高二数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（人教A版选必一第1～3章第1节：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆）

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第1章~第3章第1节（空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆） 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，得. 故选：C 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 4. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以，则点到平面的距离为. 故选：D 6．【数学文化题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 7．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为，若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围是 8．【学科交叉题】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆C的两个焦点分别为，光线由点发出后射到椭圆C上的点P处，经反射后到点，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点，若光线的总路程为6，且则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，椭圆焦点，故. 光线总路程为. 已知总路程为，得. 设，则，由椭圆定义：， ，. 由反射性质：，故. 对用余弦定理： . 对用余弦定理：， 化简得：，解得. 代入得，故， 直线的倾斜角为， 斜率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 【答案】AC 【解析】对于A选项，假设与重合，则存在非零实数，使得， 故，该方程组无解，故不可能重合，A正确. 对于B选项，当时，，，两直线垂直不平行； 当时，若，则两直线斜率相等，即，解得， 当时，满足要求； 当时，满足要求，所以，故B错误. 对于C选项，若，则，解得，故C正确. 对于D选项，若的倾斜角为0，则的斜率为0，当时，，倾斜角为； 当时，的斜率为，令无实数解，故的倾斜角不可能为0，D错误. 10．已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【解析】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误. 故选：BC 11．【新定义题】我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．曲线上任意两个顶点间的最大距离为 C．若点在曲线上，则最小值为 D．若直线与曲线有公共点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对配方得： 曲线关于轴、轴、原点对称，也关于、对称， 本质是四个圆心为、半径为的圆拼接成的闭合曲线，逐个分析选项： A：连接曲线与坐标轴交点，得到中间正方形， 正方形对角线长为，面积为： , 正方形每条边外对应一个半圆，半圆直径为，半径， 四个半圆总面积为： 总面积，正确. B：根据定义，顶点是优美曲线和其所有对称轴的交点. 曲线的对称轴为，求得所有顶点为. 任意两顶点的最大距离为与（或与）的距离： ，B正确 C：是点到直线的距离，即. 曲线上离最近的点为，满足，确实在曲线上， 代入得： 最小值为，C错误. D：直线恒过点，曲线上点的最大纵坐标约为， 直线与曲线有公共点等价于圆心到直线距离小于等于半径. 对上方两个圆心，相切时满足距离等于半径，计算得相切时； 当时直线平缓，与曲线无交点，当时存在公共点， 因此的范围为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以直线与直线的距离为. 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 14．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】椭圆的左焦点，圆化为， 圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以; 的最小值为； 因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 【解析】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即．（5分） （2）当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即；（8分） 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为， 综上得：直线方程为或．(13分) 16．（15分） 已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【解析】（1）圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为.（6分） （2）圆：的一般式方程为  ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即.（10分） 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4.（15分） 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【解析】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则.（7分） 所以点C到平面的距离.（10分） （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 四棱锥中，为中点，且满足，，，，，． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：因为， 而为中点，所以 则平面，又，于是平面， 由平面，得，(2分) 由，是中点，得， 而，，则，由，得， 又，则，在直角梯形中，， 因此，即，又平面， 所以平面.（5分） （2）取中点，连接，则，由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为，则，取，得，（8分） 设平面的法向量为，则，取，得，（10分） 由二面角的平面角的余弦值为，得，（11分） 解得，所以.（12分） （3）假设在侧棱上存在点，使得共面，即平面， 由（2）知，平面的法向量为， 设，则，而， 因此，（15分） 由平面，得，解得， 所以在侧棱上存在点，使得共面，. （17分） 19．（17分） 【新考法】已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，即，即， 又因为左焦点到左右两个顶点的距离为，到上下两个顶点的距离都是，即四个距离分别为， 代入得，按从小到大排列为，则中位数为，即，， 所以，则椭圆的标准方程为.（4分） （2）（ⅰ）由（1）知，，设点， 则，因为，则， 因为，所以，即，代入椭圆方程， 即，解得.（7分） 设过点的直线为：，联立方程组， 得，所以， 又，则，所以， 所以.（10分） （ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足， 所以直线为， 交于点. 因为直线过和，且， 所以方程为， 因为，所以，即， 由（ⅰ）知，同理可得， 所以四边形面积为，（14分） 令，， 令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以最大值为， 而时，，当时，， 即，所以.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第1章~第3章第1节（空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆） 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 6．【数学文化题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 7．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．【学科交叉题】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆C的两个焦点分别为，光线由点发出后射到椭圆C上的点P处，经反射后到点，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点，若光线的总路程为6，且则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 10．已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 11．【新定义题】我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．曲线上任意两个顶点间的最大距离为 C．若点在曲线上，则最小值为 D．若直线与曲线有公共点，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 14．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 16．（15分） 已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 18．（17分） 四棱锥中，为中点，且满足，，，，，． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 【新考法】已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B D C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即．（5分） （2）当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即；（8分） 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为， 综上得：直线方程为或．(13分) 16．（15分） 【解析】（1）圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为.（6分） （2）圆：的一般式方程为  ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即.（10分） 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4.（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则.（7分） 所以点C到平面的距离.（10分） （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 【解析】(1)证明：因为， 而为中点，所以 则平面，又，于是平面， 由平面，得，(2分) 由，是中点，得， 而，，则，由，得， 又，则，在直角梯形中，， 因此，即，又平面， 所以平面.（5分） （2）取中点，连接，则，由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为，则，取，得，（8分） 设平面的法向量为，则，取，得，（10分） 由二面角的平面角的余弦值为，得，（11分） 解得，所以.（12分） （3）假设在侧棱上存在点，使得共面，即平面， 由（2）知，平面的法向量为， 设，则，而， 因此，（15分） 由平面，得，解得， 所以在侧棱上存在点，使得共面，. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，即，即， 又因为左焦点到左右两个顶点的距离为，到上下两个顶点的距离都是，即四个距离分别为， 代入得，按从小到大排列为，则中位数为，即，， 所以，则椭圆的标准方程为.（4分） （2）（ⅰ）由（1）知，，设点， 则，因为，则， 因为，所以，即，代入椭圆方程， 即，解得.（7分） 设过点的直线为：，联立方程组， 得，所以， 又，则，所以， 所以.（10分） （ⅱ）由（ⅰ）知，线段的中点满足， 所以直线为， 交于点. 因为直线过和，且， 所以方程为， 因为，所以，即， 由（ⅰ）知，同理可得， 所以四边形面积为，（14分） 令，， 令，则分母为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以最大值为， 而时，，当时，， 即，所以.（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 典 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][BJ[C][D] 6[A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 7[A][B][C][D] 叔 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 3 14 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B A C B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) A .D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (逆9并)逆9熊素潍 :※￥美号识海☒马的到狂畔毋盖用避‘号海☒酷号目酷艺安剿 (女LT)6T :终壬苦号阳海☒马削到狂联安遄用避‘号卦海☒酷号目酷艺安典 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版选择性必修第一册第1章~第3章第1节（空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆） 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（   ） A． B． C． D． 6．【数学文化题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 7．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．【学科交叉题】椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆C的两个焦点分别为，光线由点发出后射到椭圆C上的点P处，经反射后到点，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点，若光线的总路程为6，且则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 10．已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 11．【新定义题】我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．曲线上任意两个顶点间的最大距离为 C．若点在曲线上，则最小值为 D．若直线与曲线有公共点，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 14．已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 16．（15分） 已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 18．（17分） 四棱锥中，为中点，且满足，，，，，． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，点到的4个顶点的距离的中位数为2． (1)求的方程； (2)过点作斜率存在且不为零的直线与交于两点，． （ⅰ）若，的斜率分别为，，当时，求； （ⅱ）记线段的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，直线与交于、两点，求四边形面积的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $