精品解析：四川省泸州市龙马潭区泸化中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

高 2025 级高一年级上学期质量监测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形面积公式即可求解； 【详解】， 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解. 【详解】， 故选:A． 5. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性及单调性，利用排除法求解. 【详解】因为， 所以函数图象关于直线对称，排除BD； 当时，，令，则为增函数，为减函数， 根据复合函数的单调性可知，当时，单调递减，故排除C. 故选：A 7. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 8. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，，，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用幂函数与指数函数的性质判断BD的真假，利用特例说明AC未必成立. 【详解】对A：取，，则满足，但，故未必成立； 对B：因为函数在上单调递增，所以当时，必有； 对C：取，，则满足，但，故未必成立； 对D：因为函数在上单调递增，所以当时，必有. 故选：BD 10. 对于函数，，下列结论正确的有（ ） A. 当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 当时，的图像关于点中心对称 C. 当时，在区间上是单调函数 D. 若恒成立，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的平移规律，以及诱导公式判断A，根据代入法，结合三角函数的性质判断BC，由函数的最值，求的取值集合，即可判断D. 【详解】A.的图象向右平移个单位得到，故A正确； B.时，，，故B正确； C.当时，，此时函数先增后减，故C错误； D.由条件可知，时，函数取得最大值，即, 此时，且，所以的最小值为2，故D正确. 故选：ABD 11. 函数的定义域为，区间，若在上的值域是，则称为的“-跟随区间”，下列结论正确的是（ ） A. 函数的一个“跟随区间”是 B. 函数一定存在“跟随区间” C. 函数存在“3-跟随区间” D. 若函数存在“跟随区间”，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算在上的值域即可判断选项正误；对于B，由图象与图象交点情况可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，问题等价于为方程的两根，求最大值，由韦达定理，结合配方可判断选项正误. 【详解】对于A，时，在上单调递减，则其在上值域为： ，故A正确； 对于B，若存在“跟随区间”，设为，又在R上单调递增， 则由“跟随区间”定义可得，即图象与有2个不同交点， 但显然随着的改变，图象与可能相切，可能有2个不同交点，也可能没有交点，故B错误； 对于C，取区间，因，则上上单调递增， 则其在上值域为：，即函数存在“3-跟随区间” ，故C正确； 对于D，，则在上单调递增， 若函数存在“跟随区间”，不妨，则， 化简可得为方程的两根， 其判别式， 由韦达定理：， 则 ，当时取等号，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可． 【详解】原式 故答案为：． 13. 对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】作出函数图象并化简函数，即可得出函数的最大值. 【详解】由题意， 做出函数图象如下图所示： 在中，令，解得， 则，当时，， 当时，， ∴当时，函数最大，最大值是， 故答案为：. 14. 已知函数，函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出值域，根据题意转化为值域的包含关系，列出不等式求解. 【详解】因为的对称轴方程为， 所以时，， 即函数的值域为. 因为在上是增函数， 所以当时，，即函数值域为. 因为，，使得成立， 所以，即，解得. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为，集合，集合. （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式化简集合，再根据集合交集、并集的概念求解即可； （2）先根据补集的概念求，解一元二次不等式求集合，再根据集合的包含关系求解即可. 【小问1详解】 解不等式即，所以解得， 则， 当时，或， 所以或. 【小问2详解】 由（1）知或， 由得或， 因为，所以， 所以， 即实数的取值范围是. 16. 已知不等式的解集为或. （1）求实数、的值； （2）若，，，并且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为不等式的解集为或，则， 所以，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得，由，可得， 综上所述，，. 【小问2详解】 解：因为，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 17. 西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足. （1）求常数的值； （2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，) 【答案】（1） （2）7分钟 【解析】 【分析】（1）由题意当时，即可求解； （2）由（1）得到，令，求解即可. 【小问1详解】 茶水温度从开始， 即当时，，解得； 【小问2详解】 当时，， 当时，，即， ， 故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感． 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义法证明； （3）若不等式在恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数是实数集上的减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的单调性、奇函数的性质，结合同角的三角函数关系式、函数单调性的性质，利用构造新函数法进行求解即可. 【小问1详解】 因为定义域为的函数是奇函数， 所以 . 【小问2详解】 函数是实数集上减函数，证明如下： 由（1）可知， 设是任意两个实数，且， ， 因为， 所以， 所以， 所以函数是实数集上的减函数. 【小问3详解】 因为函数是实数集上的奇函数， 所以由不等式 ， 由（2）可知：函数是实数集上的减函数， 所以由 ， 因为，所以， 所以由， 所以原问题转化为在时恒成立， 设，， ， 当时，函数是增函数，且， 由复合函数单调性的性质可知函数也是增函数， 所以函数也是增函数，，即， 所以要想在时恒成立， 只需，所以的取值范围为. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 【答案】（1）不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“， （2）实数的取值范围为； （3）整数的取值集合为 【解析】 【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解； （2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围； （3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围. 【小问1详解】 由题可知，则， 则，因为恒成立， 不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”； ，， 若，则， 故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”； 【小问2详解】 因为是幂函数，则，所以， 故，所以， 则，所以，因为且， 所以在上有非零实数解，则且， 令，且，令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且，， 故， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 由定义可得，，则， 所以在上存在非零实数解， 令，，故， 即方程在开区间上存在非零实数解， 令，，对称轴为， 当时，，满足题意； 当时，则， 所以，故； 当时，则， 即，即. 综上，，则满足整数的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 2025 级高一年级上学期质量监测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 函数的零点所在区间为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，，下列结论正确的有（ ） A. 当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 当时，的图像关于点中心对称 C. 当时，在区间上是单调函数 D. 若恒成立，则的最小值为2 11. 函数的定义域为，区间，若在上的值域是，则称为的“-跟随区间”，下列结论正确的是（ ） A. 函数的一个“跟随区间”是 B. 函数一定存“跟随区间” C. 函数存“3-跟随区间” D. 若函数存在“跟随区间”，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______ ． 13. 对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是__________. 14. 已知函数，函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为，集合，集合. （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围. 16. 已知不等式的解集为或. （1）求实数、的值； （2）若，，，并且恒成立，求实数的取值范围. 17. 西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足. （1）求常数的值； （2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，) 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数值； （2）判断函数的单调性，并利用定义法证明； （3）若不等式在恒成立，求的取值范围. 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $