1.3乘法公式题型突破 (九题型) 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式题型突破2025-2026学年北师大版 七年级下册(九题型) 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 2.在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 3．下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b﹣1）（a﹣b+1） B．（﹣a﹣b）（﹣a+b） C．（a+b2）（b2﹣a） D．（2x+y）（x﹣y） 4．下列各式能用平方差公式计算的是（       ） A． B． C． D． 5．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b） 题型二：运用平方差公式进行运算 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 2．化简：______． 3.计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）；（2）（x3+2）（x3﹣2）：（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 4.利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x﹣）（x2+）（x+）． 5.运用平方差公式计算： (1)；(2) 题型三：运用完全平方公式进行运算 1．下列运算正确的是（　　） A．（1+2a）2＝1+2a+4a2 B．a2+a3＝a5 C．（2a3）3＝6a9 D．a3•（﹣a）5＝﹣a8 2．下列等式不能恒成立的是( )． A. B. C. D. 3.计算：（    ） A． B． C． D． 4. 下列各式中，的展开式正确的是（ ） A. B. C. D. 5．运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 题型四：利用乘法公式进行运算 1．计算： ． 2．计算：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3） 3．计算：． 4．利用乘法公式进行计算： 5.计算： （1）（3x﹣2y﹣1）2； （2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）2． 题型五：利用乘法公式进行简便运算 1.用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 2．计算：1232﹣124×122． 3.用简便方法计算：2022+202×196+982． 4.运用乘法公式计算： （1）；（2）1.352+2×1.35×2.65+2.652． 5.利用平方差公式计算： （1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997． 6．运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 题型六：乘法公式面积验证 1．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 2.如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（　　） A．a2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 3．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 4.如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 5.如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 题型七：与乘法公式有关的化简求值问题 1．先化简，再求值：（x+y）（x-y）+（x+y）2，其中x=2，y=3． 2．先化简，再求值：（x-2y）（x-2y）-x（x+3y）-4y2，其中：x=-4，y= 3．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=. 4．先化简，再求值：，其中． 5．先化简，再求值：，其中x= -1，． 题型八：通过对完全平方公式变形求值 1.已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 2.已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代数式的值． （1）a2+b2； （2）（a+b）2． 3.已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）a4+b4． 4．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值． 题型九：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1.两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（　　） A．30 B．34 C．40 D．44 2.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 3．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（　　） A．8 B．9 C．12 D．15 4.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 　 　． 5.如图1，小长方形的长和宽分别为a和b，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放． （1）图2中的四边形EFGH为正方形，其边长为 　 　． （2）能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：　 　＝ 　 　． （3）若x﹣y＝3，xy＝4，求x+y的值． 【答案】 1.3乘法公式题型突破2025-2026学年北师大版 七年级下册（九题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 【答案】B． 2.在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y） C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【答案】D． 3．下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b﹣1）（a﹣b+1） B．（﹣a﹣b）（﹣a+b） C．（a+b2）（b2﹣a） D．（2x+y）（x﹣y） 【答案】D 4．下列各式能用平方差公式计算的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A。 5．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b） 【答案】B． 题型二：运用平方差公式进行运算 1．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A。 2．化简：______． 【答案】 3.计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）；（2）（x3+2）（x3﹣2）：（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 【答案】解：（1）原式＝x2﹣9y2； （2）原式＝（x3）2﹣22 ＝x6﹣4； （3）原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n） ＝﹣（4m2﹣n2） ＝﹣4m2+n2． 4.利用乘法公式计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（+5y）（﹣5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x﹣）（x2+）（x+）． 【答案】解：（1）（2x+y）（2x﹣y） ＝（2x）2﹣y2 ＝4x2﹣y2； （2）（x+5y）（x﹣5y） ＝（x）2﹣（5y）2 ＝x2﹣25y2； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81； （4）（x﹣）（x2+）（x+） ＝（x2﹣）（x2+） ＝x4﹣． 5.运用平方差公式计算： (1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1．下列运算正确的是（　　） A．（1+2a）2＝1+2a+4a2 B．a2+a3＝a5 C．（2a3）3＝6a9 D．a3•（﹣a）5＝﹣a8 【答案】D 2．下列等式不能恒成立的是( )． A. B. C. D. 【答案】D 3.计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 下列各式中，的展开式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5．运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【答案】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y+； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 题型四：利用乘法公式进行运算 1．计算： 【答案】 原式=a2﹣b2+4a2﹣4ab+b2 =5a2﹣4ab． 2．计算：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3） 【答案】 解：（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+3） ＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣9） ＝x2﹣4x+4﹣x2+9 ＝﹣4x+13． 3．计算：． 【答案】 原式． ． 4．利用乘法公式进行计算： 【答案】 解：原式 5.计算： （1）（3x﹣2y﹣1）2； （2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）2． 【答案】解：（1）原式＝[（3x﹣2y）﹣1]2 ＝（3x﹣2y）2﹣2（3x﹣2y）+1 ＝9x2﹣12xy+4y2﹣6x+4y+1； （2）原式＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]﹣[（a﹣c）﹣b]2 ＝（a﹣c）2﹣4b2﹣[（a﹣c）2﹣2b（a﹣c）+b2] ＝（a﹣c）2﹣4b2﹣（a﹣c）2+2b（a﹣c）﹣b2 ＝﹣5b2+2ab﹣2bc． 题型五：利用乘法公式进行简便运算 1.用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 【答案】B． 2．计算：1232﹣124×122． 【答案】解：1232﹣124×122， ＝1232﹣（123+1）（123﹣1）， ＝1232﹣（1232﹣12）， ＝1． 3.用简便方法计算：2022+202×196+982． 【答案】解：2022+202×196+982 ＝2022+2×202×98+982 ＝（202+98）2 ＝3002 ＝90000． 4.运用乘法公式计算： （1）；（2）1.352+2×1.35×2.65+2.652． 【答案】解：（1）原式 ； （2）原式＝（1.35+2.65）2 ＝42 ＝16． 5.利用平方差公式计算： （1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997． 【答案】解：（1）（30+1）（30﹣1）， ＝900﹣1， ＝899； （2）（10﹣0.1）（10+0.1）， ＝100﹣0.01， ＝99.99； （3）（100﹣2）（100+2）， ＝10000﹣4， ＝9996； （4）（1000+3）（1000﹣3）， ＝1000000﹣9， ＝999991． 6．运用完全平方公式计算： （1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92． 【答案】解：（1）632＝（60+3）2 ＝602+2×60×3+32 ＝3600+360+9 ＝3939； （2）982 ＝（100﹣2）2 ＝1002﹣2×100×2+22 ＝10000﹣400+4 ＝9604； （3）700.12 ＝（700+0.1）2 ＝7002+2×700×0.1+0.12 ＝490000+140+0.01 ＝490140.01； （4）499.92 ＝（500﹣0.1）2 ＝5002﹣2×500×0.1+0.12 ＝250000﹣100+0.01 ＝249900.01． 题型六：乘法公式面积验证 1．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 【答案】D． 2.如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（　　） A．a2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】D 3．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab 【答案】C． 4.如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 【答案】C． 5.如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 【答案】C． 题型七：与乘法公式有关的化简求值问题 1．先化简，再求值：（x+y）（x-y）+（x+y）2，其中x=2，y=3． 【答案】 解：（x+y）（x-y）+（x+y）2 =x2-y2+x2+y2+2xy =2x2+2xy 将x=2，y=3代入， 原式=2×22+2×2×3=20． 2．先化简，再求值：（x-2y）（x-2y）-x（x+3y）-4y2，其中：x=-4，y= 【答案】 解：（x-2y）（x-2y）-x（x+3y）-4y2 = x2-4xy+4y2-x2-3xy-4y2 = -7xy 当x = -4，y = 时，原式 = -7×（-4）× = 14． 3．先化简，再求值：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2，其中x=. 【答案】解：（x+3）（x-3）-2x（x+3）+（x-1）2 =x2-9-2x2-6x+x2-2x+1 =-8x-8， 当x=时，原式=-4-8=-12. 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】 = = 把x=-1代入原式=-1+7+6=12 5．先化简，再求值：，其中x= -1，． 【答案】解： ； 当x= -1，时， 原式 ． 题型八：通过对完全平方公式变形求值 1.已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【答案】C． 2.已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代数式的值． （1）a2+b2； （2）（a+b）2． 【答案】解：a﹣b＝3，ab＝1， （1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11； （2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×1＝13． 3.已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）a4+b4． 【答案】解：（1）∵（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6， ∴a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝25+2×（﹣6）＝25﹣12＝13； （2）∵a2+b2＝13，ab＝﹣6， ∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×（﹣6）2＝169﹣72＝97． 4．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值． 【答案】解：∵x2+y2＝26，xy＝3， ∴①x2+y2+2xy＝26+6， （x+y）2＝32； ②∵x2+y2﹣2xy＝26﹣6， ∴（x﹣y）2＝20． 故答案为：（x+y）2＝32，（x﹣y）2＝20． 题型九：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1.两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（　　） A．30 B．34 C．40 D．44 【答案】A． 2.如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C． 3．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（　　） A．8 B．9 C．12 D．15 【答案】A． 4.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 　 　． 【答案】6． 5.如图1，小长方形的长和宽分别为a和b，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放． （1）图2中的四边形EFGH为正方形，其边长为 　 　． （2）能用图2中的图形面积关系来验证的等式是：　 　＝ 　 　． （3）若x﹣y＝3，xy＝4，求x+y的值． 【答案】解：（1）图2中的四边形EFGH为正方形，其边长为a﹣b， 故答案为：a﹣b； （2）图2从“整体”看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2中“中间小正方形”的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，图2中阴影部分的面积和未ab，由图形中面积之间的关系可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （3）由（2）可得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， ∵x﹣y＝3，xy＝4， ∴（x+y）2＝32+4×4＝25， ∴x+y＝5或x+y＝﹣5． 学科网（北京）股份有限公司 $