精品解析：四川省叙永第一中学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

2025年秋期高二高考文考期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 4. 已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，若，，，则（    ） A. B. C. D. 6. 黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点F为椭圆的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 直线在轴上的截距是 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D. 点关于点的对称点为 10. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 11. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的焦距等于______. 13. 已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______． 14. 已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为_____. 15. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 16. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. （1）试估计消费金额的84%分位数. （2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 17. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点． （1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值； （2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值． 18. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点． （1）求的方程； （2）直线与有且只有一个公共点，求的值； （3）直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 19. 已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. （1）求椭圆和双曲线的方程； （2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期高二高考文考期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效. 3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程. 【详解】抛物线的方程可化为x2y 故 其准线方程为y 故选：D 2. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算求出复数，可明确其虚部. 【详解】因为. 所以复数的虚部为. 故选：B 3. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 4. 已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据和事件、相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【分析】依题意，与是相互独立的随机事件， . 故选：D 5. 在直三棱柱中，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱柱的结构特征及向量的加减法则，应用空间向量的基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】根据棱柱的结构特征及向量的加减法则知. 故选：B 6. 黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”，先由对立事件求得再根据一般事件的概率加法公式即可求得结果. 【详解】记事件 为“选择景点 ”，事件 为“选择景点 ”， 则事件为“两个景点都不选”，事件为“两个景点都选”. 由题意得， 由得，， ∴. 故选：B. 7. 已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意结合圆锥的特征计算可得，，再由圆锥体积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，所以， 因为，所以，所以圆锥的高为， 则该圆锥的体积为， 故选：D. 8. 已知点F为椭圆的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用椭圆的定义和几何性质以及圆的几何性质可得、、，进而，即可求解. 【详解】如下图所示： 在椭圆中，，则， 圆的圆心，半径， 圆心为椭圆C的左焦点， 由椭圆定义可得， 由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以， 所以的最小值是． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 直线在轴上的截距是 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D. 点关于点的对称点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项根据倾斜角和斜率概念可知，B选项将代入求解即可， C选项求出横纵截距再代入面积公式即可，D选项根据中点坐标公式可以求解. 【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，A正确； 直线与轴的交点是，故在轴上的截距是，B正确； 直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 设对称点为，则，可得对称点为，D正确． 故选：ABD 10. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项A的正误；根据三棱锥的体积公式，判断选项B的正误；根据向量法求线面角，判断选项C的正误；根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项D的正误；判断结果即可. 【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面， 根据三垂线定理可知， 因为，所以平面，所以A选项正确； 对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的， 所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误； 对C选项，以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示： 则，设， 所以，， 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 当时，可得， 化简得，解得或（舍）， 所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确； 对D选项，可知， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 以为直径的圆与准线相切 B. 若点，则的最小值为5 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 点为线段中点，则点的坐标可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D. 【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为； 设，的中点， 则到准线的距离为，， 所以以为直径的圆与准线相切，故A正确； 过点作垂直于准线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 由得， 所以，， 所以，故C错误； 假设点的坐标为，则， 由直线与抛物线交于两点得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 即，点在直线上， 由得，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的焦距等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，则， 所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 13. 已知某中学老年教师的“亚健康”率为50％，中年教师的“亚健康”率为30％，青年教师的“亚健康”率为15％．若该中学共有60名老年教师，100名中年教师，200名青年教师，则该校教师的“亚健康"率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接求出该校教师的“亚健康"率即可. 【详解】根据题意，该校教师的“亚健康”率为： ％． 故答案为：. 14. 已知直四棱柱的各棱长均为2，，设棱，的中点分别为，，若底面内一动点满足，则的运动轨迹长度为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据，得出点在以为直径的球与底面的交线上，再通过建立空间直角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出. 【详解】由，知，所以点在以为直径的球与底面的交线上. 以为坐标原点，垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，故球的直径长为， 球心为的中点. 因为球心到底面的距离为1， 所以底面截球所得圆的半径为，圆心为， 则在以为直径的圆与菱形的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形中，则， 实际交线为劣弧和劣弧， 易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等， 则， 故的运动轨迹长为. 故答案为:. 15. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 16. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图. （1）试估计消费金额的84%分位数. （2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率. （3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案. 方案一：每满80元可减8元； 方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折. 若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠. 【答案】（1）92 （2） （3）方案二更优惠 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数. （2）利用古典概型求对应事件的概率. （3）分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案. 【小问1详解】 先计算各区间的频率： ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为； ：频率为；：频率为. 因为，. 所以消费金额的分位数位于之间. 由. 所以消费金额的分位数为. 【小问2详解】 5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人）， 从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种， 至少有1人消费不低于100元的抽法有：种， 设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则. 【小问3详解】 游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元； 按方案二，购买10千克水果，需花费：元. 所以游客应该选择方案二更优惠. 17. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点． （1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值； （2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值． 【答案】（1）.（2）1 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2，由AN＝λ，设N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，由|cos〈，〉|＝＝＝求解. 【详解】（1） 因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直． 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． 又因为M为PC的中点，所以M(1，1，2)． 所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝， 所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为. （2） 因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)， 则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)． 设平面PBC的法向量为＝(x,y,z)， 则即 令x＝2，解得y＝0，z＝1， 所以＝(2，0，1)是平面PBC的一个法向量． 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为， 所以|cos〈，〉|＝＝＝， 解得λ＝1∈[0，4]， 所以λ的值为1. 【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点． （1）求的方程； （2）直线与有且只有一个公共点，求的值； （3）直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程代入点计算即可求出标准方程； （2）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得的值； （3）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程可得的值. 【小问1详解】 由已知，则， 代入点得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 【小问3详解】 设，，如下图所示： 联立，化简得， 由，解得，且； 所以 原点到直线的距离 所以的面积为； 解得. 19. 已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. （1）求椭圆和双曲线的方程； （2）直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程. 【答案】（1）椭圆：，双曲线：； （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆、双曲线几何性质求出的值，即可得方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据得，求出，坐标代入上式即可. 【小问1详解】 对于椭圆，已知焦点坐标为， 则，. 对于双曲线，渐近线方程为，所以，即. 联立，将代入得，解得，， 所以椭圆的方程为，双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，消去y得. 因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以， 化简得. 设，由韦达定理，则. 当时，无不同的两点A，B，与题意不符； 当时，过点M且与l垂直的直线方程为. 可得，，即， 代入得：， 故点N的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $