第 11课时：相交线与平行线小结与复习学案 2025-2026学年 人教版七年级数学下册

第11课时：相交线与平行线小结与复习（答案附在题后） 一、教学目标 1.进一步熟悉相交线所成的角及其基本结论. 2.进一步理解垂线、垂线段的概念及性质，点到直线的距离. 3.熟练掌握三线八角(同位角、内错角、同旁内角)，两直线平行的判定及其应用. 4.熟练掌握平行线的性质及一些结论，并会应用. 5.平移的特征并会应用其解决问题. 6.素养目标：培养学生的概括和逻辑推理能力素养. 二、教学重点、难点 重点：相交线与平行线的相关知识. 难点：灵活运用平行线的判定和性质进行逻辑推理，解决综合性问题. 三、教学过程 知识结构图 考点一 相交线 例1 如图，AB⊥CD于点O，直线EF过O点，∠AOE＝65°，求∠DOF的度数. 解：∵ AB⊥CD，∴ ∠AOC＝90° ∵ ∠AOE＝65°，∴ ∠COE＝25° ∵ ∠COE＝∠DOF (对顶角相等) ∴ ∠DOF＝25° 针对训练（答案附在题后面） 1.如图(1)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝80°，∠1＝30°，则∠2＝____. 2.如图(2)，直线AB、CD相交于O，∠AOC＝70°，EF平分∠COB，则∠COE＝_____. 参考答案： 1、50° 2、125° 考点二 点到直线的距离 例2 如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直线(线段) 的距离的线段有( ) A条 B.3条 C.4条 D.5条 针对训练 3.如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，CD＝4.8 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm， 则点C到AB的距离是_____ cm；点A到BC的距离是_____cm；点B 到AC的距离是_____ cm. 参考答案： 3、B 4、4.8,6,8. 方法总结 点到直线的距离容易和两点之间的距离相混淆.当图形复杂不容易分析出是哪条线段时，准确掌握概念，抓住垂直这个关键点，认真分析图形是关键. 考点三 平行线的性质和判定 例3 (1)如图所示，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数. 解：∵∠1＝∠2＝72° ∴ a∥b (内错角相等，两直线平行) ∴ ∠3＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∵ ∠3＝60° ∴ ∠4＝120° (2)如图，已知∠DAC＝∠ACB，∠D＋∠DFE＝180°.求证：EF∥BC. 证明：∵ ∠DAC＝∠ACB (已知) ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行) ∵ ∠D＋∠DFE＝180°(已知) ∴ AD∥EF (同旁内角互补，两直线平行) ∴ EF∥BC (平行于同一条直线的两条直线互相平行) 方法总结 平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直线平行，进而再得出其他角之间的关系，或是由直线平行得到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直线平行. 针对训练 4.如图(4)，若∠3＝∠4，则____∥____；若AB∥CD，则∠___＝∠___. 5.如图(5)，∠D＝70°，∠C＝110°，∠1＝69°，则∠B＝____. 6.如图(6)，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝50°，则∠AEG＝____. 7.如图(7)，AB∥CD，∠A＝30°，AE⊥CE，则∠C＝____. 8.如图(8)，AE∥CD，∠EBF＝135°，∠BFD＝60°，∠D＝____. 9.如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B＋∠DAB＝180°.求证：∠E＝∠3. 参考答案： 4、AD∥BC ∠1＝∠2 5、69° 6、80°，7、60°8、15° 9、证明：∵ CE平分∠DCB (已知) ∴ ∠1＝∠2 (角平分线的定义) ∵ AB∥CD (已知) ∴ ∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等) ∴ ∠1＝∠3 (等量代换) ∵ ∠B＋∠DAB＝180°(已知) ∴ DE∥BC (同旁内角互补，两直线平行) ∴ ∠E＝∠1 (两直线平行，内错角相等) ∴ ∠E＝∠3 (等量代换) 考点四 命题 例4 命题“绝对值相等的两个数互为相反数”. (1)将这命题改写成“如果…那么…的形式； (2)写出这命题的题设和结论； (3)判断该命题的真假. 解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数； (2)题设：两个数的绝对值相等，结论：这两个数互为相反数； (3)绝对值相等的两个数可能互为相反数，也可能相等，所以该命题为假命题. 针对训练 10.命题“如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”的题设是___________________，结论是______________，它是____(填“真”或“假”)命题. 参考答案：10、∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠3 ，真命题 考点五 平移 例5 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是( ) 答案：D 针对训练 11.如图所示，△DEF经过平移得到△ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是( ) A.∠F，AC B.∠BOD，BA C.∠F，BA D.∠BOD，AC 12.如图所示，把∠AOB沿着MN的方向平移一定距离后得到∠CPD，已知∠AOM＝30°，∠DPN＝45°，则∠AOB＝____. 参考答案：11、C 12、105° 能力提升 1.【探索发现】 (1)如图①，已知直线AC∥BD，若∠ACP＝30°，∠BDP＝45°， 求∠CPD的度数. 解：如图，过点P作PQ∥AC. ∵ AC∥BD，PQ∥AC ∴ AC∥PQ∥BD ∴ ∠CPQ＝∠ACP，∠DPQ＝∠BDP ∴ ∠CPQ＋∠DPQ＝∠ACP＋∠BDP 即 ∠CPD＝∠ACP＋∠BDP ∵ ∠ACP＝30°，∠BDP＝45° ∴ ∠CPD＝∠ACP＋∠BDP＝75° 【归纳总结】 (2)根据(1)中的问题，直接写出图中∠ACP，∠BDP，∠CPD之 间的数量关系：________________________. 答案： ∠CPD＝∠ACP＋∠BDP (3)如图②，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点A 铺设到点B时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物， 计划改为沿南偏东30°方向埋设到点C，再沿障碍物边缘埋设 到点D处，测得∠BCD＝65°.若要恢复原来的正东方向DE，则 ∠CDE应等于多少度？ 解：如图，过点D作DF⊥DE，则BM∥DF，∠EDF＝90° 由(2)得∠BCD＝∠CBM＋∠CDF ∵ ∠BCD＝65°，∠CBM＝30° ∴ ∠CDF＝∠BCD－∠CBM＝65°－30°＝35° ∴ ∠CDE＝∠CDF＋∠EDF＝35°＋90°＝125° 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 六、课堂检测 一、选择题 1、如图，若m∥n，∠1=105 o，则∠2= （ ） A、55 o B、60 o C、65 o D、75 o 2、邻补角是（ ） A. 和为180°的两个角 B. 有公共顶点且互补的两个角 C. 有一条公共边且相等的两个角 D. 有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 3、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，若∠COE=55°，则∠BOD的度数为（ ） A. 40° B. 45° C. 30° D. 35° 4、 如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是（ ） A. 过两点只有一条直线 B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 垂线段最短 D. 过一点只能作一条垂线 5、如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1、直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC+∠BOD=90°，则∠BOC= 2、在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a c 3、如右图，，且，，则的度数是_______ 4、如图，量得∠1=80°,∠2=80°，由此可以判定 ∥ ， 它的根据是 。 量得∠3=100°，∠4=100°，由此可以判定 ∥ ， 它的根据是 5、两直线平行，一组同位角的角平分线的位置关系是 . 三、将以下各推理过程的理由填入括号内。 1、 如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。 解：∵EF∥AD， ∴∠2= （ ） 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥ （ ） ∴∠BAC+ =180 o（ ） ∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= 。 2、 如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的关系。 解：AB∥CD，理由如下： 过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（ ） ∵∠BED=∠B+∠D ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（ ） ∴AB∥CD（ ） 拓展提高 1、EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。 2.如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°.点E、F在射线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF. (1)求∠EOB的度数； (2)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化，找出变化规律，若不变，求出这个比值； (3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数，若不存在，请说明理由. 课堂检测答案： 一、1、D 2、D 3、D 4、B 5、B 二、1、135° 2、 a ∥ c 3.70° 4、如图，量得∠1=80°,∠2=80°，由此可以判定 AB ∥ CD ， 它的根据是 同位角相等，两直线平行 。 量得∠3=100°，∠4=100°，由此可以判定 EF ∥ GH ， 它的根据是 同旁内角互补，两直线平行 5、 平行 三、 1、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。 解：∵EF∥AD， ∴∠2= ∠3 （ 两直线平行，同位角相等） 又∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥ GD （ 内错角相等，两直线平行 ） ∴∠BAC+∠ DGA =180 o（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠BAC=70 o，∴∠AGD= 110° 。 2、如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的关系。 解：AB∥CD，理由如下： 过点E作∠BEF=∠B ∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行） ∵∠BED=∠B+∠D ∴∠FED=∠D ∴CD∥EF（ 内错角相等，两直线平行） ∴AB∥CD（ 平行于同一直线的两直线平行） 四、 1、 证明：∵EB∥DC，∠C=∠E ∴∠EBA=∠E ∴ AC∥ED 得 ∠A=∠ADE（两直线平行，内错角相等） 2、 （1）40°（2）不变， ∠OBC:∠OFC的值是1:2 （3）60° 解析：（1）根据OB平分∠AOF，OE平分∠COF，即可得出∠EOB=∠EOF+∠BOF=½∠COA，从而得出答案（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根据∠FOA=∠BOF+∠BOA=2∠BOA，即可得出∠OBC:∠OFC的值是1:2。（3）根据（2）解答即可。 学科网（北京）股份有限公司 $