精品解析：湖北省孝感市高新区2025～2026学年度九年级上学期期末质检数学试卷

2025~2026学年度九年级上学期期末质检 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. 中国古代数学辉煌成就在世界上产生了深远的影响．下列图形“青朱出入图”“七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程配成的形式，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 5. 如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴交轴于点，若，则（ ）． A. B. 3 C. D. 6 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 在标准大气压下，温度降到以下，纯净水会结冰 D. 经过交通信号灯的路口，遇到黄灯 7. 在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接，并延长至，若，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（）的对称轴是直线，且与轴交于点和，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 12. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取一件放置在天平的左端托盘上，能使天平恢复平衡的概率为______． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 15. 如图，在中，，，点，分别在边，上，，与交于点，若，，则______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 计算：． 17. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留1位小数，参考数据：，）． 18. 国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择一种，共有______种不同的选法； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 20. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）填空：______，______，______； （2）求面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式解集． 21. 如图，点是的边上一点，以点为圆心作经过，两点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 数学兴趣小组通过社会调查，帮助某襄阳牛肉面特色店拟定下列销售方案，根据提供的素材，完成探索任务． 如何设计襄阳牛肉面的销售方案 素材1 襄阳牛肉面刚开始出现是在清朝的康熙元年（公元1662年），到今天已经有300多年的历史了．某襄阳牛肉面特色店在网店和实体店同时销售一种襄阳牛肉面，成本价为30元/箱． 素材二 根据市场调查，这种襄阳牛肉面的网店销售价为50元/箱，平均每天销售量是100箱，而销售价每降价元（），平均每天就可以多售出箱． 素材三 这种襄阳牛肉面在实体店的销售价定为60元/箱，根据市场调查，该实体店受网店影响，平均每天的销售量为箱． 问题解决 任务（1） 确定模型 求网店每天销售这种襄阳牛肉面的利润（元）与（元）的函数解析式； 任务（2） 探究销售方案 若在网店每天销售这种襄阳牛肉面获利1760元，则网店销售价格应定为多少元？ 任务（3） 拟定最优方案 这种襄阳牛肉面在网店和实体店同时销售，当网店销售价定为每箱多少元时，该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润最大（总利润网店利润实体店利润），最大利润是多少？ 23. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转（）得，连接． （1）求证：； （2）若，点是的中点，点落在延长线上，求的长； （3）连接，若，求的值． 24. 如图，抛物线的图象分别交x轴于和B两点，交y轴于点，点P是抛物线上一点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第一象限抛物线上一点，轴于D，交直线于点E，若，求点P的坐标； （3）若点P是x轴上方抛物线上一点，P、Q关于抛物线对称轴对称，轴交直线于点D，轴交对称轴于点F，轴交对称轴于点E，得矩形，令矩形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度九年级上学期期末质检 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. 中国古代数学的辉煌成就在世界上产生了深远的影响．下列图形“青朱出入图”“七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 将一元二次方程配成的形式，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，正确计算是解题关键． 通过配方法将方程化为完全平方形式，比较系数得出的值． 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 故选：B． 3. 如图，是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握以上知识是解题的关键； 根据三视图的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：从上往下，每行小正方形的个数分别是3，2，且第二行的2个小正方形靠向左边，因此，该几何体的俯视图是D中的图形. 故选：D. 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记顶点式的顶点坐标是解题关键.；根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线 可化为 ， ∴ 顶点坐标为， 故选A． 5. 如图，点是反比例函数（）的图象上一点，轴交轴于点，若，则（ ）． A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握好比例系数的几何意义是关键． 根据反比例函数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∴，即， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 在标准大气压下，温度降到以下，纯净水会结冰 D. 经过交通信号灯的路口，遇到黄灯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，即在一定条件下一定会发生的事件，根据各选项的事件性质进行判断即可． 【详解】解：选项A：三角形内角和为，不是，是不可能事件； 选项B：射击命中靶心是随机事件，不一定发生； 选项C：温度降到以下，纯净水结冰是必然事件，符合科学规律； 选项D：遇到黄灯是随机事件，不一定发生； 故选C． 7. 在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形顶点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正弦等于对边比邻边是解题关键． 根据正弦是对边比斜边，可得答案． 【详解】解：如图，过点作延长线的垂线，垂足为点， ， ∴， 故选：C． 8. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项不符合题意； B.该选项不能判定， 该选项符合题意； C.∵， ∴， 又∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，点，，在上，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接，并延长至，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，根据作图得出平分，从而得出，根据圆周角定理得出，根据，求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据补角的性质得出． 【详解】解：连接，，，如图所示： 根据作图可知：平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，尺规作角平分线，补角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 10. 二次函数（）的对称轴是直线，且与轴交于点和，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数各项系数间的关系，由对称轴为可得，再结合二次函数与轴有两个交点，判别式大于零，逐一分析选项. 【详解】∵ 对称轴为， ∴ ，即. 选项A：根的和，故A错误. 选项B：判别式，即，故B错误. 选项C：，取，， 则，故C错误. 选项D：， ∵ ， ∴ ，故，D正确. 故选：D. 二、填空题（共5题，每题3分，满分15分，把答案填在答题卡的相应位置上） 11. 对于反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大，任意写一个满足条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当时，在每一象限内，随增大而增大，即可求解． 【详解】解：反比例函数（），在每一象限内，随增大而增大， ， 满足条件的值为，． 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接， 根据中，，，得到，根据，得到，根据旋转得到，，，，得到为等边三角形，得到，得到，推出为等边三角形，得到． 本题主要考查了旋转，含30度角的直角三角形，等边三角形．解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定． 【详解】解：连接，如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点C按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即点与点B之间的距离为． 故答案为：． 13. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取一件放置在天平的左端托盘上，能使天平恢复平衡的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用概率公式计算概率，根据题意，四件物品中能使天平恢复平衡只有的物品，即可解答． 【详解】解：∵， ∴四件物品中能使天平恢复平衡只有的物品， ∴能使天平恢复平衡概率为， 故答案为． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点，分别在边，上，，与交于点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和相似三角形的判定与性质，过作于点，求出，证明，求出，，由可求出，从而可得结论． 详解】解：过作于点， ∵， ∴设，，则， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答． 【详解】解： ． 17. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度（结果保留1位小数，参考数据：，）． 【答案】旗杆的高度约米 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数．利用锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：由题意知：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 答：旗杆的高度约米． 18. 国产大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． （1）甲同学选择一种，共有______种不同的选法； （2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率． 【答案】（1）4 （2）画图见解析，概率为 【解析】 【分析】本题考查用公式求概率和用画树状图或列表法求概率； （1）根据甲同学先从这四类中随机选择一类即可解答； （2）找出所有可能，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵甲同学先从这四类中随机选择一类， ∴共有4种不同的选法； 小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能结果， 其中甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”（记为事件）共有6种， ． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程和一元一次不等式，解题的关键是掌握以上公式． （1）根据根的判别式列出不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系列出一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ， ， ， ，， ， ， 即：的值为． 20. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）填空：______，______，______； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）4；； （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，进而求得a的值，得到点B的坐标，最后把点A、B的坐标代入一次函数解析式，即可求得m、n的值； （2）设一次函数交y轴于点C，先求得点C的坐标，然后根据，即可解答； （3）根据图像找出反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意，把点代入反比例函数， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴，即， ∴， 又∵点、在一次函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：4；；． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数图象交y轴于点C， 由（1）可知，一次函数的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∵、， ∴ ， ∴的面积为3． 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴的解集为或． 21. 如图，点是的边上一点，以点为圆心作经过，两点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，三角函数，扇形的面积公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，则，由，得到，推出，即可得； （2）设的半径为，则，，在中，根据勾股定理求出，再根据三角函数求出，得到，最后根据，即可求解． 小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则，， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 22. 数学兴趣小组通过社会调查，帮助某襄阳牛肉面特色店拟定下列销售方案，根据提供的素材，完成探索任务． 如何设计襄阳牛肉面的销售方案 素材1 襄阳牛肉面刚开始出现是在清朝的康熙元年（公元1662年），到今天已经有300多年的历史了．某襄阳牛肉面特色店在网店和实体店同时销售一种襄阳牛肉面，成本价为30元/箱． 素材二 根据市场调查，这种襄阳牛肉面的网店销售价为50元/箱，平均每天销售量是100箱，而销售价每降价元（），平均每天就可以多售出箱． 素材三 这种襄阳牛肉面在实体店的销售价定为60元/箱，根据市场调查，该实体店受网店影响，平均每天的销售量为箱． 问题解决 任务（1） 确定模型 求网店每天销售这种襄阳牛肉面的利润（元）与（元）的函数解析式； 任务（2） 探究销售方案 若在网店每天销售这种襄阳牛肉面获利1760元，则网店销售价格应定为多少元？ 任务（3） 拟定最优方案 这种襄阳牛肉面在网店和实体店同时销售，当网店销售价定为每箱多少元时，该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润最大（总利润网店利润实体店利润），最大利润是多少？ 【答案】（1）（）；（2）应定为38元；（3）最大总利润是4440元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用——销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． （1）利用单件利润乘以销量即可求解； （2）把代入（1）解析式，即可求解； （3）设该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润为元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ． （2）当时，， ，解得，（舍去）， （元）， 答：若在网店每天销售这种襄阳牛肉面的利润为1760元，则网店销售的价格应定为38元． （3）设该店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润为元， ， ， 当时，，此时， 当网店销售价为每箱48元时，该牛肉面特色店每天销售这种襄阳牛肉面的总利润最大，最大总利润是4440元． 23. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转（）得，连接． （1）求证：； （2）若，点是的中点，点落在延长线上，求的长； （3）连接，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，勾股定理，锐角三角函数比，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明三角形相似； （2）过作，利用勾股定理求出，利用锐角三角函数得出，最后利用相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，过作于，根据旋转的性质得出相等的边和角，得出，设，则，证明，得出，最后求出比值即可． 【小问1详解】 证明：由旋转知：，，， ∴，， ； 【小问2详解】 解：，， ， 由勾股定理得， ， 点是的中点， ， ， ， 过作， ， ，， ， 由（1）知：， ，即， ； 【小问3详解】 解：过作于，过作于， 由旋转性质知：，，， ，， ， ， ，， ， 设，则， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 即， ， ． 24. 如图，抛物线的图象分别交x轴于和B两点，交y轴于点，点P是抛物线上一点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第一象限抛物线上一点，轴于D，交直线于点E，若，求点P的坐标； （3）若点P是x轴上方抛物线上一点，P、Q关于抛物线对称轴对称，轴交直线于点D，轴交对称轴于点F，轴交对称轴于点E，得矩形，令矩形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，铅锤法表示线段长度，探究变量之间的关系以及二次函数图象性质，熟练掌握二次函数定义以及图象性质是解题的关键． （1）由抛物线的图象分别交x轴于，交y轴于点，运用待定系数法，可求得抛物线解析式； （2）先求出点B坐标，再求出直线BC解析式，设，，，运用建立方程，解方程得，，最后根据点P是第一象限抛物线上一点，求出； （3）①设，，由P、Q关于抛物线对称轴对称，得到，分别表示，的长度，求得，最后根据，得到l关于m的函数解析式； ②根据l关于m的函数解析式，结合二次函数图象性质，分三种情况进行讨论． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象分别交x轴于，交y轴于点， ∴将，代入中，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A和点B为抛物线与x轴的两个交点， ∴令，即， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵点P是第一象限抛物线上一点，轴于D，交直线于点E， ∴设，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∵点P是第一象限抛物线上一点， ∴； 【小问3详解】 ①解：∵点P是x轴上方抛物线上一点， ∴设，， ∵P、Q关于抛物线对称轴对称， ∴， ∵轴交直线于点D，直线的解析式为：， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， ∵矩形， ∴矩形的周长， ∴； ②解：当时，，此时二次函数开口向下，对称轴为直线，当时，l随m的增大而增大； 当时，，此时二次函数开口向下，对称轴为直线，当时，l随m的增大而减小； 当时，，此时二次函数开口向上，对称轴为直线，当时，l随m的增大而增大； 综上，当或时，l随m的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $