项说法不正确，符合题意； C、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； D、由菱形的四条边都相等可得，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．对称性：菱形是 图形，有 条对称轴． 【答案】 轴对称 2 【分析】本题主要考查了菱形的性质，准确分析判断是解题的关键． 菱形是轴对称图形，其对称轴是两条对角线所在的直线。 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有轴对称性，将菱形沿对角线所在的直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，因此菱形是轴对称图形，且对称轴有两条，即两条对角线所在的直线； 故答案为：轴对称，． 【变式2】．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【知识点5证明四边形是菱形】 【例5】．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 【变式1】．在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有 ．（写出符合题意的全部序号） 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，还涉及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理分析即可． 【详解】解：如图， ①∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； ②∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ③∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，符合题意； ④∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，不是矩形，不符合题意； 故答案为：②③． 【变式2】．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【知识点6添一个条件使四边形是菱形】 【例6】．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 【 变式1】．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形， (2)平分时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定． （1）根据，可判断四边形为平行四边形； （2）根据为的平分线，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等边对等角可得，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：，， 四边形为平行四边形； （2）解：平分时，四边形为菱形，理由如下， 四边形为平行四边形， ∴， 当平分时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为菱形． 【知识点7根据菱形的性质与判定求角度】 【例7】．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 【变式1】．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【变式2】．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，正确理解作图是解题的关键． （1）根据四边形相等的四边形是菱形即可证明； （2）根据菱得到，由平行得到，再由邻补角即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：由作图可得， ∴四边形是菱形， （2）解：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点8根据菱形的性质与判定求线段长】 【例8】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，由题意可判断出四边形是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出，则平行四边形是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段的长即可． 【详解】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，． 故选：A． 【变式1】．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的判定与性质．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：由作图知， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． 【变式2】．如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接相交于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合旋转的性质可得，，，进而证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明四边形为菱形，易得，再证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理解得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：由绕点按顺时针方向旋转得到， ，，， ，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ， ， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【知识点9根据菱形的性质与判定求面积】 【例9】．如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 【变式1】．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形的面积为：． 故答案为：24． 【变式2】．如图，在中，对角线与相交于点 O ，．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质．根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，得到，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ，， ∴， ， 在中，， ， ， ，即的面积为． ✍ 强化巩固★过关演练 一、选择题 1．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质推出，再结合菱形的性质得，则． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ， 又菱形中，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等边对等角、菱形的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 2．如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（ ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及勾股定理，根据菱形性质得到，，再利用勾股定理求出，进而即可求得． 【详解】∵四边形是菱形，且菱形的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，关键是对角线互相垂直且平分，面积等于对角线乘积的一半．利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，在中应用勾股定理求出，进而得到，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 4．在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 5．已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可． 【详解】解：选择①②③： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴不能判断四边形是菱形， ∴选法不正确； 选择①②④： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择①③④： 同理可证：，得到四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 选择②③④： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴选法正确； 故选：C． 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 7．如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 8．如图，四边形的四边相等，面积为120，，则四边形的周长为（   ） A．52 B．40 C．39 D．26 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，根据题意易证四边形是菱形，连接交于点，根据菱形的面积公式求出，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形的四边相等， ∴四边形为菱形， 连接交于点， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴四边形的周长为． 故选：A． 9．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 二、填空题 10．如图，在菱形中，若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形周长，解题的关键是证明是等边三角形．根据菱形的性质以及得出，即可得出是等边三角形，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长是， 故答案为：． 11．如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 故答案为：6． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，再根据菱形的面积即可得出. 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ． 故答案为： 13．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 14．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【答案】四条边都相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形”与“由四边形直接判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征． 先回顾菱形的三类判定方法：一是平行四边形一组邻边相等；二是平行四边形对角线互相垂直；三是四边形+四条边都相等（或对角线互相垂直且平分）．题目中是从“四边形”直接推导为“菱形”，需排除依赖“平行四边形”前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可． 【详解】解：题目要求“四边形”直接成为“菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条件，因此符合要求的条件可为“四条边都相等”（或“对角线互相垂直且平分”）． 故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）． 15．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【详解】解：需添加的一个条件是，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 16．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 18．如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查剪纸问题，矩形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是求出菱形的对角线的长．由折叠可知，得到的四边形是菱形，求出菱形的对角线，可得结论． 【详解】解：由折叠可知，得到的四边形的对角线互相垂直平分， ∴这个四边形是菱形， ∵原来矩形的长为，宽为， ∴可得菱形的对角线分别为和， ∴菱形的面积， 故答案为：24． 三、解答题 19．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据菱形的性质可知，，因为，则可求，进而可求． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握“菱形对角线的性质及矩形与菱形的线段转化，结合勾股定理计算对角线长度”是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，得，再结合菱形对边相等证； （2）利用矩形性质得，结合勾股定理求，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积． 【详解】（1）解：， 四边形是平行四边形， 菱形的对角线交于点， ∴， ， 平行四边形是矩形， ， 菱形中，， ； （2）解：四边形是矩形， ， ∴在中，， 菱形中，， ， 菱形的面积， 故答案为：． 21．如图，在菱形 中，对角线，，求菱形的边长和面积．    【答案】菱形的边长为；面积为 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，勾股定理求得边长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形边长； 面积． 22．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合菱形的性质，等边对等角，得，整理得，又因为，得，故，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键. （1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得利用菱形的判定即可证得结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后求出矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线，相交于点， ，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)添加，可使四边形是菱形（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）添加，可使四边形是菱形，理由：先根据平行线的判定与性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：添加，可使四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 25．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 26．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3菱形寒假预习必备讲义（苏科版） ☞预习内容速览 1.课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3.聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳课前预习目标 1.熟记菱形的定义，能准确说出菱形的核心特征； 2.能按边、角、对角线、对称性四个维度，梳理菱形的性质，区分 “平行四边形； 3.运用菱形的边、对角线性质，解决简单的周长、边长、对角线长度计算问题； 4.能通过动手画图（如画互相垂直且平分的线段构造菱形），直观感知菱形的形成过程，建立几何图形与性质的关联。 ☘基础知识★梳理归纳 【知识点1菱形的定义】 ●定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（关键）） 【重点提示】：(1)是平行四边形；（2）一组邻边相等；（缺一不可） 【知识点2菱形的性质】 ●菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质； ★菱形特有性质：（1）四条边都相等；（2）两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。 性质 数学语言 图示 边 菱形的四条边都相等 四边形ABCD,AB=BC=CD=AD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 四边形ABCD是菱形BD⊥AC ∠ABD=∠CBD,∠ACB=∠ACD,∠BAC=CAD,∠ADB=∠CDB,∠ 对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴 【知识点3菱形的判定方法】 1.定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3. 四条边相等的四边形是菱形。 【易错提醒】：仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须先证为平行四边形！几何表达：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是菱形 【知识点4菱形的面积公式】 菱形的面积=底×高（菱形是平行四边形）； 菱形的面积=对角线长的乘积的一半(菱形的对角线互相垂直) 【提示】对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半. 【知识点5菱形与平行四边形、矩形的核心对比】（易混点梳理） 图形 共性（平行四边形） 特有特征（核心区分点） 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称 无特有特征，一般的四边形 0条 菱形 继承所有平行四边形共性 边：四条边相等；对角线：互相垂直且每一条对角线平分一组对角；角；对角相等，邻角互补 2条（对角线所在直线） 矩形 继承所有平行四边形共性 角：四个角都是直角；对角线：互相平分、相等 2条（对边中点连线） 【核心结论】菱形的特殊性在边和对角线，矩形的特殊性在角和对角线；三者均为中心对称图形，菱形和矩形为轴对称图形。 【知识点6菱形的高频易错点】 ★误认为 “对角线互相垂直的四边形是菱形”（遗漏前提：必须是平行四边形）； ★忽略菱形 “对角线平分一组对角” 的性质，在角度计算中出错； ★面积计算时，忘记对角线乘积的一半要除以 2，直接用对角线相乘。 ✔解题技巧 涉及菱形对角线的计算 / 证明，优先利用 “垂直平分” 构造直角三角形，结合勾股定理求解边长、对角线长度； 若菱形中有一个内角为60∘/120∘，连接短对角线可形成等边三角形，利用等边三角形性质简化计算； ✏聚焦题型★提升能力 【知识点1利用菱形的性质求角度】 【例1】．如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【变式2】．在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形中，是边上的中点，与对角线相交于点，如果，则一定有．为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空： 第一步：利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：利用三角形的全等证明她的猜想． 证明：四边形是菱形 ， ① ， ② ， 是中点， ， ③ ， 在和中， ， ， ， 【知识点2利用菱形的性质求线段长】 【例2】．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式1】．如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为 ． 【变式2】．如图，点O是矩形的对角线的交点，菱形的周长为8，求矩形的面积． 【知识点3利用菱形的性质求面积】 【例3】．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】．图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【变式2】．已知菱形的边长为，，对角线相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 【知识点4利用菱形的性质证明】 【例4】．如图所示的是伸缩电动门的一部分．电动门在开、关的过程中，四边形始终是菱形，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．对称性：菱形是 图形，有 条对称轴． 【变式2】．如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：． 【知识点5证明四边形是菱形】 【例5】．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【变式1】．在平行四边形中，、是两条对角线．现有四个条件：①；②；③；④．其中可以推出平行四边形是矩形的有 ．（写出符合题意的全部序号） 【变式2】．如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【知识点6添一个条件使四边形是菱形】 【例6】．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【 变式1】．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【变式2】．如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【知识点7根据菱形的性质与判定求角度】 【例7】．如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【变式2】．小美同学按如下步骤作四边形：第一步：画；第二步：以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；第三步：分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；第四步：连接． (1)由以上作图可知，四边形的形状是___________； (2)若，求的大小． 【知识点8根据菱形的性质与判定求线段长】 【例8】．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 【变式1】．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为 ． 【变式2】．如图，中，，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接相交于点D． (1)求证：； (2)若，求的长． 【知识点9根据菱形的性质与判定求面积】 【例9】．如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【变式1】．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为 ． 【变式2】．如图，在中，对角线与相交于点 O ，．若，求的面积． ✍ 强化巩固★过关演练 一、选择题 1．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（ ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 3．在菱形中，对角线与相交于点O，若，，则菱形的面积是（   ） A．24 B．60 C．120 D．240 4．在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知四边形中，与相交于点，下列条件：①；②；③；④，从以上条件中任选三个，能判定四边形是菱形的选法有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形的四边相等，面积为120，，则四边形的周长为（   ） A．52 B．40 C．39 D．26 9．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在菱形中，若，，则的周长是 ． 11．如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是 ． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为 ． 13．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为 ． 14．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 15．如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加的一个条件是 ． 16．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为 ． 17．如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是 把你认为正确的结论的序号都填上． 18．如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为 ． 三、解答题 19．如图，是菱形的对角线，点E在边上，连接，若，，求的度数． 20．如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，菱形的面积为______． 21．如图，在菱形 中，对角线，，求菱形的边长和面积．    22．如图，菱形的对角线交于点O，延长至点F、E，连接．求证：． 23．如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 24．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 25．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 26．如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $