精品解析：陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试 2028届高一数学试题 一、选择题：每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 所以，故. 故选：D. 2. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可. 【详解】对于命题，取，，是假命题，是真命题， 对于命题，取，，是真命题，是假命题， 因此选项ACD错误，B正确. 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，所以. 故选：C. 4. 已知为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切函数的定义求出，再利用齐次法求解. 【详解】由为角终边上一点，得， 所以. 故选：C 5. 下列函数中，在定义域范围内既是减函数，又是奇函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合函数奇偶性及单调性的定义，对选项进行检验即可判断． 【详解】对于A，的定义域为， ， ，为偶函数，故A错误， 对于B，的定义域为，解得， ，，为奇函数， 令在上是增函数，在定义域内也是增函数， 根据复合函数的单调性可知，在上是增函数，故B错误， 对于C，的定义域为， ，，为奇函数， 又由对勾函数的性质可知在和上是减函数， 在和上是增函数，故C错误， 对于D，， 恒成立， 的定义域为， ， ，为奇函数， 令在上是减函数，在定义域内也是增函数， 根据复合函数的单调性可知，在上是减函数，故D正确， 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 故，即实数的取值范围是. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数的图像，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图像可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图像如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：每题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知非零实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的基本性质判断ABC选项，取特殊值判断D选项. 【详解】∵，∴，∴，A选项正确； 当时，，B选项错误； ∵，∴，C选项正确； 取，则，D选项错误. 故选：AC 10. 若、、是非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项；利用垂直的向量关系可判断C选项；利用向量模的三角不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则， 所以或当时，，C错； 对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的值域为 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上有且仅有5个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点. 【详解】对于A：因为， 所以的最小正周期不是，A错误； 对于B：当，即时，， 因为，所以， 则当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以此时的值域为； 当，即时，， 因为，所以， 当时，，当时，取得最大值， 所以此时的值域为； 综上，函数的值域为，B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 对于D：当时，由，解得或， 当时，由，解得， 又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确； 故选：BCD. 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 已知向量满足，且，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据得，由，两边同时平方得，结合两式计算即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 分析】把展开，将x+2y=7整体代入，利用基本不等式即可解得最小值． 【详解】===≥8，当且仅当xy=4时等号成立． 故答案为8． 【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题． 14. tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用同角三角函数关系实现切化弦，再利用辅助角公式以及正弦的降幂扩角公式，整理化简，即可得到代数式的值. 详解】tan70°·cos10°(tan20°-1)=·cos10° =· = =1. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系以及辅助角公式、降幂扩角公式化简求值，属综合基础题. 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）设函数，求函数在上的最小值的表达式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出所求不等式的解集； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出的表达式. 【小问1详解】 当时，， 由得，解得， 故当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 函数， 函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上单调递增，此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，此时. 综上所述，. 16. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间的单调区间. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的对称性求解. （2）利用余弦函数的单调性求解指定区间上的单调区间. 小问1详解】 函数， 由，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 由，得， 由，得，由，得， 由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 17. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 18. 已知，函数． （1）若 ，求不等式的解集； （2）若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称； （3）若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，得到，利用对数不等式的解法，列出不等式，求解即可； （2）任取 ，化简计算，即可证明结论； （3）将方程进行变形，得到，求出两个根，分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 当a=3时，不等式 ，即， 所以，解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 证明：因为，则函数 的定义域为， 任取，则， 则＝＝， 所以函数 的图象关于点成中心对称； 【小问3详解】 由，可得， 解得， 若 ，则a=1，检验定义域，符合题意； 若 是原方程的解，则； 若 是原方程的解，则，即 ． 因为方程的解集恰有一个元素， 故当 是原方程的解， 不是原方程的解时，则 ； 当 不是原方程的解，是原方程的解时，，又，则， 所以实数a的取值范围为． 19. 在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题： （1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数； （2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 【答案】（1）， （2）长度不能超过米 【解析】 【分析】（1）由题意分别表示出，，，，根据，即可求解. （2）由题意可知对任意角，平板车的长度，记 ，利用函数的单调性即可求出最值. 【小问1详解】 ，，， ， 所以， 【小问2详解】 “平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角，平板车的长度， 记 ，则=， 又则， 所以，所以，即， 则 记，，则， 函数 因为在上都递增， 所以在上都递增， 所以在上的单调递减； 当时取得最小值. 所以长度不能超过米 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试 2028届高一数学试题 一、选择题：每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都真命题 D. 和都是真命题 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为角终边上一点，则（ ） A B. C. D. 5. 下列函数中，在定义域范围内既是减函数，又是奇函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：每题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知非零实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 若、、是非零向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的值域为 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上有且仅有5个零点 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 已知向量满足，且，则___________. 13. 设x＞0，y＞0，x+2y=7，则的最小值为______． 14. tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________. 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）设函数，求函数在上的最小值的表达式. 16. 已知函数. （1）求函数的对称中心； （2）求函数在区间的单调区间. 17 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 18. 已知，函数． （1）若 ，求不等式的解集； （2）若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称； （3）若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围． 19. 在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题： （1）若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面长表示为的函数； （2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $