精品解析：山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题

青岛五十八中2023级高三年级期末质量检测 数学 2026.01 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式后，根据补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由，得：，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 4. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义计算即可. 【详解】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 故选：C. 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式求数列的前几项，观察可得数列的周期性，可得. 【详解】因为，，， ，… 所以数列是以3为周期的周期数列. 所以. 故选：C 6. 已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出m的取值范围，再根据离心率的定义求出其表达式，结合不等式性质即可求得答案. 【详解】由方程表示焦点在x轴上的双曲线， 得，即得， 故双曲线的离心率为， 由于，故，故. 故选：C 7. 若，其中，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，设，而，再结合组合计数问题求解. 【详解】依题意，，设，而， 则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给， 所以满足条件的的个数为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差是5 B. 这组数据的中位数是4.5 C. 这组数据的第80百分位数是5.5 D. 这组数据的方差是4.25 【答案】BD 【解析】 【分析】把数据从小到大排序，结合极差、中位数，百分位数，以及平均数和方差的计算公式，逐项计算求解，即可得到答案. 【详解】根据题意，把数据从小到大排序，可得，共有8个数， 对于A，这组样本数据的极差为，所以A错误 对于B，根据数据中位数的定义，可得样本数据的中位数为，所以B正确； 对于C，由，所以样本数据的第80百分位数为数据的第7个数， 即第80百分位数为，所以C错误； 对于D，由平均数的计算公式，可得， 所以方差为： ，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知曲线，则曲线的图形满足（ ） A. 关于轴对称 B. 曲线上的点到原点距离最大值为2 C. 关于原点对称 D. 所围成图形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点满足曲线方程，可判断AC选项；画出曲线在第一象限内的图形计算曲线上的点到原点距离最大值，可判断B；根据对称性，计算出曲线所围成图形的面积，可判断D． 【详解】设是曲线上任意一点，由于曲线方程为， 所以都满足曲线方程， 所以曲线的图形满足关于轴对称、关于轴对称、关于原点对称，故AC选项正确． 当时，曲线方程为，即， 是圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 如下图阴影部分所示． 阴影部分是由一个等腰直角三角形和一个半圆组合而成， 曲线上的点到原点距离最大值即为，故B选项错误．； 其面积为， 根据对称性可知，曲线所围成图形的面积为．故D选项错误． 故选：AC 11. 已知函数图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的性质结合函数的性质判断即可. 【详解】设函数图象上的三个不同点为，，. 因为纵坐标依次成等比数列，所以. 选项A：，，. . 当，即（且）时， ， 满足，故A正确. 选项B：，，. ， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以，所以，故B错误. 选项C：，，. ， ， ，令，则， 即， 整理得， 又，所以，即. 所以对任意实数，均能取到，满足，故C正确. 选项D：定义域为.，，. ，. 令. 只需证，，函数存在零点即可，取， 当时，, 当时，，， ，故， 所以当时，， 由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点， 即存在不同的三点满足条件，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算可得． 【详解】由得 根据，得． 故答案为： 13. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数，构造新函数求出值。 【详解】由已知曲线与曲线只有一个公共点， 得方程只有一个实数解，而，， 则，即， 故，令， 则， 而在单调递增，且， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 而当时，；当时，， 所以． 故答案为：1 14. 如图，有一款合成2048游戏．游戏规则如下：在一个的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4．手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块．当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为__________． 2 4 16 8 16 32 64 1024 512 256 128 【答案】511 【解析】 【分析】要合并运算次数最少，则每次均出现数字4时，合并次数最小，据此主算即可. 【详解】由题意可知算式只需出现1次，而算式中有2个1024， 故算式需出现次， 算式需出现次，以此类推，算式需出现次， 故每次出现的都是数字，最少合并运算的次数是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解； （2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得，结合面积公式求解. 【小问1详解】 由 可得：， 即, 即， 又， 所以， 所以，即， 又, 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以， 又，可得：， 由， 解得：， 所以. 16. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 17. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）先确定个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果； （2）先确定的可取值为，然后计算出不同取值的概率，注意的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望. 【小问1详解】 记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件， 先确定个不同数字的小球，有种方法， 然后每种小球各取个，有种取法， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，的可取值为， 当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球， 所以， 所以的分布列为： 所以. 18. 如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形． （1）若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； （2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明：由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α． 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系， 设，则，， 因为，所以， 即，又P，Q的坐标分别为， 所以 【解析】 【分析】（1）（i）先计算正六边形的面积，再根据锥的体积公式即可求解； （ii）建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解； （2）由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α． 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，由，得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 （i）因为O到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为， 所以正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为， 且P到⊙C的距离为6，所以六棱锥的体积为； （ii）以C为原点，为轴，的中垂线为y轴，PQ为z轴建系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则 令＝1，得， 设平面的一个法向量 则， 令＝1，得， 所以． 【小问2详解】 略 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. 【小问3详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛五十八中2023级高三年级期末质量检测 数学 2026.01 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，其中，则＝（ ） A. B. C. D. 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差是5 B. 这组数据的中位数是4.5 C. 这组数据的第80百分位数是5.5 D. 这组数据的方差是4.25 10. 已知曲线，则曲线的图形满足（ ） A. 关于轴对称 B. 曲线上的点到原点距离最大值为2 C. 关于原点对称 D. 所围成图形的面积为 11. 已知函数图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，，则______． 13. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则______． 14. 如图，有一款合成2048游戏．游戏规则如下：在一个的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4．手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块．当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为__________． 2 4 16 8 16 32 64 1024 512 256 128 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 16. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 17. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望． 18. 如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形． （1）若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； （2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $