精品解析：四川省内江市威远中学校2026届高三上学期一模考试数学试卷

威远中学校2026届高三上期一模考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数 的最小正周期是（ ） A. 2π B. π C. D. 3. 已知为虚数单位，复数 满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 4. 已知向量满足，则＝（ ） A. 5 B. －5 C. －11 D. 11 5. 已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在 中，， 的平分线交 于 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线 与圆 的位置关系与 有关 B. 直线 截圆 所得弦长最短时，直线 的方程是 C. 圆心 到直线 距离的最大值为2 D. 直线 截圆 所得弦长范围是 10. 函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的图象与 的图象在处的公切线为 11. 在长方体中， 底面ABCD为正方形. ，E为棱 上的一个点，平面与棱交于点F，则下列结论正确的有（ ） A. 当点 E为棱的中点时， B. 当点 E为棱的中点时，点 D 到平面的距离为 C. 存在点E，使得平面平面 D. 四边形的周长的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中常数项为80，则 ____________． 13. 盒子中有5个小球，分别标有数字为1，2，3，4，5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽取2个小球(不放回)，记取出的两个小球数字分别为m和n，使得关于x的一元二次方程 有实数根的概率为__________. 14. 如图，在一个大圆中放入两个半径之比为 的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为 的大圆，则 次操作后图中最小的圆的半径为______， 次操作后图中所有圆的面积总和为__________. 四、解答题：本题共5小题， 其中第15题13 分， 第16、17题15 分， 第18、19 题17分， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内， 按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. （1）求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； （2）现将[50， 60)和[90， 100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 16. 各项不为0的数列满足，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线 与椭圆交于两点.当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）设，当 面积为时，求直线 的方程. 18. 如图所示，正四棱锥 中，点E是棱PB的中点， ． （1）证明：平面AEC； （2）已知异面直线PD与AE所成角的余弦值为， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）在线段AD上是否存在点F，使平面PBC．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知. （1）曲线在点处的切线为直线 ，记 的斜率为 ，比较 与 的大小； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2026届高三上期一模考试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求得集合 ，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，可得，解得或 或， 所以，又，所以. 故选：B. 2. 函数 的最小正周期是（ ） A. 2π B. π C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于正切函数，其最小正周期公式为. 【详解】由题意可得. 故选：C 3. 已知为虚数单位，复数 满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，进而由模长公式得到答案. 【详解】， 故. 故选：A 4. 已知向量满足，则＝（ ） A. 5 B. －5 C. －11 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由题可求，再求值即可. 【详解】， ，， 所以. 故选：B. 5. 已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义得，，再根据关系即可得到答案. 【详解】P为椭圆上的动点，，且， 则P的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即 ，，所以， 故选：C． 6. 若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的结构和体积公式进行求解即可. 【详解】设该圆锥的高为 ，圆柱底面半径为，圆锥底面半径为， 则，解得，圆锥的体积为， 故选：B． 7. 在 中，， 的平分线交 于 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理，求得，得到，得出 为直角三角形，结合，列出方程，即可得到 的长，得到答案. 【详解】在 中，， 由余弦定理得， 所以，所以，则 为直角三角形，所以， 如图所示，设 ，因为， 可得，即， 解得，所以. 故选：D． 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用隐零点结合函数单调性和最值可得答案，或者利用同构结合单调性可得答案. 【详解】实数，若对任意的，不等式恒成立， 即为， 设，，， 令，可得， 由指数函数和反比例函数在第一象限的图象， 可得和有且只有一个交点， 设为，当时，， 递增； 当时，， 递减． 即有 在处取得极小值，且为最小值． 即有，； 当时，，此时恒成立，符合题意； 当时，由可得，即； 由两边取对数可得， 所以，即， 因为，所以，所以，解得， 所以的最小值为． 故选：A． 另解：因为，不等式恒成立，即为， 当时，，此时恒成立； 当时，上式可化为， 令，由可得 在 递增， 所以，即有， 由的导数为，当 时，递减．时，递增， 可得时，取得最大值．则， 的最小值为． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线 与圆 的位置关系与 有关 B. 直线 截圆 所得弦长最短时，直线 的方程是 C. 圆心 到直线 距离的最大值为2 D. 直线 截圆 所得弦长范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接算出即可判断；对于B，算出直线过定点，当且仅当满足题意，从而可以算出 验证；对于C，由B选项分析结合两点间的距离公式计算即可；对于D，结合A选项分析可知，通过算出 的范围，即可根据弦长公式验证即可. 【详解】 对于A，因为圆的圆心到直线的距离为， 而圆的半径为， 所以， 而， 所以，即直线 与圆 的位置关系一直相交，与 无关，故A错误； 对于B，由弦长公式可知，若直线 截圆 所得弦长最短时，圆心到直线的距离 应该最大， 而直线即过定点，所以当且仅当时， 最大， 此时，解得， 所以此时直线 的方程是，故B正确； 对于C，由B选项分析可知当时， 最大，此时，故C正确； 对于D，由A选项分析可知，令，即， 从而， 当时， ， 当时， ，当且仅当时，， 当时， ，当且仅当时，， 综上所述，，从而直线 截圆 所得弦长，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：A、D的关键是通过计算与0比较大小、求范围，B、C的关键是得出，从而即可算 ，以及. 10. 函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的图象与 的图象在处的公切线为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】由图可知，，所以，A正确； 因为的图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误； 因为，，所以，解得，，C正确； 所以 的图象与的图象在处的公切线方程为，D正确. 故选：ACD． 11. 在长方体中， 底面ABCD为正方形. ，E为棱 上的一个点，平面与棱交于点F，则下列结论正确的有（ ） A. 当点 E为棱的中点时， B. 当点 E为棱的中点时，点 D 到平面的距离为 C. 存在点E，使得平面平面 D. 四边形的周长的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】连接 ，利用与 不垂直 判断A；利用等体积法求解点面距离判断B；利用定义法作出二面角的平面角，然后利用面面垂直得确定点E位置判断C；先判定四边形为平行四边形，然后和展开在同一平面内利用三点共线最短求解最小值判断D. 【详解】对于A，当点 为棱的中点时，连接 ，则， 在长方形中，，即， 所以，所以， 所以 不垂直 ，所以 不垂直，故A错误； 对于B，当点 为棱的中点时，由可知， 又，故是等边三角形， 设点 到平面的距离为 ，所以， ，由得，所以， 即点 到平面的距离为，故B正确； 对于C，在长方体中，平面， 连接 交 于点 ，因为 为 中点，， 所以， 所以即为二面角的平面角，当平面平面时，， 设 ，，在直角三角形中，， 又，， 所以， 所以，即时，使得平面平面，故C正确； 对于D，如图，在棱上取一点 ，使，在棱上取一点 ，使， 连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且，又因为，， 所以四边形为平行四边形， 所以，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则周长， 将和展开在同一平面内，如图： 可知，此时点 为棱的中点， 故当点 为棱的中点时，四边形的周长的最小值， 最小值是，故D错误. 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中常数项为80，则 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可建立等式求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中常数项为，解得 . 故答案为： 13. 盒子中有5个小球，分别标有数字为1，2，3，4，5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽取2个小球(不放回)，记取出的两个小球数字分别为m和n，使得关于x的一元二次方程 有实数根的概率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先求出从有5个小球随机抽取2个小球的所有情况，再找出符合方程要有实数根的情况，最后根据古典概型概率公式即可求出. 【详解】从中依次随机抽取2个小球(不放回)，共有种， 方程要有实数根，即判别式， 满足条件的有：当时， ，共一种情况； 当时，共两种情况； 当 时，共三种情况； 当时，共四种情况， 满足方程要有实数根共有种情况， 所以概率为. 故答案为：. 14. 如图，在一个大圆中放入两个半径之比为 的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为 的大圆，则 次操作后图中最小的圆的半径为______， 次操作后图中所有圆的面积总和为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三个圆的位置关系可构造方程分别求得每次操作后的最小圆的半径，从而确定 次操作后的最小圆的半径；根据每次操作后最小圆半径之间的比例关系和等比数列通项公式可求得 次操作后最小圆的半径，根据圆的面积总和之间的递推关系，采用累加法可求得所有圆的面积总和. 【详解】设第 次操作后，最小的圆的半径为，则，解得：； 设第 次操作后，最小的圆的半径为，则，解得：； 设第 次操作后，最小的圆的半径为，则，解得：； 次操作后，图中最小的圆的半径为； 设第 次操作后，图中最小的圆的半径为，所有圆的面积总和为， ，， ，是以为首项，为公比的等比数列，， 设所有圆的面积总和， ，又 当 且时， ， 当 时，满足，， 即 次操作后图中所有圆的面积总和为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题， 其中第15题13 分， 第16、17题15 分， 第18、19 题17分， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内， 按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如图，其中在[90，100]内的人数为6. （1）求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； （2）现将[50， 60)和[90， 100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的概率和X的数学期望. 【答案】（1），75； （2），2. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，利用所有小矩形面积和为1，列出的等式，解出．在频率分布直方图中，利用平均数等于每个小矩形的中点值乘以这个小矩形的面积相加求和求出平均成绩； （2）求出内的频率和人数，求出内的人数，求出每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，又，利用二项分布求出和 【小问1详解】 由题意，得，解得．参加测试的职工的平均成绩估计为 【小问2详解】 在内的频率为，由题意得总人数为， 所以在内的人数为． 每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，因此， ，的数学期望. 16. 各项不为0的数列满足，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：因为各项不为0的数列满足， 两边同时取倒数，可得，所以， ，，解得. 数列为等差数列，且公差为3，首项为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式得到，进而证明数列为等差数列； （2）结合（1）可得，代入对任意恒成立，利用数列的单调性即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，， 对任意恒成立，对任意恒成立， 令， 当 时，； 当 时，； 当时，单调递增，, 所以， 实数的取值范围为. 17. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线 与椭圆交于两点.当轴时，. （1）求椭圆C的方程； （2）设，当 面积为时，求直线 的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用离心率得出，进而得出，，再利用时，得出点 的坐标，代入椭圆的方程即可求解； （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出弦长，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【小问1详解】 离心率，， 又，即，则， 椭圆 ：可化为， 当轴时，，，， 点 在椭圆上，，将代入，得，， ，， 椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，设，， 当直线 的斜率不存在时，，， 此时三点共线，不能构成三角形，故不满足题意； 当直线 的斜率存在时，设， 联立直线 与椭圆的方程，消去 ，得， 则，， ， 又点到直线的距离， ， 化简得，解得或（舍），则， 经检验符合题意. 直线 的方程为或. 18. 如图所示，正四棱锥 中，点E是棱PB的中点， ． （1）证明：平面AEC； （2）已知异面直线PD与AE所成角的余弦值为， （ⅰ）求二面角的正弦值； （ⅱ）在线段AD上是否存在点F，使平面PBC．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）连接 ，，连接 ， 因为 是 中点，点 是棱 的中点， 则， 因为平面 ，平面 ，所以平面 ． （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）连接 ，，连接 ，根据中位线得出，从而可得平面 ； （2）（ⅰ）设 ，建立空间直角坐标系，根据向量法结合异面直线 与 所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （ⅱ）假设存在点F，设，使 平面 ，计算得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）在正四棱锥 中， 平面 ， ， 所以两两垂直， 以 为坐标原点，所在直线分别为 ，轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 由 ，则，设 ， ， 则， 所以， 又异面直线 与 所成角的余弦值为， 所以，解得， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 易得平面 的一个法向量为， 设二面角的平面角为 ，观察图形可知 为锐角， 所以，则； （ii）设线段 上存在点 ，且， 因为， 设，， ， 又因为， 平面PBC， 所以， 所以，解得 ， 当 时， 平面 ， 所以 平面 ， 所以当时， 平面 . 19. 已知. （1）曲线在点处的切线为直线 ，记 的斜率为 ，比较 与 的大小； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到，结合对数函数的性质，即可得到 与 的大小关系； （2）若，得到恒成立；若，由（1）得，令，求得在递增，结合，分和，两种情况讨论，即可求得实数的取值范围； （3）令，利用导数求得的单调性和极小值，得到， 取 ，由（2）得到，令，求得，结合对数的运算性质和累加法，即可得证. 【小问1详解】 由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. 【小问2详解】 由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即 ，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当 ，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数 ，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $