浙江杭州高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

2025学年第一学期杭高期末考试高三 （数学）试题卷 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方。 3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。 4. 考试结束后，只需上交答题纸。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】，因此，. 2．已知复数，，则复数的模等于（ ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】 3．已知向量满足，，，则（ ） A． B． C． D． 3．【答案】C 【解析】，则． 又，因此． 4．函数的图象是（ ） A． B． C． D． 4．【答案】B 【解析】图象过点,时， 5．记为数列的前项积，已知，则= （ ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】则，代入， 化简得：，则，故选D. 6．甲、乙、丙人去食堂用餐，每个人从这种菜中任意选用种，则菜有人选用、菜有人选用的情形共有（ ） A． B． C． D． 6．【答案】C 【解析】菜有人选用有种，比如甲、乙选用了菜， ①甲、乙之中有人选用了菜，有种，比如甲用了菜，则乙从中任意选用 种，有种，丙从中任意选用种，有种，故共有 ②丙选用了菜，丙再从中任意选用种，有种，甲、乙再从中各任意选用种，有种，故共有 由①②可知所有情形是 7．过作直线交圆于另一点，连结和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则 ( ) A． B． C． D． 7．A 提示：设的斜率为，则，，故 8．若函数满足，设的导函数为，当时，，则 ( ) A． B． C． D． 8．【答案】 A 【解析】由，知函数关于点对称。为向上攀爬的类周期函数，，， 所以 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（ ） A. 若数据的方差为0，则所有的都相等 B. 已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C. 数据的第70百分位数是8.5 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 【答案】AD 【详解】A项：由方差知识得，A项正确； B项：去掉其中的一个最小数和一个最大数后，中位数不变，B项错误； C项：，则70百分位数为第6个数9，C项错误； D项：样本点都在直线，则完全负相关，所以相关系数为， D项正确. 故选：AD 10．已知函数的图象关于对称，则（ ） A．在上单调递减 B．在上有两个极值点 C．直线是的对称轴 D．直线是的切线 【答案】BCD 【解析】， 不单调，故A错； 有两个极值点，故B正确； 直线是的对称轴，故C正确； 所以时的切线方程为,即,故D正确 综上,选BCD; 11．在平面上,抛物线的焦点为,准线为,点在曲线上且位于第一象限,设的角平分线交于点,交于点.已知,点关于轴的对称点为,则以下说法正确的有（     ） A． B． C．三点共线 D．三点共线 【答案】ACD. 【解析】由题意知,.过点作的垂线交于点,可知,因此与重合,故,A正确；设点,则,又,故,于是,于是,B错误；可知,因此,三点共线,C正确；可得,因此三点共线,D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中项的系数为 ． 12．【答案】 【解析】 展开式通项不含项，令， 得，展开式中项为，系数为 13．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为 ，内切球表面积为 ． 13．【答案】 【解析】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，设长宽高分别为 ，则，， 则，，，外接球半径， 在三棱锥的体积 三棱锥的每个面的三边分别为， 每个面的面积为 ，所以 所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为． 14．在四边形中，已知，，， 若两点关于轴对称，则 ． 14．【答案】3 【解析】由得， 当点在轴上方时，，故有 当点在轴下方时，，故有 两者都有，所以 则，化简得 的顶点的轨迹方程为 由，设，，得点的轨迹方程为 ，把圆沿轴翻折，与 联立，得，所以 法2：把圆沿轴翻折交轴于另一点，恰为圆心，为圆心角，，所以，所以为等腰三角形，点横坐标为，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 在中，角的对边分别为，已知 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 15．（1）由余弦定理， 代人得， 则 由正弦定理得 所以，得 由知，故， 所以或（舍去） 所以…………6分 （2），由得 …………13分 法2：由得， 所以…………13分 16. (本小题满分15分) 如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，为的中点. （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面；…………6分 （2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为，.…………10分 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.…………15分 17．(本小题满分15分) 进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为． （1）若，求； （2）若，，． ①求； ②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以. .………4分 （2）①因为，，， 所以，， 所以 设，则 两式相减，得 所以 所以.…………9分 ②由①可知，所以， 令，则， 所以单调递减，又，， 所以当时，则的最小值为. .…………15分 18. (本小题满分17分) 设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点， （i）求的值； （ii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值． 18．【答案】（1）；（2）（i）（ii） 【解析】 （1）因为到其中一条渐近线的距离，所以……2分 又，所以 所以双曲线的方程为 ……4分 （2）设直线方程为，则 代入双曲线方程得：。 设，则……6分 （i） 而 所以，则 所以……10分 （ii）过平行于的直线方程为 直线方程为与联立 得， 即 则 所以 ……13分 由两式相除得 ，则 所以……15分 因为，所以， 故为线段的中点，即 所以．……17分 19. (本小题满分17分) 设，，.已知函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. （3）证明：若正实数满足，，则必有． 19.（1）设， ， 则函数在处的切线方程为 即 与对照，知且 所以…………4分 （2）由（1）知 结论：当时，不等式恒成立 证明：由 推得，. 设，则， 当时， 所以在上单调递增，又 故， 所以在上单调递增，又 所以...........7分 而 设， 则， 所以在上递增，又 所以在上递增，又 所以，即 所以，...........10分 （3）法1：因为上递增， 故当时，必有 由（2）知当时， 所以 当时，有，即 设，对称轴 欲证，只需证 即证， 即证，即证，成立 （或出现相应给分） 所以 ...........13分 又由（2）知 所以 当时，有，即 设，在递增 欲证，只需证 即证， 即证 即证，即证 即证，即证 成立 （或出现相应给分） 所以 综上，， ．...........17分 法2：当时，，即，由题意， 问题等价于：正项数列满足，，证明 证明：由（1）知 所以数列递减，所以 又，取倒数 所以，即 即，递推累加得， 所以...........13分 下面用数学归纳法证明 1）当时， 2）假设当时命题正确，则 因为当时， 令，则 ，即 ，又因为在上递增， 所以，即 也就是说当时命题也正确。...........17分 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期杭高期末考试高三 （数学）试题卷 1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 答题前务必将自己的班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的地方。 3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。 4. 考试结束后，只需上交答题纸。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，，则复数的模等于（ ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，，则（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象是（ ） A． B． C． D． 5．记为数列的前项积，已知，则= （ ） A． B． C． D． 6．甲、乙、丙人去食堂用餐，每个人从这种菜中任意选用种，则菜有人选用、菜有人选用的情形共有（ ） A． B． C． D． 7．过作直线交圆于另一点，连结和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则 ( ) A． B． C． D． 8．若函数满足，设的导函数为，当时，，则 ( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于统计的知识，说法正确的是（ ） A. 若数据的方差为0，则所有的都相等 B. 已知样本数据，去掉一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 C. 数据的第70百分位数是8.5 D. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 10．已知函数的图象关于对称，则（ ） A．在上单调递减 B．在上有两个极值点 C．直线是的对称轴 D．直线是的切线 11．在平面上,抛物线的焦点为,准线为,点在曲线上且位于第一象限,设的角平分线交于点,交于点.已知,点关于轴的对称点为,则以下说法正确的有（     ） A． B． C．三点共线 D．三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式中项的系数为 ． 13．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为 ，内切球表面积为 ． 14．在四边形中，已知，，， 若两点关于轴对称，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 在中，角的对边分别为，已知 （1）求证：； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 16. (本小题满分15分) 如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，为的中点. （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17．(本小题满分15分) 进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为． （1）若，求； （2）若，，． ①求； ②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值． 18. (本小题满分17分) 设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点， （i）求的值； （ii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值． 19. (本小题满分17分) 设，，.已知函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例. （3）证明：若正实数满足，，则必有． 4 学科网（北京）股份有限公司 $